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2.5 对数运算及对数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024广东湛江）函数（且）的图象所过的定点为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024广东江门）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2025春·湖南）已知，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（2025湖北）函数的图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
5（2025·安徽）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2026河北）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7（24-25福建）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25 河南 ）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．无零点 D．在上单调递增
10．（24-25 江西）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若函数的值域为，则实数
B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
11．（24-25 湖南）函数．则下列结论正确的是（ ）
A．在其定义域内的值域为
B．的单调递增区间为
C．对定义域内任意，恒成立
D．的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）．
13．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 .
14（2025·山西）已知函数，若，则 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·全国·高三专题练习）化简求值：
（1）． （2）；
（3）. （4）
（5）．
16．（24-25湖南）设且，已知函数.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式.
17．（24-25云南曲靖·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时.
长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快.
(1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式；
(2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值；
(3)业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字）
（参考数值：，）
18．（2024安徽合肥）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
19．（24-25河北）已知函数.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)若函数有两个零点，，且，求实数的取值范围；
(3)请问是否存在实数，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由.
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2.5 对数运算及对数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024广东湛江）函数（且）的图象所过的定点为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数（且），令，解得，则，
所以的图象所过的定点为.故选：A.
2．（2024广东江门）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数（且）的反函数为，即，又，所以，所以，则.选：A
3.（2025春·湖南）已知，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，即，即，
又，即，故，即，
当时，由，无解，综上，实数a的取值范围是．故选:A．
4（2025湖北）函数的图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
5（2025·安徽）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令，，
若在上单调递增，
因为是上的增函数，
则需使是上的增函数且，
则且，解得.
因为 ，故是的必要不充分条件，
故选：C.
6．（2026河北）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
当时，函数在上单调递减，
此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，
要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.
故选：A.
7（24-25福建）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的值域为，
当时，，即，所以时，单调递增，，此时符合题意；
根据题意可得，时，单调递减，且，显然符合题意，
故，即，当时，也满足题意，
综上，．
故选：A．
8．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故选：A.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25 河南 ）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．无零点 D．在上单调递增
【答案】AB
【解析】由，且定义域为，
所以的图象关于直线对称，A对；
当时，在上单调递减，D错；
当时，在上单调递增，
又，B对；
显然，C错；
故选：AB
10．（24-25 江西）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若函数的值域为，则实数
B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，因为的值域为，所以的最小值为，
显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为函数在区间上为增函数，
当时，，定义域为，不符合题意；
当时，由复合函数单调性可知在单调递增，
则，且，
又在上恒成立，
联立，解得，故B错误.
对于C，因为的定义域为，所以恒成立，
当时，由有意义，可得，显然不满足题意；
当时，则，解得，故C正确；
对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意；
当时，则解得，
∴．故 D错误.
故选：AC.
11．（24-25 湖南）函数．则下列结论正确的是（ ）
A．在其定义域内的值域为
B．的单调递增区间为
C．对定义域内任意，恒成立
D．的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点
【答案】ACD
【解析】由可得或，则函数的定义域为或，
设，则当或时的值域是，
而的值域是，所以定义域内的值域为，A正确；
单调递减，在上递减，
所以的单调递增区间为，同理的单调递减区间为，B不正确；
当时；当时或，因为的图象关于对称，
所以对定义域内任意，，
所以对定义域内任意，恒成立，即恒成立，C正确；
的单调递增区间为，，
所以时，有唯一零点在内，且在第三象限，在第二象限；
因为的单调递减区间为，，
所以时，有唯一零点在内，且在第四象限，在第一象限；
综上，的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点，D正确.
故选：ACD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）．
【答案】33
【解析】由题意可知，当时，，
所以当污染物减少时，，
解得.
故答案为：33
13．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 .
【答案】/
【解析】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意；
若，则的定义域为，
且由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，不符合题意；
若，则的定义域为，
由题意可得，则，
此时由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，符合题意；
综上， .
故答案为：
14（2025·山西）已知函数，若，则 ．
【答案】﹣3
【解析】根据题意，函数，
则
，
则，
若，则，
故答案为：﹣3．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·全国·高三专题练习）化简求值：
（1）．
（2）；
（3）.
（4）
（5）．
【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
16．（24-25湖南）设且，已知函数.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式.
【答案】(1)偶函数，理由见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）是偶函数.
证明：，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
17．（24-25云南曲靖·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时.
长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快.
(1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式；
(2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值；
(3)业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字）
（参考数值：，）
【答案】(1)3.82（分钟／千米），.
(2).
(3)3.11分钟／千米.
【解析】（1）由题意，黄雪梅的平均配速为（分钟／千米）
时速为千米／时，配速.
（2）因为，代入数值可得，解得.
（3）由（2）得.令，则有，
可得，所以.因此，
即配速的最小值为3.11分钟／千米.
18．（2024安徽合肥）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
19．（24-25河北）已知函数.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)若函数有两个零点，，且，求实数的取值范围；
(3)请问是否存在实数，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，
【解析】（1）设，因为，所以，
所以，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以函数的值域为.
（2）设，，若函数有两个零点，则函数有两个零点，
由，则，
令，可得是方程的两个不等的根，
则，，
所以，
，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）由函数在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递减，
由复合函数的单调性可得的减区间为，增区间为，
由，必有，可得，
由函数的减区间为，则，
可得是方程在区间上的两个不相等的实数根，
方程，即，
可化为，又，有，，
方程可化为，即，
又由函数和函数单调递增，
结合图象可知，方程在区间上的两个不相等的实数根，
又由和满足方程，故方程的根为，即，，
故存在，满足题意.
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