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2.6 零点定理（精讲）
考向一 求零点
【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
2．（24-25广东）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·福建福州·开学考试）函数恰有两个零点，则 .
考向二 零点区间
【例2】（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25河北）函数的零点所在大致区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25·云南昭通）设函数，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025湖南）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
考向三 根据零点区间求参数
【例3-1】（24-25河南）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例3-2】（2025·山西阳泉）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025湖南长沙·期末）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025江苏镇江）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
考向四 零点个数
【例4-1】（2025河南）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例4-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【例4-3】（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
【一隅三反】
1．（2025北京）函数的零点个数为
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ．
3（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数，则函数在区间上的零点个数为
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为
考向五 已知零点个数求参数
【例5-1】．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2025·浙江）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25云南）已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 .
3．（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为
考向六 比较零点大小
【例6】（24-25高三上·天津和平·期末）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知函数的零点为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
考向七 零点之和
【例7-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·江西）函数在区间上的零点设为…，，则（ ）
A．6 B．18 C．12 D．16
2．（24-25高三上·陕西·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．0
3．（24-25福建泉州）函数在区间上的所有零点之和等于 ．
4．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
考向八 零点的取值范围
【例8-1】（24-25 安徽 ）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例8-2】（24-25 山东济宁 ）（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【一隅三反】
1．（24-25 浙江绍兴）（）许多设函数.若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25 湖北）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
3．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）已知，若，则的最大值为 .
考向九 二分法
【例9-1】（24-25湖北）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据：
1.00 1.25 1.50 1.625
0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193
则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（ ）
A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875
【例9-2】（2025安徽滁州·期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24 陕西西安）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
2．（23-24黑龙江）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25湖南永州·期末）（多选）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
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2.6 零点定理（精讲）
考向一 求零点
【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以函数的零点是.故选：C
【一隅三反】
1．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得为方程的两个解，则，
解得，易知.
故选：B.
2．（24-25广东）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，可得；
可得，
令，因此，
解得或或；
因此函数的零点是.
故选：D
3．（24-25高三下·福建福州·开学考试）函数恰有两个零点，则 .
【答案】
【解析】因为函数恰有两个零点，所以
又在关于对称，所以即
故答案为：
考向二 零点区间
【例2】（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
由可知，函数在内单调递增，
根据零点存在定理，函数的零点所在的大致区是.
故选：C
【一隅三反】
1．（24-25河北）函数的零点所在大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，
根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：A.
2．（24-25·云南昭通）设函数，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】和均为增函数，函数在区间上单调递增.
又，，
由零点存在性定理得，函数存在唯一零点在区间上.故选：C.
3．（2025湖南）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
所以函数的零点所在的区间为，故选：C．
考向三 根据零点区间求参数
【例3-1】（24-25河南）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，与均在上单调递增，
所以在上单调递增，又，即，
由零点存在性定理可得，的零点所在区间为，所以．
故选：B．
【例3-2】（2025·山西阳泉）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025湖南长沙·期末）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，即，解得.故选：C.
2．（2025江苏镇江）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】令，
因为，
所以函数图象与轴有两个交点，
因为函数在上存在零点，且函数图象连续，
所以，或，
所以，或，
解得或
故选：B
3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D
考向四 零点个数
【例4-1】（2025河南）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象有唯一公共点，
所以函数的零点个数为1.故选：B
【例4-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】函数定义域为，最小正周期为，，当时，，
函数在定义域上是增函数，当时，，当时，，
因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上，
在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图：
观察图象知，函数与函数的图象交点个数为5.
故选：B
【例4-3】（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
【答案】D
【解析】因为，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，；
当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又；
作出函数的图象，如图所示：
令，则有，
易得此时有4个解，分别为，，，，
结合图象可得：
当时，即，此时有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
所以原方程共有个解．
故选：D
【一隅三反】
1．（2025北京）函数的零点个数为
【答案】3
【解析】由题意可知：要研究函数的零点个数，只需研究函数，的图像交点个数即可.画出函数，的图像，
因为时，，时，，时，，
可知当和时，图像各有一个交点，时，必有一个交点，
且交点为，及第二象限的点C.

2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ．
【答案】4
【解析】令，得或．
设，，在平面直角坐标系中先画出的图象，
保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象，
再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点.
综上所述，函数共有4个零点．
故答案为：4.

3（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数，则函数在区间上的零点个数为
【答案】5
【解析】令，即，亦即.
当时，在区间上，.
当，即时，
在一个周期内，有两个解，在区间上，也有两个解.
由上述计算可知，有个解，有个解，
所以函数在区间上的零点个数为个.
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为
【答案】21
【解析】因为，令，得到，
所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以函数的周期为，
令，则，又当时，，
所以，得到，
故，又，所以在上的图像如图，
又当时，由，得到，当，由，得到，即，
又，所以，
，，
又由，得到，即，
所以，
再结合图像知，在上的零点个数为21个，
考向五 已知零点个数求参数
【例5-1】．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出的图象，
由图象可知a的范围是.
故选：D
【例5-2】（2025·浙江）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，的对称轴为，
当即时，的图象如图1，此时令，可得，
观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；

当即时，的图象如图2，此时令，可得或，
因为和均为的根，
所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，．
当时，的对称轴为，
则，解得，
故．

综上，的取值范围为．
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25云南）已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是
【答案】或
【解析】由函数解析式可画出函数图象如图：
若函数有2个零点，可得函数与函数有两个交点，可得或.
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
由，可得，
要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，
由得，，所以，
由题意可知与有两个不同的交点，
令，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当时，，
作出图形如图所示：
由图象可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
3．（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为
【答案】
【解析】令，则方程可转化为.
对进行因式分解可得，则，.
所以或.
当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且.
当时，，对其求导，.
令，即，解得（）.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得极小值，也是最小值，.
对于：
当时，，即，，解得，有个根.
因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根.
结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根.
的取值范围为.
考向六 比较零点大小
【例6】（24-25高三上·天津和平·期末）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
又由，得，即函数与的交点横坐标就是，
根据递增且过点，在递减，由图可得：，
又由，得，即函数与的交点横坐标就是，
根据递增且过点，在递减且过点，由图可得：，
由于，根据幂函数，解得，即，（也可以数形结合判断）
综上可知：，
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得在R上单调递增，
在上单调递增，
又，，故，
，，故，
，故，
故.
故选：B
2．（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知函数的零点为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为是的零点，则为的解，分别做与的图像如下，
如图可知，所以，，
所以.
故选：
3．（24-25重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知，
同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知，
的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得，
因此，
故选：D.
考向七 零点之和
【例7-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，，则，
又是偶函数，则，所以时，，
又，所以的周期，其在区间上的图象如图所示，
不妨设与在区间上的交点分别为，
由图可知，，
则方程在上所有的实数根之和为，
故选：C.
【例7-2】（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标.
对于函数，其最小正周期为，
当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,
当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.
类似可得函数在区间上的图象变化情况.
如图分别作出和在上的图象如下.
由图可知，两函数在上的图象关于直线对称，
故两者的交点与也关于直线对称，
故
即函数的所有零点的和为
故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江西）函数在区间上的零点设为…，，则（ ）
A．6 B．18 C．12 D．16
【答案】B
【解析】由
得，即，
∵与均关于点对称，
由图可知，两函数有个交点，不妨设为，
根据对称性得，
故函数在上所有零点之和为．
故选B．
2．（24-25高三上·陕西·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以；
因为，所以的周期且，
所以，
因为当时，，所以，所以，
所以，
故在区间内的零点为，其零点之和为，
故选：A.
3．（24-25福建泉州）函数在区间上的所有零点之和等于 ．
【答案】2
【解析】令，则，得，
因为，所以，则所有零点之和为.
故答案为：2
4．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由，得，令函数，
，则函数的图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，
观察图象得，所以的零点之和为.
故答案为：
考向八 零点的取值范围
【例8-1】（24-25 安徽 ）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则或，令，则或，
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．
作出的草图如下，
令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标，
由图知：，且，
则，
由对勾函数可知在上递减，故，
故.
故选：C
【例8-2】（24-25 山东济宁 ）（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题得，所以作出和的图象如下：
因为方程有4个不同的零点，，，，且，
所以，令，则由图可知，
故，，故C错误，AB正确，
令，则或；
令，则或，所以
所以，故D正确.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（24-25 浙江绍兴）（）许多设函数.若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】作出函数的图象，如图，
由图可知，，
由知，，即，
即，得，故A错误，B正确；
由，得，所以故C正确，
所以故D正确，.
故选：BCD.
2．（24-25 湖北）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，显然关于对称，则，
另一个交点位于直线上，在中，当时，，即，
因此，所以.
故答案为：
3．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）已知，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设，则的图象如图所示，

即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且
由余弦函数图象的性质可知，，
又，所以，
令，
则，令，解得或，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
又因为，
所以，
所以，
故答案为：.
考向九 二分法
【例9-1】（24-25湖北）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据：
1.00 1.25 1.50 1.625
0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193
则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（ ）
A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875
【答案】A
【解析】因为，故的零点在区间内，
区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625，
两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，
此时区间长度，因此1.5625是一个近似解．
故选：A
【例9-2】（2025安徽滁州·期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】根据题意，求得，得到，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数，且，可得，
所以，根据零点的存在性定理，
可得方程的近似解落在区间为.
故选：A.
【一隅三反】
1．（23-24 陕西西安）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
【答案】D
【解析】由表格可知,方程的近似根在内,
又因为,故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375.
故选: D.
2．（23-24黑龙江）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，则根应该落在区间内，
根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.
故选：D.
3（24-25湖南永州·期末）（多选）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足，
则可以利用二分法求函数的零点的近似值，
所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点，
选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点.
故选：AC.
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