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章末复习
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、知识框架梳理
（一）有理数的基本概念
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、\(0\)、负整数；分数包括正分数和负分数 。例如，\(3\)、\(0\)、\(-5\)是整数，属于有理数；\(\frac{1}{2}\)、\(-\frac{3}{4}\)是分数，同样属于有理数。
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。数轴是理解有理数大小比较和运算的重要工具，通过数轴可以直观地看出数的相对位置和大小关系。比如，在数轴上，右边的数总比左边的数大，\(2\)在\(1\)的右边，所以\(2>1\)。
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，\(5\)和\(-5\)互为相反数，\(0\)的相反数是\(0\)。互为相反数的两个数的和为\(0\)，即若\(a\)与\(b\)互为相反数，则\(a + b = 0\) 。
绝对值：数轴上表示数\(a\)的点与原点的距离叫做数\(a\)的绝对值，记作\(\vert a\vert\)。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，\(0\)的绝对值是\(0\)。即当\(a>0\)时，\(\vert a\vert = a\)；当\(a = 0\)时，\(\vert a\vert = 0\)；当\(a<0\)时，\(\vert a\vert = -a\) 。例如，\(\vert 3\vert = 3\)，\(\vert -2\vert = 2\) 。
（二）有理数的运算
有理数的加法
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得\(0\)；一个数同\(0\)相加，仍得这个数 。例如，\(( + 3)+( + 5)= + (3 + 5)=8\)，\(( - 2)+( + 7)= + (7 - 2)=5\) 。
运算律：加法交换律\(a + b = b + a\)，加法结合律\((a + b) + c = a + (b + c)\) 。运用运算律可以使计算简便，如\(( - 25)+34+( - 65)+16=[( - 25)+( - 65)]+(34 + 16)= - 90 + 50 = - 40\) 。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识结构
负数的引入，
有理数的分类
相关概念
乘方的意义
数轴
有理数
有理数的大小比较
加、减运算
有理数的运算
相反数
绝对值
乘、除运算
乘方运算
混合运算
科学记数法
思考回顾
1.为什么要引入负数？有理数可以如何分类？
为了表示某一问题中具有相反意义的两种量.
有理数
整数
分数
正整数
负整数
0
正分数
负分数
有理数
正有理数
负有理数
正整数
负整数
0
正分数
负分数
2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？
①画：即画一条水平直线；
②取：即在直线的适当位置取一点作为原点，并在这点处标上 O；
③定：即确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来；
④标：即选取适当的长度作为单位长度.
数轴的画法:
在数轴上，原点右边的数是_____，原点左边的数是_____，原点表示的数是_____.
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
正数
负数
0
3.如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？
任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数.
|a|=
a，a为非负数，
－a，a为负数.
4.怎样比较有理数的大小？
正数大于负数，0大于负数
两个负数，绝对值大的反而____
在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
小
① 利用正负性比较大小
② 利用绝对值比较大小
③ 利用数轴比较大小
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算
加法法则：
两个负数相加，结果是____，并且把它们的绝对值_____.
异号两数相加，当它们的绝对值不相等时，取绝对值____的加数的符号，并且用较大的绝对值_____较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得__；一个数与0相加，仍得______.
减法法则：
减去一个数，等于____这个数的相反数.
负数
相加
较大
减去
0
这个数
加上
乘法法则：
异号两数相乘得____，并且把绝对值____.同号两数相乘得_____，并且把绝对值_____.任何数与0相乘，仍得____ .
除法法则：
同号两数相除得____，异号两数相除得____，并把它们的绝对值相除；
0 除以任何一个不等于0的数都得____ .
除以一个不为0的数，等于乘这个数的_____ .
负数
相乘
正数
相乘
0
正数
负数
0
倒数
求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.
在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数.
an
幂
底数
指数
含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算.
有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先进行括号里面的运算(先小括号,再中括号，最后大括号).
6.有理数的运算满足哪些运算律
加法交换律：a+b =b+a
加法结合律：a+b+c =(a+b)+c=a+(b + c)
乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：(a × b)× c = a ×( b × c )
乘法对加法的分配律：a ×(b + c) = a × b + a× c
有理数加法：
有理数乘法：
1.0既不是正数也不是负数.如绝对值等于本身的数有正数和0,绝对值等于相反数的数有负数和0.
2.数轴是一条直线,由原点、正方向、单位长度三要素确定,三者缺一不可.
3.把一个大于10(小于-10)的数用科学记数法表示成a×10n的形式时，一定要注意a的取值范围,其中n为正整数.
4. 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法,乘方实质是求几个相同因数的乘积.
注意事项
考点1 正、负数
1. ［2025长沙雨花区月考］在，，, ,0,
,, 中，负数有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
2. 下列说法正确的是( )
D
A. “向东”与“向西 ”不是相反意义的量
B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降
C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降
D. 若将高设为标准，高记作 ，则
所表示的高是
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考点2 有理数
3. 下列7个数：-，，，0， ，
（每两个2之间依次多一个6）， ，
其中有理数有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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考点3 数轴及其应用
4. 如图，已知北京时间2025年5月25日上午8时对应数轴上的
数字8，多伦多时间2025年5月24日20时对应数轴上的数字 ，
由此推断当纽约时间是2025年5月24日19时时，对应数轴上
的数字是( )
C
A. 9 B. 7 C. D.
【点拨】北京时间2025年5月25日上午8时对应数轴上的数字
8，多伦多时间2025年5月24日20时对应数轴上的数字
，故数轴上的原点表示某地2025年5月25日上
午0时，所以当纽约时间是2025年5月24日19时时，对应数轴
上的数字是 .故选C.
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考点4 有理数的大小比较
5. 某药品说明书上贴有如图的标签，若要存放该药品，则下
列温度符合要求的是( )
B
A. 摄氏度 B. 0摄氏度
C. 4.1摄氏度 D. 5摄氏度
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考点5 相反数、绝对值、倒数
6.已知，互为相反数，，互为倒数， 是绝对值最小的
负整数，数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，
求 的值.
【解】因为,互为相反数，所以 .
因为，互为倒数，所以 .
因为是绝对值最小的负整数，所以 .
因为数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，所
以或 .
当 时，
;
当 时，
.
综上，的值为 或0.5.
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考点6 科学记数法
7. 据联合国《世界人口展望2024》报告称，
世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿,则103亿用科学
记数法表示是___________.
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考点7 有理数的加减运算
8. 计算
，这
个运算应用了( )
C
A. 加法交换律 B. 加法结合律
C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对
返回
9. 仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银
的凝固点比酒精的凝固点高( )
B
A. B.
C. D.
返回
10.计算:
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
考点8 有理数的乘除运算
11. 如图，数轴上有①，②，③，④四部
分，数轴上的三个点分别表示数，，且， ，
则原点落在( )
C
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
返回
12. ［2025衡阳月考］已知有理数，，满足 ，则
的值为( )
D
A. 3 B. C. 1 D. 或3
【点拨】因为，所以，所以，， 都是正
数或，，中有一正两负.当，， 都是正数时，
;当，， 中有一正两负时，设
，，，则 .所
以的值为3或 .
返回
考点9 有理数的乘方
13. 下列各组数中，不相等的一组是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
返回
14.手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅拿一根很
粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复
几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细细的面条，如图所
示.则第六次捏合后可拉出面条____根.
64
【点拨】第一次捏合后有2根面条；第二次捏合后有
（根）面条；第三次捏合后有 （根）面条；…,所以第
六次捏合后有 （根）面条.
返回
考点10 有理数的混合运算
15.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
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16. 根据背景素材，探索解决问题.
周末小明打算去露营基地野餐.
【素材1】路线：家 炸鸡店 面包店 水果店 奶茶店
露营基地；
【素材2】这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，
向西为负，他这天行车里程单位：如下：， ，
，， ；
【素材3】滴滴车价目表：起步价（不超过 时）车费8元，
超过 时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张八
折优惠券和一张七折优惠券（每种优惠券只能使用一次）.
【任务1】 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
【解】 .
答：露营基地在家的西边 处.
【任务2】 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
（元）.
答：炸鸡店到面包店所用的车费为12元.
【任务3】 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求
最低总车费.
（元）.
答：水果店到奶茶店用八折券，奶茶店到露营基地用七折券，
总车费最低，最低总车费为52.8元.
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思想1 数形结合思想
17. 点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数是和 ，
下列判断中，正确的是( )
B
；；； .
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
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思想2 分类讨论思想
18. 如图，， 分别为数轴上的两个点，点
表示的数为，点 表示的数为90.
（1）请直接写出到，两点距离相等的点 对应的数.
【解】点 对应的数为40.
【点拨】点在原点左侧，距离原点10个单位长度，点 在原
点右侧，距离原点90个单位长度，故， 两点之间的距离为
（个）单位长度， （个）单位长
度.由题图可知，到，两点距离都等于50个单位长度的点
对应的数为40.
（2）一只电子蚂蚁从点 出发，以3个单位长度/秒的速度
向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点 出发，以2个单位长
度/秒的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴
上相距35个单位长度？
相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，
（秒）；相遇后，两只电子蚂蚁
在数轴上相距35个单位长度时，
（秒）.综上，经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距
35个单位长度.
返回
思想3 从特殊到一般的思想
19.探索规律并解答问题：
；
；
；
；….
（1） ____；
55
（2）计算： .
【解】原式 .
返回
思想4 转化思想
20.［2025南阳月考］定义新运算： ，
.例如：， .若
，则称有理数， 为一组“魅力数对”.例如：
,,所以 ，所以2，
3就是一组“魅力数对”.
（1）下列各组数中，是“魅力数对”的有______；（填写序号）
，；， ；
， .
【点拨】因为, ，所以
，所以， 是一组“魅力数对”，符合
题意；因为， ，所
以，所以， 不是“魅力数对”，
不符合题意；因为* ，
,所以 *
,所以, 是一组“魅力数对”，
符合题意.
（2）计算： .
【解】原式
.
返回
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