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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题七 图形与变换
微专题（十四） 利用轴对称求最值问题
模型一 “一线两点”型（一动点+两定点）
（1）异侧线段和最小值问题
模型剖析 如图1，两定点，位于直线的异侧，在直线上找一点，
使的值最小.
图1
结论：根据“两点之间线段最短”，可知 的最小值即为图中
线段 的长.
模型应用
图2
1.（2025·山东菏泽·中考改编）如图2，在菱形
中，， ，是对角线 上的一
个动点，，则 的最小值为( ).
A.1 B. C. D.2
提示：当A，，三点共线时， 的值最小，即的最小值为 的长.由菱形的性质，得.又 ，所以 为等边三角形.因为点为 的中点，所以， .由勾股定理，得 .
C
（2）同侧线段和最小值问题
模型剖析 如图3，两定点，位于直线的同侧，在直线上找一点，
使得的值最小.
图3
解题思想：利用轴对称的性质将两定点同侧问题转化为异侧问题，
即可利用（1）中模型解决.
结论：根据“两点之间线段最短”，可知 的最小值即为图中
线段 的长.
模型应用
图4
2.（2024·四川成都·中考）如图4，在平面直角坐标系
中，已知，，过点作轴的垂线， 为
直线上一动点，连接，，则 的最小值
为___.
图70
提示：如图70，作点关于直线的对称点 ，则
点，连接， .由对称的性质，得
.所以 ，即
的最小值为的长.在 中，
， ，由勾股定理，得
.所以 的最小值为5．
答案：5
3.（2024·四川眉山·中考节选）如图5，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点， ，分别与轴、轴交于， 两点.
图5
（1）求一次函数和反比例函数的解析式.
解：将代入，得
反比例函数的解析式为.
将代入，得 ，解得
图5
.
将，代入 ，得
解得
一次函数的解析式为 .
（2）点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点 的坐标.
图5
图71
提示：如图71，作点关于轴的对称点，连接交 轴于点，此时的周长最小.， . 设直线对应的函数解析式为，将 ，代入，得 解得直线对应的函数解析式为 .令，得点的坐标为 .
【答案】点的坐标为 .
（3）同侧线段差最大值问题
模型剖析 如图6，两定点，位于直线的同侧，在直线上找一点，
使得的值最大.
图6
解题思想：根据“三角形任意两边之差小于第三边”，可知
，当，， 三点在同一直线上时，等号成立.
结论：的最大值即为图中线段 的长.
模型应用
图7
4.如图7，在菱形中， ， ，与交于点， 于点，是的中点，是边 上的一个动点，则 的最大值是_____.
小锦囊当点，，在同一直线上时， 取
最大值，最大值为 的长.
图72
提示：如图72，连接并延长交于点，过点
作于点．当点，， 在同一直线上
时，取最大值，最大值为 的长.由菱形
的性质，得 .因为
，所以 是等边三角形.所以
.从而得， .因为是 的中点，所以
.所以.因为， ，所以
.所以， .从
而得.由勾股定理，得 ，即
的最大值是 ．
（4）异侧线段差最大值问题
模型剖析 如图8，两定点，位于直线的异侧，在直线上找一点，
使得的值最大.
图8
解题思想：将两定点异侧问题，利用轴对称的性质转化为同侧问题，
即可利用（3）中模型解决.
结论：的最大值即为图中线段 的长.
模型应用
图9
5.如图9，在正方形中，，与 交于点
，是的中点，点在边上，且， 为对
角线上一个动点，则 的最大值是___.
小锦囊 作点关于的对称点, 的长即为
的最大值.
图73
提示：如图73，作点关于的对称点，连接 ，并延
长交于点，连接.由轴对称性质知， ，此时
，取得最大值.因为四边形
是边长为8的正方形，所以点在 上，
.由为的中点，得. 因为 是
的中点，所以.从而得 .因为
，所以.由此可得 .所以
. 又 ，所以
.故 的最大值为2.
答案：2
模型二 “一点两线”型（两动点+一定点）
图10
（1）周长最小问题
模型剖析 如图10，点是内部一定点，
在上找一点，在上找一点，使得
的周长最小.
解题思想：要使的周长最小，即 的值最小，
只要利用轴对称的性质，将三条线段转化到同一直线上，根据“两点之
间线段最短”即可求解.
结论：周长的最小值即为图中线段 的长.
模型应用
6.（2025·黑龙江绥化·中考改编）如图11，已知 ，点为 内部一定点，点，分别为射线，上的动点.当 的周长最小时，____ .
图11
图74
提示：如图74，分别作点关于， 的对称点，，连接，分别与，交于点， ，连接，，，则， ，，， ， .所以 ，此时的周长最小.因为 ，，所以 .从而得 .所以 .
答案：80
图12
7.（2025·四川遂宁·中考模拟）如图12，在平面直角坐
标系中，抛物线与轴交于，
两点，与轴交于点，为的边 上的一
动点，为边上的一动点，点.求 周长
的最小值．
小锦囊 作点关于直线的对称点，点 关于直线
的对称点，连接，由对称性可知，当点 ，
，，共线时，的周长最小，最小值为 的长.
图75
解：将，代入 ，得解得
.
如图75，分别作点关于直线，的对称点， ，
连接，，， ．
由轴对称的性质，得，，
的周长=
当点，， ，在同一直线上时， 的周长最小，最小值为的长.
令，则，解得 或
.
又 ， .
由轴对称的性质，得, .
∴
点，关于轴对称，
∴ .
周长的最小值为 ．
图75
图13
（2）两条线段之和最小问题
模型剖析 如图13，点是内
部的一定点，在上找一点，在
上找一点，使得的值
最小.
解题思想：要使 的值最小，只要利用轴对称的性质，将
， 转化到同一直线上，根据“垂线段最短”即可求解.
结论：的最小值即为图中线段 的长.
模型应用
图14
8.如图14，在菱形中，， ，点
是边的中点，，分别是， 上的动点，连
接，，则 的最小值是( ).
A.6 B. C. D.4.5
小锦囊作点关于的对称点，过点作
于点，交于点，此时的长即为 的
最小值.
图76
提示：如图76，作点关于的对称点 ，过点作于点，交于点 ，此时 取得最小值，且.因为四边形 是菱形，所以点在上.因为， ，所以 .由，得.所以 的最小值是 .
【答案】C
模型三 “两点两线”型（两动点+两定点）
图15
模型剖析 如图15，点,是
内部的两个定点，在， 上分
别取点，，使得四边形 的
周长最小.
解题思想：是定线段，因此只要考虑使 的值最
小即可.类似地，利用轴对称的性质，将这3条线段转化到同一直线上，
根据“两点之间线段最短”即可求解.
结论：四边形周长的最小值即为图中 的值.
模型应用
图16
9.如图16，已知正方形的边长为3，点在 边上且
，点，分别是边， 上的动点（均不与顶点
重合），则四边形 周长的最小值是__________.
小锦囊作点关于的对称点,点关于的对称点 ,则
即为四边形 周长的最小值.
图77
提示：如图77，作点关于的对称点，点关于 的对称点，连接，分别交，于点， ，此时四边形的周长最小.由对称性可知， ，
，， ，所以四边形的周长， ，
.在中， ，所
以四边形周长的最小值是 .
微专题练习（十四） 利用轴对称求最值问题
模型一 “一线两点”型（一动点+两定点）
图1
1.如图1，等边三角形的边长为4，是边 上的高，
点是边的中点，点是上的动点，则线段
的最小值为( ).
A.2 B. C. D.4
图95
提示：由等边三角形“三线合一”的性质知，点B关于
的对称点是点C.如图95，连接交于点，连接 ，
此时的值最小，且 .因
为点是边的中点，所以.在 中，
.故的最小值为 .
【答案】B
图2
2.（2025·内蒙古赤峰·中考模拟）如图2，四边形
为菱形，点，，， 均在坐标轴上，
，点的坐标为，是 的
中点，是上的一个动点，则 的最小
值是( ).
A.3 B.5 C. D.
图96
提示：由菱形的对称性得，点关于 轴的对称点
是的中点，连接交于点 ，如图96，
此时 ,取得最小值.因
为四边形是菱形， ，
，所以， ，
【答案】A
, .从而得是等边三角形.所以 ，
即 的最小值是3.
图3
3.（2025·安徽·模拟）如图3，在 中，
，为上一点， ，
，，以为边作 ，且
，为的中点，连接，则 的最
大值为( ).
A.1 B. C.2 D.
图3
提示：连接.由，为 的中点，得
.在中， ，即
，因此当点A，D， 共线时，
取得最大值，最大值为的长.在
中， .从而得
.故 的最大值为2．
【答案】C
4.如图4，在平面直角坐标系中，，.在轴上找一点 ，使
线段的值最小，则点 的坐标是______．
图4
图97
提示：如图97，连接交轴于点 ，则
.当点，，共线，即点与点
重合时，的值最小.设直线 对应的函
数解析式为，将， 代
入，得 解得 所以
.当时，.故 .
5.（2024·四川广安·中考）如图5，在中，， ， ，为直线上一动点，则 的最小值为_________.
图5
图98
提示：如图98，作点关于直线的对称点 ，连接交直线于点，连接交直线 于点，则， ，.当点与点重合时， 的值最小，最小值为.在 中，， 所以.由. 得 .在R中， ，由勾股定理，得 .
6.如图6，在中， ，， ， ，为上的动点，则 的最大值为____.
图6
10
图99
提示：如图99，过点作的对称点 ，连接，， ，则， ，.又 ，所以 ．在中，.由 ，可知，当，，三点共线，即时， 取得最大值，为10.
图7
7.（2024·四川宜宾·中考节选）如图7（见下一页），
抛物线与轴交于点和点 ，
与轴交于点，其顶点为 .
（1）求抛物线对应的函数解析式及顶点 的坐标.
解：将，代入 ，
得解得
抛物线对应的函数解析式为
， 顶点的坐标为， .
（2）在轴上是否存在点，使得 的周长最小.若存在，则求出点 的坐标；若不存在，则说明理由.
图7
解：在轴上存在点，使得 的周长最小.
如图100，作点，关于轴的对称点 ，，连接交轴于点.
在中，令，得.
解得 或 .
要使 的周长最小，只需最小.
，
图100
当点，，共线时，最小，最小值为的长，此时 的周长也最小.
设直线 对应的函数解析式为，将，， 代入，得
解得
所以直线 对应的函数解析式为.
令，得， 点的坐标为， .
图100
模型二 “一点两线”型（两动点+一定点）
图8
8.如图8，在中，，， 是
高上一动点，是边 上任意一动点，连接
，.若，，，则
的最小值是( ).
A.2.4 B.4 C.4.8 D.3
图8
提示：由等腰三角形的对称性可知，点关于 的
对称点在上，过点B作于点 ，则
的最小值即为的长.由 ，
，得， .因
为 ，所以
.
【答案】C
图9
9.如图9，在四边形中， ，
，分别是边，上的动点， ，当
的周长最小时， 的度数是( ).
A. B. C. D.
图101
提示：如图101，作点D关于的对称点 ，作点D关
于的对称点，则， ，
，.当点，，， 在同一
直线上时，的周长最小.因为 ，
【答案】B
，所以 .设 ，则
.由三角形的内角的定理，得
.解得 .
图10
10.（2025·湖南娄底·中考模拟）如图10，菱形 的
边长为2， ，，分别是， 上
的动点，则 的最小值为____．
图102
提示：如图102，连接，过点作 于点
.由菱形的对称性，得.当点，， 在
同一直线上，且与垂直时， 取得最
小值，最小值为的长.因为 ，
，所以.故的最小值为 .
11.如图11， ，，分别为射线，上的动点， 为
内一定点，连接，，，.若，则 周长的
最小值为___.
图11
图103
提示：如图103，分别作点关于，的对称点， ，
连接，分别交，于点，，连接， ，
，．由轴对称的性质，得 ，
，， ，
.所以 ，此时 的周长最小.由 ，得 是等边三角形.所以．故 的周长的最小值为5．
答案：5
模型三 “两点两线”型（两动点+两定点）
图12
12.如图12，已知 ，，为 内
的两个定点，且 ，， ，
点，分别是， 上的动点，则
的最小值是( ).
A.5 B.7 C.8 D.10
图104
提示：如图104，作点关于直线的对称点 ，连
接，作点关于直线的对称点，连接 ，
．根据轴对称的性质，得， .
所以．当点 ，A，
B，在同一条直线上时， 取得最小
值，最小值为的长，即 的最小值为
【答案】A
的长．根据轴对称的性质，得， .所
以 ．从而得
．根据轴对称的性质，得
，.所以 ．故
的最小值是5．
13.如图13，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 在坐标原点，顶
点，分别在轴、轴上，，两点的坐标分别为， ，线
段在边上移动，保持.当四边形的周长最小时，点
的坐标是_ _______.
图13
图105
提示：如图105，在上截取，作点关于 轴的对
称点，连接，，所以 .因为四边形
是矩形，所以.又 ，所以四边形
是平行四边形.所以.四边形 的周长
，和
的长是定值，所以当最小时，四边形 的周
长最小.当，，三点在同一直线上时， 最小.
因为点的坐标为，所以点的坐标为 .设直线对应的函数解析式为，则 解
得所以直线 对应的函数解析式为
.当时，，所以 .
图105

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