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4.3.2.1角的度量与计算
第4章 图形的认识
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
角的度量与计算
在学习了角与角的大小比较后，我们进一步深入探究角的度量与计算。角的度量是量化角的大小的重要手段，而角的计算则能帮助我们解决更多复杂的几何问题，无论是在数学课堂上，还是在建筑、机械制造等实际领域，这部分知识都有着举足轻重的地位。
一、角的度量单位及换算
（一）基本度量单位
角的度量单位主要有度、分、秒，分别用符号 “\(^{\circ}\)”“\('\)”“\(''\)” 表示 。把一个周角\(360^{\circ}\)平均分成\(360\)等份，每一份就是\(1\)度的角，记作\(1^{\circ}\)；把\(1^{\circ}\)的角平均分成\(60\)等份，每一份叫做\(1\)分的角，记作\(1'\)；把\(1'\)的角再平均分成\(60\)等份，每一份叫做\(1\)秒的角，记作\(1''\) 。
（二）单位换算关系
度、分、秒之间的换算为六十进制，即\(1^{\circ}=60'\)，\(1' = 60''\)，由此可推导出\(1^{\circ}=3600''\) 。
从度换算到分或秒时，乘以相应的进率，例如将\(3.5^{\circ}\)换算成分，\(3.5^{\circ} = 3.5 60' = 210'\)；将\(2^{\circ}\)换算成秒，\(2^{\circ}=2 3600'' = 7200''\) 。
从分或秒换算到度时，除以相应的进率，比如将\(180'\)换算成度，\(180' ·60 = 3^{\circ}\)；将\(3600''\)换算成度，\(3600'' ·3600 = 1^{\circ}\) 。
二、量角器的使用
（一）认识量角器
量角器是度量角的大小的工具，它一般为半圆形，外圈刻度从\(0^{\circ}\)到\(180^{\circ}\)顺时针方向标注，内圈刻度从\(0^{\circ}\)到\(180^{\circ}\)逆时针方向标注，量角器的中心有一个小圆点 。
（二）使用步骤
点重合：把量角器的中心与角的顶点重合 。
线重合：将量角器的\(0^{\circ}\)刻度线与角的一条边重合 。这里要注意，如果角的一条边与外圈\(0^{\circ}\)刻度线重合，就读外圈刻度；若与内圈\(0^{\circ}\)刻度线重合，就读内圈刻度 。
读度数：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 。例如，测量\(\angle ABC\)，当顶点\(B\)与量角器中心重合，一条边\(BA\)与内圈\(0^{\circ}\)刻度线重合，另一条边\(BC\)指向内圈\(50^{\circ}\)刻度线，那么\(\angle ABC = 50^{\circ}\) 。
三、角的计算
（一）角度的加减计算
计算规则：度与度、分与分、秒与秒分别相加减 。如果分或秒的计算结果满\(60\)，则要向上一级单位进\(1\)；如果在减法运算中，分或秒不够减，需要从上一级单位借\(1\)当\(60\) 。
示例：
计算\(45^{\circ}30' + 30^{\circ}20'\)：
度相加：\(45^{\circ} + 30^{\circ} = 75^{\circ}\)；
分相加：\(30' + 20' = 50'\)；
所以结果为\(75^{\circ}50'\) 。
计算\(60^{\circ} - 25^{\circ}40'\)：
因为\(0' < 40'\)，从\(60^{\circ}\)借\(1^{\circ}\)，\(1^{\circ}=60'\)，则\(60^{\circ}=59^{\circ}60'\)；
度相减：\(59^{\circ} - 25^{\circ} = 34^{\circ}\)；
分相减：\(60' - 40' = 20'\)；
所以结果为\(34^{\circ}20'\) 。
（二）角度的乘法计算
计算规则：度、分、秒分别与乘数相乘，然后按照六十进制进行进位 。
示例：计算\(3 25^{\circ}15'\)：
度相乘：\(3 25^{\circ} = 75^{\circ}\)；
分相乘：\(3 15' = 45'\)；
所以结果为\(75^{\circ}45'\) 。
（三）角度在几何图形中的计算
在几何图形中，常常需要根据已知角的度数，结合图形的性质来计算未知角的度数 。例如，在一个三角形中，已知两个内角分别为\(30^{\circ}\)和\(60^{\circ}\)，根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，可计算出第三个角的度数为\(180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}\) 。再如，已知一个角的余角比它的补角的\(\frac{1}{3}\)还少\(20^{\circ}\)，设这个角为\(x^{\circ}\)，它的余角为\((90 - x)^{\circ}\)，补角为\((180 - x)^{\circ}\)，可列方程\(90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) - 20\)，求解方程就能得出这个角的度数 。
通过对 “角的度量与计算” 的学习，我们掌握了角的度量单位换算、量角器使用以及角度计算的方法。在学习过程中，要多做练习，尤其是涉及角度计算的实际问题和几何图形问题，加深对知识的理解和运用。如果在学习中有任何疑问，欢迎随时交流探讨，我们一起攻克学习难关。
上述内容全面介绍了角的度量与计算知识。若你觉得示例数量、讲解深度等方面需要调整，或者想补充特定类型的题目，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题导入
下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢
具体大多少？
如何去度量？
探索新知
把一个周角（即它的旋转量）分为 360 等份，每一等份叫作 1 度，记作 1°.
1度的概念
如何衡量一个角的大小
用量角器可以量出角的度数，那么、“1度”到底是多大呢
角的分类
周角
平角
直角
锐角
钝角
角度范围 角的名称 相互关系
小于90°
等于90° 大于90° 但小于180° 180° 360° 锐角
直角
钝角
平角
周角
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角；
1平角=2直角；
1周角=2平角=4直角
角的度量与换算
角的基本度量单位是度、分、秒.
把 1°的角分成 60 等份，每一等份叫作 1 分，记作 1′；
把 1′ 的角分成 60 等份， 每一等份叫作 1 秒， 记作 1″.
读数为25°55′10″
1°=60′
1′=60″
1′=()°
1″=()′
度、分、秒之间的换算是六十进制.
度
分
秒
× 60
×3 600
× 60
÷3 600
÷ 60
÷ 60
度分秒进率关系图
用度、分、秒表示 54.26°.
解 54.26°= 54°+ 0.26°.
又 0.26°= 0.26× 60′
= 15.6′ = 15′ + 0.6′，
而 0.6′ = 0.6 × 60″ = 36″，
因此，54.26°= 54°15′36″.
按1°=60′，1′=60″先把度化成分，再把分化成秒.
（小数化整数）
用度表示 48°25′48″.
解
因此，48°25′48″ = 48.43°.
按1″=(1/60)′，1′= (1/60)°，先把秒化成分，再把分化成度.
(整数化小数)
25′48″ = 25′+48″= 25′+ 0.8′= 25.8′，
计算：
(1) 把25.72°用度、分、秒的形式表示；
(2) 把45°12′30″化成度.
解： (1) ∵0.72°= 0.72× 60′=43.2′，
0.2× 60″=12″，
∴25.72°=25°43′12″
(2) ∵30″= 30× ()′=0.5′，
12.5× ()°≈0. 21°，
∴45°12′30″≈45. 21°
除不尽可以四舍五入取近似值
计算：
(1) 37°28′ + 24°35′； (2) 83°20′- 45°38′20″
解 (1) 37°28′+ 24°35′ = 61°63′ = 62°3′；
(2) 83°20′ - 45°38′20″
= 82°79′60″ - 45°38′20″
= 37°41′40″.
逢“60”进 “1”
不够减，向前一位借“1”
计算：
(1) 20°26′ + 30°54′； (2) 90°- 43°18′.
解 (1) 20°26′+ 35°54′
= 55°80′
= 56°20′；
(2) 90° -43°18′
= 89°60′- 43°18′
= 46°42′.
(1) 把度换算成度、分、秒：从左往右依次进行. 整数度保持不变，把不满 1 度的小数度化为分，再把不满 1 分的小数分化为秒，最后把度、分、秒合写在一起.
(2) 把度、分、秒换算成度：从右往左进行. 先把秒化为分，再把分化为度，最后把原来的度与由分和秒转化成的度相加.
角度单位之间的换算方法：
课堂练习
1. 下列算式正确的是( )
①33.33°=33°3′3″；
②33.33°=33°19′48″；
③50°40′33″=50.43°；
④50°40′30″=50.675°.
A. ①和②
B. ①和③
C. ②和③
D. ②和④
D
【教材P164页 练习第1题】
2. 填空：
(1) 0.65°= ′；
(2) 32.43°= ° ′ ″；
(3) 120°36′54″=　 　°；
(4) 108°42′36″ = °.
39
32
25
48
120.615
108.71
4. 若∠C ＝ 90°，∠A ＝ 25°30′，则 ∠C－∠A 的结果是（ ）
A. 75°30′ B. 74°30′
C. 65°30′ D. 64°30′
D
3. 比较大小：74.45°_______ 74°45′
＜
5. 计算：
(1) 72°12′ + 50°40′30″；
(2) 113°50′40″ - 57°48′42″.
122°52′30″
56°1′58″
【教材P164页 练习第2题】
6. 10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是多少？15 时整呢？
答：10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角度数为 60 度，15时整所成的角是 90 度.
【教材P164页 练习第3题】
7. 小红早晨8:30出发，中午12:30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为_______，到家时时针和分针的夹角为_______.
75°
165°
解析:与12点整相比，8:30时，
时针转过了 (8+ ）×30°=255°，
分针转过了 30×6°=180°,
所以夹角为255°-180°=75°.
同理12:30时，时针和分针的夹角为165°.
1. 若， ，
，则( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. ［2024广东］如图，一把直尺、
两个含 的三角尺拼接在一起，
则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 将与两个角的关系记为 ,下列探索
的大小与两个角的类型之间的关系中正确的是( )
A
A. 当时,若为锐角,则 为锐角
B. 当时,若为钝角，则 为钝角
C. 当时，若为锐角，则 为锐角
D. 当时，若为锐角，则 为钝角
返回
4. 当分针指向12，时针恰好与分针成
角时是( )
D
A. 9点钟 B. 8点钟
C. 4点钟 D. 8点钟或4点钟
【点拨】当分针指向12，与时
针的夹角为 时，有如图
两种情况，此时是8点钟或4点
钟，故选D.
返回
5. 用一副三角板可以画出一些角.在 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
的角中，能画出的角有( )
A
A. 11个 B. 10个
C. 9个 D. 8个
返回
6.将量角器按如图方式放置，其中角度为 的角是_______
________.
和
（第6题）
返回
7.计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
8. 将一副三角尺按如图方式摆放，使三角尺的一个顶点重
合， ， ，和分别是 和
的平分线.若 ，下列结论错误的是( )
D
A.
B.
C.
D.
【点拨】因为 ，
，和 分别是
和 的平分线,所以
，
.因为 ，所以
，
，
， .
返回
9.［2025长沙望城区模拟］如图，是直线上一点， 平
分，平分 .
（1）求出 的度数，你能得出什么结论？
【解】由角平分线的定义可知
， .
再由题图中角的关系得
，
所以 .
结论：的度数恒为 ，和射线 的位置无关.
（2）如果，求 的度数.
由（1）可得 ,所以 .
返回
课堂小结
角的度量与计算
角的分类
角的单位换算
借位
进位
角的和、差计算
大单位化成小单位
小单位化成大单位
谢谢观看！

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