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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题七 图形与变换
第30讲 投影与视图
聚焦核心
1.几何体的分类
①②④⑥⑦
⑤⑧
③
2.立体图形与平面图形的转化
（1）几何体的侧面展开图
①直棱柱的侧面展开图是______；
②圆柱的侧面展开图是______；
③圆锥的侧面展开图是______.
矩形
矩形
扇形
（2）几何体的展开与折叠
①圆柱的展开图是两个____和一个______；
②正方体的展开图是6个小正方形，有多种形式.
圆
矩形
3.投影
投影包括______投影和______投影.
平行
中心
4.正投影
（1）定义：投影线______于投影面产生
的投影叫作正投影.
垂直
（2）性质：当物体的某个面______于投影面时，这个面的正投影与这
个面的形状、大小完全______.
平行
相同
5.三视图
___________________________________ 主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，
叫作主视图
俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视
图，叫作俯视图
左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，
叫作左视图
画三视图 原则 主视图与俯视图的____对正，主视图与左视
图的____平齐，左视图与俯视图的____相等
长
高
宽
第30讲 投影与视图
案例分析
考点一 立体图形与平面图形的转化
名师指导
1.正方体的平面展开图的四种类型：
（1）“”型
（2）“ ”型
（3）“ ”型
（4）“ ”型
2.正方体的平面展开图中，没有“ ”“ ”图形．
3.根据平面展开图判断正方体的相对面、相邻面：
（1）相间、“ ”端是对面
①相间（中间隔着一个小正方形）的两个面是正方体的对面；
②“ ”字型“ ”两端处的两个面是正方体的对面．
（2）间二、拐角是邻面
①中间隔着两个小正方形的两个面是正方体的邻面；
②拐角型“ ”的三个面是正方体的邻面．
图1
例1 （2024·四川宜宾·中考）图1是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后，距顶点 最远的点是( ).
A.点 B.点 C.点 D.点
图67
提示：把图形围成正方体如图67所示.设正方体的棱长为1，
则，， .由
，得与顶点A距离最远的顶点是C.
B
思路点拨 把这个平面展开图围成正方体，再比较各点与点 的距离的大小.
考点专练
1.下列展开图中，不是正方体展开图的为( ).
D
A. B. C. D.
图2
2.（2024·江苏扬州·中考）图2是某几何体的表面展开后得到
的平面图形，则该几何体是( ).
C
A.三棱锥 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
考点二 投影
名师指导
1.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段
的平行投影与这条线段平行且相等.
2.无论是平行投影还是中心投影，常利用投影线、投影及两个物体
对应的线段构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质解决问题.
图3
例2 （2025·广西北部湾经济区·中考模拟）古希腊数
学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影
子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测量金字塔
的高度.如图3，木杆长，它的影长 是
提示：根据相同时刻的物高与影长成比例，得，即 .解得
．
，同一时刻测得长，则金字塔的高度是_____ .
134
思路点拨 根据在同一时刻的阳光下，不同物体的物高与影长成比例求解.
考点专练
图4
3.数学文化 如图4，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由
“晷面”和“晷针”组成.当太阳光照在日晷上时，晷针的影子
就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的
某一位置，便可知道是白天的某一时间.晷针在晷面上形成
的投影是( ).
A
A.平行投影 B.既是平行投影又是中心投影
C.中心投影 D.无法确定
4.如图5，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高 ，
树影，树与路灯的水平距离，则树 的高度
是___ .
2
图5
考点三 几何体的三视图
名师指导
辨别几何体的三视图时，要注意按题目的要求选择正确的方向进行
辨别，确定了主视方向，俯视和左视的方向就确定了.还要注意实线与
虚线的区别，看得见的轮廓线应画成实线，看不见的轮廓线应画成虚线.
图6
例3 传统文化（2024·山西·中考）斗拱
是我国古典建筑上的重要部件.图6是一
种斗形构件“三才升”的示意图及其主
视图，则它的左视图为( ).
A. B. C. D.
提示：从左边看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条
看不见的轮廓线，应用虚线表示.
C
思路点拨 左视图是从物体左边看到的图形，根据该物体的示意图和主视图可确定左视的方向.要注意虚线、实线的正确使用.
考点专练
5.（2024·四川自贡·中考）下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的
是( ).
C
A. B. C. D.
图7
6.（2024·山东烟台·中考）图7是由8个大小相同的小正方
体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走
一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称
图形，则应取走( ).
A
A.① B.② C.③ D.④
考点四 由三视图确定几何体的形状
名师指导
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想
象立体图形的前面、底面和侧面，然后综合起来考虑整体形状.
图8
例4 （2025·山东济宁·中考改编）一个几何体的三视图如图
8，则这个几何体的表面积是( ).
A. B. C. D.
提示：由三视图可知，这个几何体由一个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥底面圆的直径为6，母线长为4；圆柱底面圆的直径为6，高为4.所以这个几何体的表面积为 .
B
思路点拨 由三视图可知，这个几何体由一个圆锥和一
个圆柱构成.所以该几何体的表面积圆锥的侧面积 圆
柱的侧面积 圆柱的一个底面的面积.
考点专练
7.（2024·安徽·中考）某几何体的三视图如图9所示，则该几何体为
( ).
D
图9
A. B.
C. D.
图10
8.（2025·黑龙江绥化·中考模拟）某几何体是由完全相同
的小正方体组合而成，图10是这个几何体的三视图，
那么构成这个几何体的小正方体的个数是( ).
A
A.5 B.6 C.7 D.8
第30讲 投影与视图
靶向锤炼
靶向练
1.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是( ).
C
A. B. C. D.
2.长方形的正投影不可能是( ).
D
A.正方形 B.长方形 C.线段 D.梯形
图1
3.（2024·江西·中考）图1是由相同的小正方形组成的网
格图，选择一个空白小正方形，能与阴影部分组成正方
体展开图的方法有( ).
B
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
4.（2024·山东威海·中考）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体
搭成的.其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是( ).
D
A. B. C. D.
图2
5.（2024·江苏南通·中考）图2是一个几何体的三视图，
该几何体是( ).
D
A.球 B.棱柱 C.圆柱 D.圆锥
6.如图3①是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方
体，变成图3②所示的几何体，则移动前后( ).
B
图3
A.主视图改变，俯视图改变 B.主视图不变，俯视图改变
C.主视图不变，俯视图不变 D.主视图改变，俯视图不变
7.（2025·湖南衡阳·中考改编）已知人民广场供市民休息的石板凳如图4
所示，则它的主视图是图5中的____，左视图是____，俯视图是____.
（均填序号）
①
②
④
图4
图5
8.（2025·江苏无锡·中考模拟）如果直三棱柱的上、下底面为正三角形，侧面
展开图是边长为6的正方形，那么这个直三棱柱的表面积为__________．
提示：依题意可知，直三棱柱的上、下底面是边长为2的正三角形.所以
这2个底面的面积之和为 ．因为它的侧面展
开图是边长为6的正方形，所以其侧面积为 .所以这个直三棱
柱的表面积为 ．
攻坚练
图6
9.（2024·黑龙江牡丹江·中考）由5个形状、大小完全
相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左
视图如图6所示，则搭建该几何体的方式有( ).
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
提示：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层；由左视
图可知，前一排最高三层，后一排最高一层.从而可知右侧第一排一定
为三层.所以该几何体可能的俯视图如图82所示，小正方形中的数表示
该位置小正方体的个数.
图82
【答案】C
10.图7是一个几何体的三视图.如图8，一只蚂蚁从这个几何体的点 出发，
沿表面爬到的中点 处，则最短路线长为_____.
图7
图8
图83
提示：如图83，将圆锥侧面展开，得到扇形 ，设
．由 ，得 ，即
．由题意可知，为 的中点，所以
.由此可得， 是等边三角形.因为
是的中点，所以 .故
.故最短路线长为
．
11.如图9，在同一盏灯下，甲、乙两物体相距.甲物体高 ，影长
；乙物体高，影长 .
图9
（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．
解：如图84，点为灯的位置，
为丙物体的影子.
图84
（2）若灯杆、甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．
图9
解：如图84，作于点.
由题意，得 ，，，，.
设 ，．
，
，即 .
∵ ，
，即 .
由①②，得．答：灯的高度为 ．
图84
拔尖练
12.（2025·福建·中考改编）综合与实践
【动手操作】在手工制作课上，老师提供了如图10所示的矩形卡纸
，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图11
的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开
图折成一个礼品盒，如图12所示.
图10
图11
图12
【问题解决】
（1）直接写出 的值.
提示：由题意可知，， 四边形 是正方
形， ，即 ，即
.
解：
图10
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如
意”，如图13所示，那么应选择的纸盒展开图图样是( ).
C
图13
A. B. C. D.
【拓展研究】现有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示.
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格/
单价/元 3 5 20
（3）以小明设计的纸盒展开图（图11）为基本样式，适当调整，
的比例，制作棱长为 的正方体礼品盒.要制作27个这样的礼品盒，
请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并
给出所用卡纸的总费用.（提示：可在草稿纸上画出礼品盒的展开图在
不同型号的卡纸上的分布情况，由此推出每张卡纸最多可制作几个礼品
盒.要综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”，总费用最低
的才能得分）
图11
图85
解：以小明设计的纸盒展开图为基本样式，可
得棱长为 的正方体礼品盒的展开图如图
85，则制作1个正方体礼品盒需要一张长 ，
宽 的矩形卡纸.由此可推出，每张型号Ⅰ的
卡纸可制作1个正方体礼品盒；每张型号Ⅱ的卡
纸可制作2个正方体礼品盒；每张型号Ⅲ的卡纸可制作10个正方体礼品
盒.制作27个正方体礼品盒选择型号Ⅲ的卡纸2张、型号Ⅱ的卡纸3张、型
号Ⅰ的卡纸1张时，利用卡纸较合理且总费用最低，所用卡纸总费用为
（元）．

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