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2.5 对数运算及对数函数（精讲）
考向一 对数的运算
【例1-1】计算下列式子
(1)
(2)．
(3)．
(4)；
（5）
【答案】(1)5 (2)8 (3)2(4)(5)
【解析】（1）
.
（2）因为，，
所以原式
（3）
.
（4）
.
（5）
.
【例1-2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由，得，又，
所以.
故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25陕西咸阳）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，则，
即.故选：C.
2.计算下来式子
（1）.
（2）
（3）．
（4）
（5）．
（6）；
【答案】(1) （2） (3) （4） .(5)8 (6)
【解析】（1）.
（2）
（3）原式
（4）
.
（5）因为，，
所以原式
（6）
.
考向二 对数型函数的定义域
【例2-1】（2025辽宁）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，得且．即函数的定义域为，故选：D
【例2-2】（24-25辽宁）的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】要使函数有意义，
则应有.
由正切函数的图象与性质解可得，，
所以，函数的定义域为.
故选：A.
【例2-3】（24-25辽宁）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，，则，
所以，函数的定义域，
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
【例2-4】（23-24北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：对任意恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：的取值范围是.
故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25吉林四平）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，解得，所以的定义域的为.故选：C
2．（24-25广东梅州）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意：，所以所求函数的定义域为：.故选：B
3.（24-25上海）函数的定义域为
【答案】
【解析】由题，，解得，解得或.
所以函数的定义域为.故答案为：.
4.（24-25辽宁沈阳）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由，则，
化简可得，解得.
故答案为：.
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域 ．
【答案】答案见解析
【解析】要使函数有意义，则，即．
若，则，∴；
若，则，∴．
综上，当时，函数定义域为；当时，函数定义域为．
故答案为：当时，函数定义域为；当时，函数定义域为
考向三 对数型函数的单调性
【例3-1】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，解得或，
所以函数的定义域是，
因为当时，单调递增，
而在定义域内单调递增，故函数的单调增区间是.
故选：D
【例3-2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是由，复合而成，
由题意知：，在区间上单调递增，
若函数（其中且）在区间上单调递减，所以单调递减，
可得： ,又对于恒成立，所以，解得：，综上所述：.
故选：A
【例3-3】（24-25山西）已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设， ，
若对任意的，都有，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，在上递增，且，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25广东揭阳）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，则，
解得或，所以函数的定义域为，
令，则函数在定义域上为单调递减函数，
而在上单调递减，在单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为.
故选：A.
2．（24-25 安徽蚌埠 ）函数的单调递增区间是 .
【答案】（或）
【解析】令，解得，可知函数的定义域为，
因为，
且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增，
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：（或）.
3．（24-25 湖南岳阳 ）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④
同时满足，由②可得；由③ 可得；由④ 可得.
综上可得：实数a的取值范围为.
故选：C.
4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意易知或，
且开口向上，且对称轴为，
结合复合函数的单调性知在上单调递增，
所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性；
而函数在上单调递增可知，
显然成立，满足必要性.
故选：B.
考向四 对数型函数单调性的应用---比较大小
【例4-1】（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因在上单调递增，
则，，所以.故选：B
【例4-2】（2025·浙江金华·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，.
则，所以.
则，所以.
所以.
故选：D.
【例4-3】（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数，
因为，所以，，且函数在上为增函数，
所以，，
因为函数在上为减函数，则，
故，且，
所以，，故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，
，且，
，
综上，，即.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A中，由函数在上单调递减，可得，所以A错误；
对于B中，由函数在上单调递增，可得，所以B错误；
对于C中，由，且，所以，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D错误.故选：C.
3.（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知， ，
即函数图象的对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减.
.
，.
故选：A.
4．（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由换底公式等价变形得：，
因为，两边取以7为底的对数可得：，
又因为，两边取以7为底的对数可得：，可知，由，可得，
由，可得，
从而可得，故选：C.
考向五 对数型函数单调性的应用---解不等式
【例5-1】（24-25 江苏苏州 ）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以函数的定义域为，
则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数，
又时，是单调递增函数，而是单调递减函数，所以是单调递减函数，
根据对称性知时，所以是单调递增函数，函数中，，
由得，解得或.故选：D.
【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
可得，，所以，．
因为
，所以为奇函数．
当时，为增函数，且为连续函数，
则在上单调递增，所以原不等式等价于，
即，即，解得．
故选：D．
【一隅三反】
1．（24-25 广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故，
函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，
，故，即或，
解得或，
故的解集为.
故选：D
2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，又因为定义域为关于原点对称，
所以是奇函数，
由于，
可知函数在定义域上单调递减，
所以
即，即，
则，该不等式组无解，所以解集为.
故选：D.
3．（24-25 云南德宏 ）已知实数a满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，综上
当时，.
故选：A.
考向六 对数型函数的值域
【例6-1】（2025陕西）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知，解得；
易知函数的定义域为；
又是由函数和复合而成的，
由对数函数单调性可知在定义域内单调递减，
而二次函数开口向上，关于对称，
因此在上单调递增，在上单调递减；
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增；
因此在处取得最大值，即，
可得的值域为.
故选：C
【例6-2】（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（ ）
A．1 B．2或 C．4 D．4或
【答案】D
【解析】令
因为在定义域内为增函数，且最大值为1，
可知的最大值为4，则，解得，
经验证均满足题意.
故选：D.
【例6-3】（24-25江苏）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的值域为，
可知在内单调递减，则，解得，
可得当时，，即在内值域为，符合题意；
且在内不单调递减，
若在内单调递增，则，解得，
此时，符合题意；
若在内为常函数，则，解得，
此时，符合题意；
综上所述：实数的取值范围是．
故选：A．
【一隅三反】
1.（2025高三·全国·阶段练习）函数的最小值为
【答案】1
【解析】，
令则，当且仅当时，取等号，
所以，即函数的最小值为1.
2（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
当，即时，取到最小值，且.
故答案为：
3．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
【答案】8
【解析】，
由得，即的定义域为，
令，因为，所以，
所以在上为增函数，
所以时，.
故答案为：.
4.（24-25高三下·广西·开学考试）函数值域为R的一个充分不必要条件是
【答案】
【解析】当时，，满足值域为R，成立；
当时，应有，则，
综上，
对于A，是的充分不必要条件，满足；
对于B，是的充要条件，不满足；
对于C，是的必要不充分条件，不满足；
对于D，是的既不充分也不必要条件，不满足.
5．（24-25 广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】在上单调递增，则在上的值域为.
若时，函数在上单调递减，
值域为，与并集不是R，故不满足题意；
若时，函数在上单调递增，
值域为，要使与并集为R，则，即满足题意.
考向七 对数型函数过定点
【例7-1】（24-25 河南 ）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】D
【解析】函数的图象经过点，则，即，
又，.当且仅当时取等号，时取等号.
【一隅三反】
1.（24-25 ·广东潮州 ）已知函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】的图象经过定点，故故选：D
2．（24-25江西）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于函数且，
由，可得，此时，，即点，
将点的坐标代入直线方程可得，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
3．（24-25山东德州）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】A
【解析】由，得，则，
所以函数（且）恒过定点，
设过点的幂函数为，则，得，所以过点的幂函数为，
此幂函数的图象只经过第一、二象限，故选：A
考向八 对数型函数图像
【例8-1】（24-25安徽合肥）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数（且）中由得，
则函数过定点，
设，代入可得，解得，
故幂函数，则B选项图象符合.
故选：B.
【例8-2】（2025高三·全国·专题练习）已知，函数与的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】若，则在上是增函数，在上是减函数；
若，则在上是减函数，在上是增函数，
综上，这两个函数中，一个是增函数，另一个是减函数，故排除A，C，D．
又由于的定义域为，其图象只能在y轴左侧，B正确．
故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25高三下·福建福州·开学考试）若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由幂函数图象可得，
函数定义域为，
而，则恒成立，BCD错误，A正确.
故选：A
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由函数的图象知该函数为减函数，∴．
图象通过第一、二、四象限且图象与轴的交点横坐标在区间内，
∴，解得．
故选:D．
3．（24-25 贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】指数函数（其中且）恒过点，且与轴无交点，
当时，单调递增，当时，单调递减；
对数函数（其中且）恒过点，与轴无交点，
当时，单调递增，当时，单调递减；
可以看出②过点，与轴有交点，不合要求，其他均满足要求.
故选：B
4．（24-25湖南岳阳）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数的图象知，则，
所以函数为增函数，
且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位，
所以函数的大致图象是C选项.故选：C.
考向九 对数函数的对称性
【例9-1】（24-25高三下·广西柳州·阶段练习）若函数是奇函数，则b的值为（ ）
A． B．2 C．-2 D．4
【答案】A
【解析】由函数是奇函数，得，
即，
则，即，而不恒为0，
因此，解得，此时，
函数的定义域为R，符合题意，所以.
故选：A
【例9-2】．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，其图象关于直线对称，
则，
所以，所以，解得，
所以，此时，满足题意；
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故选：B．
【一隅三反】
1.．（24-25 北京·期中）关于函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数，且曲线存在对称轴
B．在上是增函数，且曲线存在对称中心
C．在上是减函数，且曲线存在对称轴
D．在上是减函数，且曲线存在对称中心
【答案】B
【解析】对于函数，由可得，解得，
即函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
设，
因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数，
故函数在上是增函数，故函数不存在对称轴，且该函数的图象关于原点对称，
故选：B.
2．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A：，定义域为R，是偶函数，不符；
B：，定义域为，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符；
C：，定义域为R，是偶函数，不符；
D：，定义域为R，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合.
故选：D
3．（24-25 湖北 ）若函数为奇函数，则实数的值为 ．
【答案】1
【解析】由题意可得，即，
即，
所以，即，
展开整理可得，
即，
比较系数可得，解得.
当时，，函数定义域为关于原点对称，
，为奇函数符合题意.
故答案为：1
考向十 对数函数的实际应用
【例10-1】（2025·甘肃）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】B
【解析】当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
【例10-2】（2025安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设这个正整数为，因为的次方是个位数，所以，即，则，结合表中数据易知，.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ）
A．10 B．4.05 C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，，两式相减，得，
因此，.
故选：D
2．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
【答案】D
【解析】设2025年后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，
则，即，
则，
即.
所以，即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
故选：D.
3．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年 B．年
C．年 D．年
【答案】C
【解析】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，，
以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，
由，可得，
所以，，
所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS，
故选：C.
考向十一 反函数
【例11-1】（23-24湖南株洲）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由函数与互为反函数，
若的反函数为，则.
故选：C.
【例11-2】（2025·上海）若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，2]
C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【答案】D
【解析】∵函数存在反函数
∴函数在[0，1]上单调
若单调递增，即，则在x∈[0，1]上恒成立，即在上恒成立
∵在[0，1]上单调递增∴∴a≤1
若单调递减，即，则在上恒成立即在上恒成立∴在上单调递增∴∴．综上，常数a的取值范围为．选：D．
【一隅三反】
1．（23-24 福建 ）已知函数，是的反函数，则（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
【答案】C
【解析】因为函数，是的反函数，故，故.
故选：C
2．（2025·河南）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，
所以点，在函数的图象上，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：B
3．（2025·浙江·二模）（多选）若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以函数需满足在定义域上单调.
对于A，易知函数在R上单调递增，故A正确；
对于B，因为在R上单调递增，函数在R上单调递减，故可知函数在R上单调递增，故B正确；
对于C，因为，定义域为R，所以.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故C错误；
对于D，因为，定义域为R，所以，化简可得，因为，所以对，，又因为，所以对，恒成立，所以函数在R上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
考向十二 对数函数的综合应用
【例12-1】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数为偶函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)若在区间上恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），由于函数为偶函数，所以，
即，即，
即恒成立，∴.
所以不等式为，解得：或，所以原不等式的解集是.
（2）由题得恒成立，即恒成立，
因为，所以，所以恒成立，
令，令，
则，
因为在单调递增，
所以函数在上单调递减，故.
∴.
∵对任意的恒成立，且，∴.
∴实数a的取值范围是.
【一隅三反】
1（2025 ·陕西西安 ）已知函数且.
(1)当时，
①若，求的值；
②当时，用定义证明函数是上的减函数；
(2)若为偶函数，且，求的取值范围.
【答案】(1)①，②证明见详解；
(2).
【解析】（1）当时，，
①若，则，解得.
②当时，，
任取，且，令，
则，
因为是R单调递增函数，所以，则，
即，即，
又是上的增函数， 则，
,
，
所以是R上的减函数.
（2）若为偶函数，则，
即，
所以，即，
，则，
因为在上单调递增，且，
所以由，得，
所以的取值范围为.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且）
(1)若，求方程的解；
(2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）即解得，于是 ，
方程即为，
令，则有即，
求得（舍负） ，
所以方程的解为 .
（2）由已知得，
整理得 ，
因为，所以 ，
从而对任意恒成立，
因为（当且仅当取等号），
所以，
即实数的最大值为.
3．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)若，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以；
（2），
令，问题等价于求的值域，
函数图象开口向上，对称轴为直线，
，
函数的值域为．
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2.5 对数运算及对数函数（精讲）
考向一 对数的运算
【例1-1】计算下列式子
(1)
(2)．
(3)．
(4)；
（5）
【例1-2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【一隅三反】
1．（24-25陕西咸阳）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2.计算下来式子
（1）.
（2）
（3）．
（4）
（5）．
（6）；
考向二 对数型函数的定义域
【例2-1】（2025辽宁）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（24-25辽宁）的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（24-25辽宁）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（23-24北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25吉林四平）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25广东梅州）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25上海）函数的定义域为
4.（24-25辽宁沈阳）函数的定义域为 ．
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域 ．
考向三 对数型函数的单调性
【例3-1】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（24-25山西）已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25广东揭阳）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 安徽蚌埠 ）函数的单调递增区间是 .
3．（24-25 湖南岳阳 ）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考向四 对数型函数单调性的应用---比较大小
【例4-1】（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2025·浙江金华·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
考向五 对数型函数单调性的应用---解不等式
【例5-1】（24-25 江苏苏州 ）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（24-25 广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25 云南德宏 ）已知实数a满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
考向六 对数型函数的值域
【例6-1】（2025陕西）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（ ）
A．1 B．2或 C．4 D．4或
【例6-3】（24-25江苏）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（2025高三·全国·阶段练习）函数的最小值为
2（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
3．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
4.（24-25高三下·广西·开学考试）函数值域为R的一个充分不必要条件是
5．（24-25 广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是
考向七 对数型函数过定点
【例7-1】（24-25 河南 ）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【一隅三反】
1.（24-25 ·广东潮州 ）已知函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（24-25江西）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25山东德州）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
考向八 对数型函数图像
【例8-1】（24-25安徽合肥）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2025高三·全国·专题练习）已知，函数与的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25高三下·福建福州·开学考试）若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（24-25 贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（24-25湖南岳阳）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
考向九 对数函数的对称性
【例9-1】（24-25高三下·广西柳州·阶段练习）若函数是奇函数，则b的值为（ ）
A． B．2 C．-2 D．4
【例9-2】．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.．（24-25 北京·期中）关于函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数，且曲线存在对称轴
B．在上是增函数，且曲线存在对称中心
C．在上是减函数，且曲线存在对称轴
D．在上是减函数，且曲线存在对称中心
2．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25 湖北 ）若函数为奇函数，则实数的值为 ．
考向十 对数函数的实际应用
【例10-1】（2025·甘肃）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
【例10-2】（2025安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ）
A．10 B．4.05 C． D．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年
3．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年 B．年
C．年 D．年
考向十一 反函数
【例11-1】（23-24湖南株洲）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（ ）
A． B． C． D．2
【例11-2】（2025·上海）若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，2]
C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【一隅三反】
1．（23-24 福建 ）已知函数，是的反函数，则（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
2．（2025·河南）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
3．（2025·浙江·二模）（多选）若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
考向十二 对数函数的综合应用
【例12-1】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数为偶函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)若在区间上恒成立，求a的取值范围.
【一隅三反】
1（2025 ·陕西西安 ）已知函数且.
(1)当时，
①若，求的值；
②当时，用定义证明函数是上的减函数；
(2)若为偶函数，且，求的取值范围.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且）
(1)若，求方程的解；
(2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
3．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)若，求函数的值域.
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