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4.3.2.2余角和补角
第4章 图形的认识
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
余角和补角
在深入学习角的度量与计算后，我们将进一步探索两个重要的角的关系概念 —— 余角和补角。理解余角和补角的定义、性质及其应用，能帮助我们更灵活地解决与角相关的数学问题，同时也为后续学习三角形内角关系、几何图形中的角度计算等知识奠定基础。
一、余角和补角的定义
（一）余角的定义
如果两个角的和等于\(90^{\circ}\)（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角 。例如，\(30^{\circ}\)的角与\(60^{\circ}\)的角，因为\(30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\)，所以\(30^{\circ}\)角是\(60^{\circ}\)角的余角，同时\(60^{\circ}\)角也是\(30^{\circ}\)角的余角 。一般地，若\(\angle\alpha\)与\(\angle\beta\)互为余角，则可表示为\(\angle\alpha + \angle\beta = 90^{\circ}\)，也可以写成\(\angle\beta = 90^{\circ} - \angle\alpha\)，\(\angle\alpha = 90^{\circ} - \angle\beta\) 。
（二）补角的定义
如果两个角的和等于\(180^{\circ}\)（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角 。比如，\(100^{\circ}\)的角和\(80^{\circ}\)的角，由于\(100^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}\)，所以\(100^{\circ}\)角是\(80^{\circ}\)角的补角，\(80^{\circ}\)角也是\(100^{\circ}\)角的补角 。通常，若\(\angle\theta\)与\(\angle\varphi\)互为补角，可表示为\(\angle\theta + \angle\varphi = 180^{\circ}\)，也能写成\(\angle\varphi = 180^{\circ} - \angle\theta\)，\(\angle\theta = 180^{\circ} - \angle\varphi\) 。
二、余角和补角的性质
（一）余角的性质
同角的余角相等：若\(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\)，\(\angle A + \angle C = 90^{\circ}\)，那么\(\angle B = \angle C\) 。因为\(\angle B = 90^{\circ} - \angle A\)，\(\angle C = 90^{\circ} - \angle A\)，所以\(\angle B\)和\(\angle C\)都等于\(90^{\circ}\)减去同一个角\(\angle A\)，故\(\angle B = \angle C\) 。
等角的余角相等：若\(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\)，\(\angle D + \angle C = 90^{\circ}\)，且\(\angle A = \angle D\)，那么\(\angle B = \angle C\) 。因为\(\angle B = 90^{\circ} - \angle A\)，\(\angle C = 90^{\circ} - \angle D\)，又因为\(\angle A = \angle D\)，所以\(90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - \angle D\)，即\(\angle B = \angle C\) 。
（二）补角的性质
同角的补角相等：若\(\angle M + \angle N = 180^{\circ}\)，\(\angle M + \angle P = 180^{\circ}\)，则\(\angle N = \angle P\) 。原因是\(\angle N = 180^{\circ} - \angle M\)，\(\angle P = 180^{\circ} - \angle M\)，所以\(\angle N\)和\(\angle P\)都等于\(180^{\circ}\)减去同一个角\(\angle M\)，因此\(\angle N = \angle P\) 。
等角的补角相等：若\(\angle Q + \angle R = 180^{\circ}\)，\(\angle S + \angle T = 180^{\circ}\)，且\(\angle Q = \angle S\)，那么\(\angle R = \angle T\) 。由于\(\angle R = 180^{\circ} - \angle Q\)，\(\angle T = 180^{\circ} - \angle S\)，再结合\(\angle Q = \angle S\)，可得\(180^{\circ} - \angle Q = 180^{\circ} - \angle S\)，即\(\angle R = \angle T\) 。
三、余角和补角的应用
（一）在几何图形中的应用
在几何图形中，余角和补角的概念经常用于计算角的度数。例如，在直角三角形中，除直角外的两个锐角互为余角 。已知一个锐角为\(35^{\circ}\)，根据余角的定义，另一个锐角的度数为\(90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}\) 。又如，在一条直线上有三个角\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)，且\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}\)，如果\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为补角，\(\angle 1 = 120^{\circ}\)，那么\(\angle 2 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\)，进而可求出\(\angle 3 = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 60^{\circ} = 0^{\circ}\)（这种情况在实际图形中较少出现，但从数学计算角度成立） 。
（二）在实际生活中的应用
在实际生活中，余角和补角的知识也有广泛应用。比如，在建筑设计中，设计师需要计算不同构件之间的角度，利用余角和补角的关系可以更准确地确定角度，确保建筑物的结构稳定 。在测量工作中，测量人员通过测量一些已知角度，利用余角和补角的性质计算出其他未知角度，从而完成地形测绘等工作 。
四、余角和补角学习中的易错点
概念混淆：容易将余角和补角的定义混淆，错误地认为和为\(180^{\circ}\)的两个角是余角，和为\(90^{\circ}\)的两个角是补角 。可以通过制作口诀 “余角九十要记牢，补角一百八十跑” 来加强记忆。
性质应用错误：在使用同角或等角的余角、补角相等的性质时，容易找错对应角。例如，在复杂的几何图形中，没有准确判断出哪些角是同角或等角的余角、补角，从而错误应用性质 。解决这类问题时，需要仔细分析图形，明确角之间的关系。
计算错误：在计算余角或补角的度数时，可能会出现计算失误。比如在计算\(180^{\circ} - 37^{\circ}25'\)时，度、分的换算错误，正确的计算应为\(180^{\circ} = 179^{\circ}60'\)，则\(180^{\circ} - 37^{\circ}25' = 179^{\circ}60' - 37^{\circ}25' = 142^{\circ}35'\) 。
通过对余角和补角的学习，我们掌握了它们的定义、性质以及在不同场景下的应用，同时也了解了学习过程中的易错点。在后续的学习中，要多结合实际问题和几何图形进行练习，熟练运用余角和补角的知识解决问题。如果还有疑问，欢迎随时交流探讨，我们一起深入理解这部分重要的几何知识。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
1.∠1和∠2有什么数量关系？
2.∠3和∠4有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
探索新知
余角和补角的定义
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.
若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角.
1
2
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互为余角.
如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角.
若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角.
几何语言：
∵∠3+∠4=180°，
∴∠3与∠4互为补角.
3
4
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
45°
60°
77°
81°15′
x° （0＜x＜90）
85°
175°
45°
135°
30°
120°
13°
103°
8°45′
98°45′
(90-x)°
(180-x)°
锐角的补角比它的余角大______.
90°
填表：
判断：
(1) 一个角的余角必为锐角.
(2) 一个角的补角必为钝角.
(3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°.
(4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.
(5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角.
( )
( )
( )
( )
( )
√
×
√
×
×
练一练
余角和补角的性质
思 考
∠1 ∠2 ∠3
30° 150° 150°
90° 90° 90°
150° 30° 30°
观察下表，你有什么发现？
∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，
∠2与∠3大小相等.
由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°，
所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠2 =∠3（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的补角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°
∴∠2=∠3(同角的补角相等)
等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c”
试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？
∠4 ∠5 ∠6
图① 30° 60° 60°
图② 45° 45° 45°
图③ 60° 30° 30°
∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，
∠5与∠6大小相等.
图①
图②
图③
由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°，
所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4.
因此 ∠5 =∠6（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的余角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3(同角的余角相等)
如图，已知∠ACB =∠CDB =90°
(1)图中有哪几对互余的角？
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°，
∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°，
(2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等)
∠A=∠BCD(同角的余角相等)
如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是
∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.
解 因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，
所以∠BOD = 90°-∠AOB
= 90°-29.66°= 60.34°.
又因为 OC 是∠BOD 的平分线，
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
所以
已知一个角的余角是这个角的补角的 ，
求这个角的度数.
解 :设这个角为 x°，则这个角的余角为（90-x）°，
　　补角为（180-x）°.
根据题意，得
解得 x = 45 .
因此，这个角为 45°.
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.
课堂练习
1. 填空：
（1） 105°26′的补角等于 ；
（2） 28°25′32″的余角等于 .
74°34′
61°34′28″
若一个角的补角是这个角的余角的 4 倍，
则这个角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.65°
C
2.
【课本P166 练习 第1题】
答：∠AOB 的度数为 56°.
如图，∠BOD = 118°，∠COD 是直角， OC 平分∠AOB， 求∠AOB 的度数.
3．
【课本P166 练习 第2题】
4．已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B度数的 3 倍还多30°.求∠B的度数.
解 :设∠B的度数为 x°，则∠A的度数为（3x+30）°.
根据题意，得
解得 x = 15 .
故∠B为 15°.
5. 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线. 若∠BOC = 3∠AOD，∠EOD-∠COD = 30°，求 ∠BOE 的度数.
解: 设∠EOD =x°，则∠COD =(x-30)°.
因为 OE 是 ∠BOD 的平分线，
所以 ∠BOE =∠EOD = x°.
因为 OC 是∠AOD 的平分线，
所以∠AOC =∠COD = (x-30)°.
所以∠AOD = 2 (x-30)°，
∠BOC = 2 ∠EOD +∠COD = (2x)°+(x-30)°.
由∠BOC = 3∠AOD，得 2x+x-30= 3×2(x-30)，
解得 x = 50. 所以∠BOE = 50°.
1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( )
C
A. B.
C. D.
2. ［2025长沙望城区期末］一个角的补角比这个角的余角的
3倍少 ，这个角是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. ［2025汕头月考］如图，, ,
，下列判断：①射线是 的
角平分线；是的补角；；
的余角有和 .其中正确的是( )
C
A. ①③④ B. ①②③
C. ①②③④ D. ②③④
【点拨】因为，所以射线
是 的角平分线，故①正确；因为
，且的补角是 ，所以
是的补角，故②正确；因为 ，
所以 ，所以
.因为 ，所以
，故③正确；因为
，所以
是的余角，是 的余角.因为
，所以的余角有和 ，
故④正确.综上分析可知，正确的有①②③④.
返回
4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放.
与 互补的摆法是____；
与 相等的摆法是______.（填序号）
④
①②
返回
5.一位同学利用如图所示的量角器，采用如图①所示的方法
测量锐角 的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射
线，上,则 的度数为____.另外一位同学用同样的
方法，测量的余角 的度数，如图②所示，已知射
线所指示的度数为 ，则射线 所指示的度数为_____
_____.
或
返回
6.如图，点在直线 上，
， .
（1）求 的度数.
【解】因为点在直线 上,所以
.
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .
（2）图中有哪几对角互为余角？
与，与，与， 与
,这4对角互为余角.
（3）图中有哪几对角互为补角？
与，与,与， 与
，与，与，与 ,这7
对角互为补角.
返回
7. 若与互为余角，与 互为补角，则下列结论错误
的是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】因为与互为余角，所以 .因为
与互为补角，所以 ，得
，故A正确，D错误； ，得
，故B正确； ，得
，故C正确.
返回
8.［2025北京海淀区期末］已知 在正方形网格中的位置
如图所示.设的余角为 ，则___ .（填“ ” “
”或“ ”）
【点拨】如图，取格点,，连接 ，
，， ，由网格特征可知：
， ，四
边形 是正方形，所以
，
.因为的余角为 ，所以
.因为 ，
，所以 .
返回
课堂小结
互余 互补
两角间的 数量关系
对应的图形
性质
∠1+∠2=90°
(90°-∠1=∠2)
∠3+∠4=180°
(180°-∠3=∠4)
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
谢谢观看！

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