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2.4 指数运算及指数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024辽宁抚顺）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，解得，则，即过定点.
故选：B
2.（2024山东济南）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数，，令，解得，
则其定义域为，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.
故选：A
3．（2025江苏）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】D
【解析】由于函数在上单调递减，函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，则，解得，
所以函数在区间上单调递减的充要条件为，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是.故选：D.
4（2025·甘肃）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，当时， ，
因为函数的值域为，所以，得，
所以实数的取值范围是，故选：D.
5.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数，
设，
则不等式，可化为，
即，
又由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
又由函数为上的增函数，为上的减函数，
所以函数为上的增函数，
所以不等式，即为，
可得，解得，即不等式的解集为.故选：A.
6．（2025·宁夏）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
【答案】C
【解析】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，
所以函数的值域为，故B正确；
，，
所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：C.
7．（24-25安徽）已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为在上单调递增，，所以由，得，
因为的解集为，
所以，，，
即，，，
所以，即为，即，
解得，
所以关于的不等式的解集是．
故选：C．
8．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）设函数且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数
B．若，则
C．若，则
D．若为上的增函数，则
【答案】D
【解析】奇函数满足，且定义域关于原点对称.
对于函数，其定义域为，但，
不满足奇函数的性质，所以不是上的奇函数，A选项错误.
若，因为，代入中，可得.
则，B选项错误.
已知，因为，代入中，可得，
此式恒成立，可以取任意大于且不等于的值，并非，C选项错误.
若为上的增函数，则：
当时，要使其单调递增，则，即.
当时，要使其单调递增，则底数.
在分段点处，需满足，解得.
综合以上条件，可得，D选项正确.
故选：D.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25陕西）已知函数，则（ ）
A．的递增区间为 B．的递增区间为
C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】AC
【解析】设，则在上单调递减，在上单调递增．
因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误．
因为，所以，则C正确，D错误．
故选：AC
10．（2024江苏徐州·阶段练习）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由于，
，，，，
即函数的定义域为
当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确；
当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确；
即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误；
故选：ACD
11．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．有且仅有两个零点
B．的图象关于点对称
C．与的图象关于点对称
D．若，则有最大值2
【答案】BC
【解析】，则的图象向左平移1个单位长度后所得图象对应的函数为，
而，所以单调递增，为奇函数且对称中心为，则其有且仅有一个零点，
故可知有且仅有一个零点，且的图象关于点对称，故A错误，B正确；
因为，，的图象分别关于原点和对称，
故与的图象关于原点和的中点对称，故C正确；
若，又，单调递增，则，故D错误.
故选：BC.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025云南）偶函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由题设，，故，
所以，当且仅当时等号成立，又，
所以的值域为.
故答案为：.
13．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，函数为常函数，
所以分段函数在单调递增，在不具有单调性，
且，即当时，，
因为，所以，解得，
所以满足的的取值范围是.
故答案为：
14.（2024河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】若，在单调递增，
要满足题意，则要在单调递减，故，即；
若，在单调递减，
要满足题意，则要在单调递增，故，即，不满足，故舍去；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024广东湛江）设函数．
(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解： 的图象关于原点对称，为奇函数，，，
即，．所以，所以，
令，则，，又，
，解得，即，所以函数的零点为．
（2）解：因为，，
令，则，，，对称轴，
当，即时，，；
②当，即时，，（舍；
综上：实数的值为．
16．（2024·新疆）设函数．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)函数的值域为.
(2)
【解析】（1），
，则，当且仅当时取“=”，
所以，即函数的值域为.
（2）设，因为所以，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，设时，函数的值域为A．由题意知．函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，则，解得，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，则，满足条件的不存在，
综上，．
17．（2025安徽）设函数且是定义域为的奇函数，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若在上的最小值为，求的值．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）由题意，得，即，解得，
由，得，即，解得，或（舍去），
∴，
∴函数在上为增函数，
由，得
∴，解得，或，
∴的取值范围是；
（2）由（1）得，，
令，由得，，
∴函数转化为，对称轴，
①当时，，即，
解得，或（舍去）；
②当时，，
解得（舍去）；
综上：．
18（24-25 安徽 ）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)在上是递减函数，证明见解析
(3).
【解析】（1）由是定义在上的奇函数，得，
则，
所以.
（2）由（1）知，函数在上是递减函数，
任取，且，，
由，得，则，，即，
所以是定义在上的递减函数.
（3）由，得，
由（2）知，是上的递减函数，则，即，
依题意，对任意的恒成立，
而，则，当且仅当，即时取等号，
因此，所以实数的取值范围是.
19．（24-25高三下·云南·阶段练习）设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，都有且，则称为上的 “提升函数”.
(1)已知函数，判断是否为上的 “提升函数”，并说明理由.
(2)若函数是上的 “提升函数”，求的取值范围.
(3)已知函数，且是上的 “提升函数”，求的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)
【解析】（1）当时，，
因为，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以是上的 “提升函数”.
（2）因为是上的 “提升函数”，
所以对任意，，且，
所以恒成立，
所以对任意恒成立，所以恒成立，
所以；
（3）当时，，在上单调递增.
当时，，在上单调递增，
因为，
所以在上单调递增.
因为是上的 “提升函数”，
所以对任意且，
因为在上单调递增，
所以，得，
因为为非零实数，所以，
所以的取值范围是.

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2.4 指数运算及指数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024辽宁抚顺）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
2.（2024山东济南）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025江苏）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
4（2025·甘肃）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·宁夏）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
7．（24-25安徽）已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）设函数且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数
B．若，则
C．若，则
D．若为上的增函数，则
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25陕西）已知函数，则（ ）
A．的递增区间为 B．的递增区间为
C．有最大值4 D．有最小值4
10．（2024江苏徐州·阶段练习）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．有且仅有两个零点
B．的图象关于点对称
C．与的图象关于点对称
D．若，则有最大值2
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025云南）偶函数的值域为 ．
13．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 .
14.（2024河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024广东湛江）设函数．
(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．
16．（2024·新疆）设函数．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，求正实数a的取值范围．
17．（2025安徽）设函数且是定义域为的奇函数，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若在上的最小值为，求的值．
18（24-25 安徽 ）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19．（24-25高三下·云南·阶段练习）设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，都有且，则称为上的 “提升函数”.
(1)已知函数，判断是否为上的 “提升函数”，并说明理由.
(2)若函数是上的 “提升函数”，求的取值范围.
(3)已知函数，且是上的 “提升函数”，求的取值范围.
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