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2.5 对数运算及对数函数（精练题组版）
题组一 对数运算
1．（24-25·贵州）计算 .
【答案】4
【解析】.故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：变形得到，，构造，由函数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解
2.（24-25安徽）计算= ．
【答案】6
【解析】原式，故答案为：6．
3．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
【答案】2026
【解析】法一：，
，
设，则，
由于在R上单调递增，故，
故；
法二：，
设与的交点为，
与的交点为，
由于和为反函数，
即和关于对称，
而和垂直，关于对称，
联立，解得，
所以与关于对称，
故，所以.
故答案为：2026
4.（2024山东）计算化简：
(1) (2)
(3)； (4)．
（5）. （6）；
（7）； （8）；
【答案】(1) (2)8 (3) (4) （5）（6）（7）0（8）1
【解析】（1）.
（2）.
（3）；
（4）
.
（5）原式.
（6）原式
；
（7）原式；
（8）原式
；
5.（2025湖北）已知，，试用，表示.
【答案】
【解析】因为，
所以.
题组二 对数型函数的定义域
1．（24-25 北京·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，有，解得且，因此，函数的定义域为.
故选：A.
2．（24-25 ·云南昭通）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：，即，解得，故选：A.
3．（24-25湖南）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得.故选：C
4．（24-25 北京）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.故答案为：.
5．（24-25 安徽）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，，取交集得.故答案为：.
题组三 对数型函数的单调性
1.．（24-25 云南昆明 ）函数的单调递减区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得：或，易知当时，单调递减；
再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减；故选：B
2．（24-25 辽宁）函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，分解因式可得，
解得，所以函数的定义域为，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递减，
则函数的增区间为.
故选：D.
3．（24-25 湖南 ）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得由，得，
解得，即函数定义域为，
因为函数是增函数，故求函数的单调递增区间即求函数在上的单调递增区间，
令，则，
所以函数的递增区间为.
故选：D.
4．（24-25 山东 ）设，，q：函数在上单调递减，则成立是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为：，.
所以成立的充分必要条件是：或，解得.
又成立的充分必要条件为：.
所以成立是成立的必要不充分条件.
故选：B
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在上单调递增，则值域为，
由对称轴为，
当时，开口向上，则，显然成立；
当时，在上单调递增，且，显然成立；
当时，开口向下，则，则；
综上，.
故选：D
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，而在上单调递增，
复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，且在上恒成立，
故，解得，故选：B．
7．（24-25 河北）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，易知在其定义域上单调递减，
在上单调递减，则在上单调递增，
且在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得及，解得，
所以，故在上单调递增，
所以，，综上可得，
故选：B.
9．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数在上单调递增，则在上单调递增，
令，则在上单调递减，所以且，
故选：B.
10．（2025·河南鹤壁·一模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，
因为在区间上单调递增，所以，即，
当时，有，得，不成立舍去；
当时，有 ，则显然成立，故.
又在区间上单调递增，
在时恒成立，
所以在时恒成立，
因为，则有，即，
则得，即，解得或，
又，所以.
故选：D.
11．（24-25 辽宁 ）函数的单调递减区间是 .
【答案】/
【解析】由，得，则函数的定义域为，
令，，则，
函数的对称轴为，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为为增函数，根据复合函数同增异减，
要使函数单调递减，则需函数单调递减，
所以原函数的单调递减区间为.
故答案为：
12．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
【答案】(或)
【解析】函数的定义域为，
令在定义域上为增函数，则在上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增，
即函数单调递增区间为．
故答案为：(或)
13．（24-25 广西崇左·期末）函数的单调递减区间为 ．
【答案】（或）
【解析】由，得，因为函数在上单调递增，
是减函数，根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为．
故答案为：（或）.
14．（24-25 安徽 ）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，则，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，且，
所以，解得，
故答案为：
15．（24-25安徽）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数，
所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．（24-25高三下·湖南·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，函数的图象如下：
符合题意，
当时，函数的图象如下：
不符合题意，
结合图象的平移，则实数a的范围为：．
故答案为：
题组四 对数型函数单调性的应用---比较大小
1．（24-25 贵州）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为在定义域上单调递减，又，所以，
又在定义域上单调递增，所以.故选：B
2．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知，所以可得，即；
再由基本不等式可得，即；显然，即；
因此可得，即最小的是.故选：C
3．（24-25江西）已知，，，，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，得到，
则，即，
因为，，
所以，综上可得，且，故D正确.
故选：D.
4．（2025·天津河西·一模）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】；
；，
则
故选：A
5．（2025·陕西汉中·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，．
构造函数，则，
易证函数为增函数，
（，令，所以时，为增函数.）
所以，所以，所以，即．
故选：C.
6．（2025·安徽·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，A，B均错误.
，C正确，D错误.
故选：C
7．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，，
因为，
所以，则.
故选：A.
8．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
所以.
故选：C.
9．（2025·广东深圳·二模）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，
又在上单调递增，，所以，
所以，所以，所以.
故选：B.
10．（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，即，即，
又因为，
所以，即，
综上，，
故选:A.
11．（24-25高三上·安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数满足，又，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以当时，则，
则函数在上单调递减，
而，
所以，即.
故选：A.
12．（2024·重庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，
又，
所以，所以.
故选：B
题组五 对数型函数单调性的应用---解不等式
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
2．（24-25 江西 ）已知函数，则满足不等式的的取值范围为 ．
【答案】或．
【解析】由，得的定义域为，
又，故为偶函数，
而当时，易知单调递增，在上也单调递增，
故在上单调递增，
则由，得，解得或．
故答案为：或．
3.（24-25 湖南长沙）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题可知函数的定义域为，
∵，
∴是偶函数，
∴由可得，即．
当时，，∵和在上都是单调递增的，
∴在上单调递增，
又∵，由函数的定义域知有，
∴由可得，
所以或，
解得：或．
综上，不等式的解集为．
4．（24-25 江西）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】定义域，，所以在上单调递增，
又因为，所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：.
5．（24-25 辽宁）已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由于，即恒成立，
故的定义域为R，
又
，
故为R上的奇函数；
而在R上单调递增，
故在R上单调递增，
又不等式对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
而，当且仅当即时取等号，
故，
故答案为：
题组六 对数型函数的值域
1．（24-25 重庆·期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，当且仅当时等号成立，
所以，故值域为.
故选：D
2．（24-25 重庆）若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，需使取遍一切正数，
故需使，解得或.
故选：C.
3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，又值域为，能取遍所有正数，，解得.
故选：D.
4．（24-25江苏）设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递减，
所以
因为存在，满足，
所以，即
，
，
故选：D.
5．（24-25 江苏）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，且在单调递减，所以的最小值为，
可得，且，
所以在上单调递增，所以
因为存在，满足，
则，
所以，
故 ，解得：，
故选：D.
6．（2025湖北武汉）函数的值域为： .
【答案】
【解析】因为，所以，所以函数的值域为.
故答案为：
7．（24-25安徽芜湖）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，所以，即的值域为．
故答案为：.
8．（24-25陕西）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由在区间单调递增，可知此时函数值域为，再由，
当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为，
因为，使得，所以有，即，解得，
由于此时，所以有，
当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为，
因为，使得，所以有，即，解得，
由于此时，所以有，
当时，可知，
因为，所以对，总能使得，即，满足题意，
综上所述可得：的取值范围是.
故答案为：.
9．（24-25湖南）已知函数，，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因，，，
则由，解得：，
即函数的定义域为，
设，则，且在上单调递增，
故当时，即时，；当，即时，，
因，故函数的值域为.
故答案为：.
10．（24-25上海）已知函数有最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为2，
由在上单调递增，值域为，
所以要使有最小值，则有，即，则，
当，即时，，
当，即时，，
综上，.
故答案为：
11．（24-25高三上·浙江杭州·期末）设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
当时，，则在上单调递减，
所以，即；
要使得函数的值域为，
所以当时，，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
12．（24-25 甘肃 ）已知函数的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为的值域为，
所以函数的值域满足，
所以，解得.
故答案为：.
13．（2025浙江）已知函数，，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】，，
的定义域为，解得，
所以函数的定义域为，
，
又
，又，
，即函数的值域为.
故答案为：.
14．（24-25 上海·阶段练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】令则，
，，.
，.
结合反比例函数的图象,如图可知： .
故答案为： .
题组七 对数型函数过定点
1．（24-25上海）函数 的图像过定点 .
【答案】
【解析】令，则，所以函数图象过定点，故答案为：.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
【答案】
【解析】令，可得.
所以定点的坐标为.
故答案为：.
3．（2025云南昭通·期末）已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 .
【答案】
【解析】由函数（，）可知定点，
又因为点A在一次函数上，所以，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故答案为：
4．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 .
【答案】
【解析】令，则，又，所以过定点，
即，，所以故答案为：
题组八 对数型函数图像
1．（2025高三·全国·专题练习）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵函数为减函数，且其图象必过点，∴排除A、D．
∵的图象是由的图象上移1个单位得到的，
因此为增函数，且图象必过点，∴可排除C．
故选：B．
2．（24-25江苏）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线，
与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数，
可得，，，的a值从小到大依次为：，，，，
由a取，，，四个值，
故，，，的a值依次为，，，，
故选：B.
3．（24-25湖北）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知函数的定义域为，
因为，所以，函数为奇函数，排除D.
又当时，，则，排除C.
又，排除B.
故选：A.
4．（24-25山西·期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD.
又当时，，故排除A.
故选：C.
5．（24-25安徽）函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号是（ ）
A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①
【答案】B
【解析】，对应的图象为从左到右第一个，
令，得，故定义域为，
且，
对应的图象为从左到右第三个，
，对应的图象为从左到右第四个，
令，解得或，故的定义域为，
，
由复合函数可知，在上单调递减，
在上单调递增，对应的图象为从左到右第二个，
按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③.故选：B
题组九 对数函数的对称性
1.（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为为奇函数，所以，
即，所以，
经检验，满足题意,
所以，所以.
故选：B.
2.（2025·湖南）“”是“函数是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当函数为奇函数，
则，解得.
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.
3.（2025·安徽）若为奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称，
显然当时，没意义，所以当时，也没意义，但是有意义的，所以必定是，即，
，，
即，
则，是奇函数，
；故选：C.
4．（2025·甘肃）已知函数，则______．
【答案】2
【解析】因为（），
所以
，
所以，
故答案为：2
题组十 反函数
1．（2025·吉林）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于直线对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设为的反函数图象上的任意一点，
则关于的对称点一定在的图象上，
又因为的图象与函数的图象关于直线对称，
所以关于直线的对称点在图象上，
所以必有，即，
所以的反函数为：
故选：D
2.（2025·上海）已知，函数的反函数为，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以，
所以．
故答案为：
3．（2025·吉林）已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】根据反函数定义可知，由题可知
故，，即，根据解析式可知在为增函数，
可列不等式
故答案为：
4．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
【答案】
【解析】由可得，，即，
所以函数，互为反函数，图象关于直线对称，
因直线互相垂直，
所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍，
因为，
令，
则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值3，
此时，
故答案为：
5．（2025·全国·模拟预测）已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为与的图像关于直线对称，
所以若函数的图像上存在关于直线对称的点，
则方程在上有实根，即方程在上有实根．
设，则由复合函数的单调性易得在上单调递增，
所以，所以实数的取值范围是．
故答案为：
题组十一 对数函数的实际应用
1．（2025·广东）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由题意，得，
则，因此，
，则，
，则.
故选：A.
2．（2025江苏）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，估计以内的素数个数为.
故选：B.
3．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当时，，
当时，，则，
则，即.
故选：A.
4．（2025·福建·模拟预测）在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ）
A．100米 B．2500米 C．5000米 D．7500米
【答案】C
【解析】由题意可得，
所以，，
设大气压强从250百帕增加1倍到500百帕，海拔高度降低米，
则，所以，
所以，即，
所以，所以.
故选：C.
5．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
两式相减可得：，
又，
所以，
所以，
故选：C
6．（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（ ）倍．（参考数据：）
A．1.8 B．18 C．63 D．128
【答案】C
【解析】由，则，即，
当时，地震最大振幅为，
当时，地震最大振幅为，
则.
故选：C.
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:)
A．
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则
【答案】CD
【解析】由题意得，故有，
左右同时取对数得，故得，故A错误，
当时，，故B错误，
而当时，，
得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确，
由题意得，化简得，
，
将代入其中，可得，故D正确.
故选：CD
题组十二 对数函数的综合应
1．（24-25四川）已知函数是奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【解析】（1）因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
所以，则，解得或.
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，满足题意，
综上，；
（2）在上单调递增，证明如下：
不妨设，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上单调递增，
又是奇函数且定义域为，所以在上单调递增；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，
即，
又是奇函数，所以，
又在上单调递增，所以对任意实数恒成立，
又，
所以当时，取得最大值，所以，
解得，即的取值范围是.
2．（24-25 贵州遵义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若的值域为，求a的取值范围；
(3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)单调增区间是，单调减区间时；
(2)
(3)不存在，理由见解析；
【解析】（1）当时，，
由，可得：或，
易知，在单调递增，在单调递减，
又单调递增，
所以的单调增区间是，单调减区间时；
（2）当时，，显然满足值域为，
当时，要使得的值域为，需满足：，
解得：，
综上可知：若的值域为，a的取值范围是；
（3）不存在，理由如下：
若函数在区间上单调递减，
需满足：在上单调递减，且在恒成立，
若在上单调递减，
满足，
当时，需满足，即，
当时，需满足，恒成立，
综上可得：在上单调递减a的取值范围是，
若在恒成立，
即，
令，易知在对称轴处取到最大值，
所以，
显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立，
所以不存在实数使得函数在区间上单调递减.
3．（24-25湖南）设且，已知函数.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式.
【答案】(1)偶函数，理由见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）是偶函数.
证明：，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
4．（24-25江西宜春·阶段练习）设，.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)推理并写出的单调区间；
(3)当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)增区间是，减区间是；
(3).
【解析】（1）时，显然恒成立；
时，，
所以的定义域是，
又，即，
所以是奇函数.
（2）增区间是，减区间是，证明如下：
任取，且，则，
易知在上单调递增，且，则，
所以，即，所以在上单调递减，
，
当，即时，单调递增，由复合函数的单调性知递增；
当，即时，单调递减，由复合函数的单调性知递减，
所以的增区间是，减区间是.
（3）令，则，即在上恒成立，
令，设，对称轴为，
所以在上单调递减，从而，
所以的取值范围是.
5．（24-25安徽·阶段练习）已知为奇函数，为常数.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由于，函数为奇函数，
故，即，
则，即，
则，
当时，，不符合题意；
当时，，令，则或，
即函数定义域为，
，即函数为奇函数，符合题意，
故；
（2）对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，
即对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，所以，
令，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
则的最小值为，
故.
6．（2025·上海崇明·二模）已知．
(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若且，解关于x的不等式．
【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数
(2)答案见解析
【解析】（1）存在实数，使得函数是偶函数.
要使函数有意义，须满足，即，
显然，即，函数的定义域.
当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数.
当时，，
函数的定义域为，对于任意的，都有，
并且
因此函数是一个偶函数
综上所述，存在实数，使得函数是偶函数
（2）由，得
所以且①．
由①得，.
因为且，
所以当时，，
当时，.
综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
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2.5 对数运算及对数函数（精练题组版）
题组一 对数运算
1．（24-25·贵州）计算 .
2.（24-25安徽）计算= ．
3．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
4.（2024山东）计算化简：
(1) (2)
(3)； (4)．
（5）. （6）；
（7）； （8）；
（2025湖北）已知，，试用，表示.
题组二 对数型函数的定义域
1．（24-25 北京·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 ·云南昭通）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25湖南）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25 北京）函数的定义域为 ．
5．（24-25 安徽）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
题组三 对数型函数的单调性
1.．（24-25 云南昆明 ）函数的单调递减区间为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25 辽宁）函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25 湖南 ）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25 山东 ）设，，q：函数在上单调递减，则成立是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25 河北）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南鹤壁·一模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25 辽宁 ）函数的单调递减区间是 .
12．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
13．（24-25 广西崇左·期末）函数的单调递减区间为 ．
14．（24-25 安徽 ）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
15．（24-25安徽）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ．
16．（24-25高三下·湖南·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
题组四 对数型函数单调性的应用---比较大小
1．（24-25 贵州）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25江西）已知，，，，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．（2025·天津河西·一模）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·陕西汉中·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·安徽·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广东深圳·二模）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数满足，又，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·重庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
题组五 对数型函数单调性的应用---解不等式
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）不等式的解集为 ．
2．（24-25 江西 ）已知函数，则满足不等式的的取值范围为 ．
3.（24-25 湖南长沙）已知函数，则不等式的解集为 ．
4．（24-25 江西）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
5．（24-25 辽宁）已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为 ．
题组六 对数型函数的值域
1．（24-25 重庆·期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 重庆）若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25江苏）设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
5．（24-25 江苏）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025湖北武汉）函数的值域为： .
7．（24-25安徽芜湖）函数的值域为 ．
8．（24-25陕西）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 .
9．（24-25湖南）已知函数，，则函数的值域为 ．
10．（24-25上海）已知函数有最小值，则的取值范围为 ．
11．（24-25高三上·浙江杭州·期末）设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 .
12．（24-25 甘肃 ）已知函数的值域为，则的取值范围是 .
13．（2025浙江）已知函数，，则函数的值域为 ．
14．（24-25 上海·阶段练习）函数的值域为 ．
题组七 对数型函数过定点
1．（24-25上海）函数 的图像过定点 .
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
3．（2025云南昭通·期末）已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 .
4．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 .
题组八 对数型函数图像
1．（2025高三·全国·专题练习）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25江苏）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
3．（24-25湖北）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25山西·期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25安徽）函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号是（ ）
①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①
题组九 对数函数的对称性
1.（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2.（2025·湖南）“”是“函数是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.（2025·安徽）若为奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．（2025·甘肃）已知函数，则______．
题组十 反函数
1．（2025·吉林）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于直线对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·上海）已知，函数的反函数为，且，则 ．
3．（2025·吉林）已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是 ．
4．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
5．（2025·全国·模拟预测）已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ．
题组十一 对数函数的实际应用
1．（2025·广东）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025江苏）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A． B． C． D．
3．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建·模拟预测）在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ）
A．100米 B．2500米 C．5000米 D．7500米
5．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（ ）倍．（参考数据：）
A．1.8 B．18 C．63 D．128
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:)
A．
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则
题组十二 对数函数的综合应
1．（24-25四川）已知函数是奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
2．（24-25 贵州遵义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若的值域为，求a的取值范围；
(3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由.
3．（24-25湖南）设且，已知函数.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式.
4．（24-25江西宜春·阶段练习）设，.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)推理并写出的单调区间；
(3)当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围.
5．（24-25安徽·阶段练习）已知为奇函数，为常数.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（2025·上海崇明·二模）已知．
(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若且，解关于x的不等式．
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