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专题二 函数专题归纳总结与测试
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数的描述正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．函数为奇函数
C．函数为上的减函数 D．
4．（2024·广西·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
5．（23-24 黑龙江大庆 ）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
6．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（ ）
A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增
B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减
C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减
D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，若，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数的定义域为，若满足，且函数是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．最大值为1
11．（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则的图象关于直线对称
B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数
C．若是偶函数，则的图象关于直线对称
D．若是奇函数，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则 .
13．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
14．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分
15．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1．
(1)求，的值；
(2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围．
16．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值时，方程在上有解．
17．（2026高三·全国·专题练习）对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有成立，则称函数为理想函数．
(1)若函数为理想函数，求的值；
(2)判断函数是不是理想函数，并予以证明．
18．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.
(1)若函数的图像过点，求的解集；
(2)求证：当时，存在使得成等差数列.
19．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.
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专题二 函数专题归纳总结与测试
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立，
可得，故.
故选：C
2．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是上的增函数，
所以，即，
又因为是增函数，所以，
又是上的增函数，
所以，即，
综上所述，a，b，c的大小关系为.
故选：A.
3．（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数的描述正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．函数为奇函数
C．函数为上的减函数 D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，即
∵是上的单调增函数，
∵， ∴有唯一的零点，
因此，由，得，所以，
函数为偶函数，不是奇函数；在上单调递减，在上单调递增；
，故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
4．（2024·广西·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，即为偶函数，
当时与，与均在上单调递增，
所以与均在上单调递增，
所以在上单调递增，则不等式等价于，
即，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
5．（23-24 黑龙江大庆 ）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
【答案】C
【解析】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；
对于B，由，令，有，故B正确．
故选：C.
6．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（ ）
A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增
B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减
C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减
D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增
【答案】D
【解析】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数；
又，当时，令，
因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，
故在单调递减，故AB都错误；
对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数；
又，当时，均为减函数，故为上的减函数，
故为上的增函数，故C错误，D正确.
故选：D.
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，若，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则直线与函数的图象有三个交点，
由图象可知，，
由，则有，
则有，解得，有，
又，所以，
得．
故选：A.
8．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．
【答案】B
【解析】因为是奇函数，所以为偶函数，
所以，即，故的图象关于直线对称，
由的图象关于直线对称得，
即，
即，所以关于对称，
所以，所以，
故是奇函数，所以B选项正确；
因为，又，所以，
即，所以，故C选项错误；
不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误.
故选：B
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数的定义域为，若满足，且函数是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】函数的定义域为，由函数是奇函数，得，
对于A，由，得，由，
得，则，A正确；
对于B，由，，得，
，B错误；
对于C，，而，即，因此，C错误；
对于D，由，得，
则
，D正确.
故选：AD
10．（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．最大值为1
【答案】BD
【解析】由，显然不是的周期，A错；
由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对；
由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错；
由，
令，则，且，
若，则，又在、上都单调递减，
在上，，在上，，
所以的最大值为1，D对.
故选：BD
11．（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则的图象关于直线对称
B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数
C．若是偶函数，则的图象关于直线对称
D．若是奇函数，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为是偶函数，所以，
所以，即的图象关于直线对称，故A错误；
对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数，
设的最小正周期为，由，得，故B正确；
对于C，由，得，
又是偶函数，所以，
所以，则的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，由C项可知，，
因为是奇函数，所以，即，
则，所以，
因此的图象关于点对称，且，
所以
，故D正确．
故选：BCD．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则 .
【答案】
【解析】因为对任意的恒成立，可知函数的定义域为，
因为函数是偶函数，则，即，
整理可得，即，
可得
，
即，可知是偶函数，符合题意，
所以.
故答案为：.
13．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数仅有一个零点，
所以函数的图象与函数的图象只有一个交点.
函数恒过定点，，
同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，
两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，
当直线与函数在处相切时，只有一个交点，
此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，
当直线与函数在处相切时，只有一个交点，
此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】第一空：当时，易知的值域为，
若的值域为，则当时，的最大值需满足小于或等于2，
因为在上单调递增，故需满足：即，解得：，故的一个取值为；
第二空：当时，易知的值域为，
若的值域为，则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2，
又在上单调递增，则需满足即，解得：，所以的取值范围是.故答案为：，
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分
15．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1．
(1)求，的值；
(2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，且，
可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增，
则，解得.
（2）由（1）得，
因为存在，使对任意的都成立，
由（1）可知：在内单调递增，则，
可得，即对任意的都成立，
可得，解得或，
故实数的取值范围为．
16．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值时，方程在上有解．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）时，，则，
因为奇函数，则；
因的最小正周期为，则，
又，则，
则
（2），且，则
，
因，则，，
则，即，则在上单调递减，则；
利用奇函数性质可得， 在上也单调递减，且，
画出图象如图所示，

由图象可知，则或或时，与的图象有交点，
即方程在上有解，故．
17．（2026高三·全国·专题练习）对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有成立，则称函数为理想函数．
(1)若函数为理想函数，求的值；
(2)判断函数是不是理想函数，并予以证明．
【答案】(1)
(2)为理想函数，证明见解析
【解析】（1）若函数为理想函数，取，由条件③可得，即．
由条件①对任意的，总有，得．
（2）函数为理想函数，证明如下：
函数在上满足，即满足条件①．
，满足条件②．
若，，，
则
，即满足条件③．
综上所述，同时满足理想函数的三个条件，故为理想函数．
18．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.
(1)若函数的图像过点，求的解集；
(2)求证：当时，存在使得成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）已知函数的图像过点，
所以，即，因为，所以，
则.
函数的定义域为，且在定义域上单调递增.
由可得，
解得，所以不等式的解集为.
（2）当时，，
.
若成等差数列，则，
即.
所以，
即，
即，则，移项可得.
对于一元二次方程，，
所以方程有实数解，即存在使得成等差数列.
19．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.
【答案】(1)2
(2)
(3)1
【解析】（1）因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”.
所以，，其值域为.
则，又，解得.
（2）函数，对称轴为.
设的 “倍值区间” 为.
若，在上单调递减，
则，两式相减得：
，，.
因为，所以，，即.
若，在上单调递增，
则，
即有两个不同的大于的根.
令，则，
解得或，
解得，解得，此时无解.
若，，，与矛盾.
综上，的取值范围是.
（3）因为函数是 “倍值函数”，
设其 “倍值区间”为开口向下，对称轴为.
若，在上单调递减，
则，两式相减得:
，，，
代入得，
，，无解.
若，在上单调递增，
则，
即有两个不同的小于的根.
令，则，解得.
因为存在唯一的 “倍值区间”，
由，根据韦达定理，.
两根为，
要使区间唯一，则，此方程无解.
再考虑在上不单调的情况，因为对称轴，
所以，且，则，得且.
又，，
消去得（无解），
或者，解得或（舍去）.
所以.
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