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2024-2025学年福建省厦门九中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，共40分）
1．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B．33
C． D．2
3．（4分）下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，8 D．6，8，10
4．（4分）某校5名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的中位数是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．95
5．（4分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
7．（4分）如图，在△ABC中，DE是中位线，点F在DE上，∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝13，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2.5 C．3 D．4
8．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝146
B．50（1+x）+50（1+x）2＝146
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146
D．50（1+x）+50（1+2x）＝146
9．（4分）阅读图中信息，其中说法正确的是（　　）
A．琳琳对 B．梅梅对
C．琳琳与梅梅都对 D．琳琳与梅梅都不对
10．（4分）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　）
A．28 B．26 C．32 D．30
二、填空题（共6小题，第11题（1）1分，（2）1分，（3）2分，其余每空4分，共24分）
11．（4分）化简：（1） 　 　 ；（2） 　 　 ；（3） 　 　 ．
12．（4分）一组数据：5，5，5，5，5，那么这组数据的方差是　 　 ．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝150°，则∠BAE＝ 　 　 ．
14．（4分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为 　 　 ．
15．（4分）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变子我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，AC＞BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2（km）与飞行时间t（min）之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是　 　 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°，②△AEG的周长为，③BE2+DG2＝EG2；④当时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是 　 　 ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（8分）如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE＝AD．
19．（8分）先化简，再求值：，其中a1．
20．（8分）如图，一次函数y＝kx+3的图象经过点M（﹣2，1）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）在所给的坐标系中，画出一次函数的图象．
21．（10分）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分
信息一：
初中组A队伍的各项成绩如表所示：
编程 调试 搭建 讲解
A队伍成绩/分 8 8 7 5
信息二：
为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下：
初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
初中组 8.15 8 a 2.23
高中组 8.4 b 10 2.44
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，搭建项目成绩更稳定的是　 　 （填“初中组”或“高中组”）；
（2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照3：1：4：2的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩；
（3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀．
22．（8分）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）．
（1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求菱形AECF的面积．
23．（10分）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费+超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录：
物流A公司的收费标准：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．
运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元
运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元
物流B公司的收费标准：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收3.2元．
问题：（1）根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答．
（2）某客户需要运送一批货物，运输距离为d公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据．
24．（12分）已知 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC．
（1）如图1，AB⊥AC，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，过点A作AE⊥AF交BD于点E，求证：OE＝CF+OF．
（2）如图2，若∠BAC＝60°，AB＝12，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP′＝60°且AP＝AP′，连接DP′，当AP′+DP′的值最小时，求AP的长．
25．（12分）如图，已知A（a，0），B（m+6，m+2），C（m，m+2），AB∥OC，直线y＝﹣x+n经过A，C两点，另有一条直线l：y＝kx+t．
（1）判断四边形OABC的形状，并证明．
（2）当t＝3，且l⊥AC时，直线l与直线AC的交点坐标为　 　 ；
（3）当时．
①若直线l与四边形OABC相交，则t的取值范围是　 　 ；若直线l平分四边形OABC的面积，则t＝　 　 ；
②若直线l与直线AC交于点D，DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，记，当﹣9≤t＜9时，求w的取值范围．
2024-2025学年福建省厦门九中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C D C C B A A
一、选择题（共10小题，共40分）
1．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B．33
C． D．2
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，8 D．6，8，10
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、42+62≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（4分）某校5名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的中位数是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．95
【解答】解：将5名同学的成绩重新排列为：86、88、90、90、95，
所以这组数据的中位数为90，
故选：C．
5．（4分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：在y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴此函数的图象经过二、三、四象限，
故选：D．
6．（4分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
∴OB，
∴这个点表示的示数是，
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，DE是中位线，点F在DE上，∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝13，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2.5 C．3 D．4
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DEBC＝6.5，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DFAB＝3.5，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：C．
8．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝146
B．50（1+x）+50（1+x）2＝146
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146
D．50（1+x）+50（1+2x）＝146
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50（1+x）+50（1+x）2＝146．
故选：B．
9．（4分）阅读图中信息，其中说法正确的是（　　）
A．琳琳对 B．梅梅对
C．琳琳与梅梅都对 D．琳琳与梅梅都不对
【解答】解：根据题意得y﹣2＝k（x+1）+b，
∴y﹣2＝kx+k+b，
∵y＝kx+b，
∴﹣2＝k，
解得k＝﹣2．
∵b可以是任意数，
∴琳琳对，
故选：A．
10．（4分）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　）
A．28 B．26 C．32 D．30
【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，
∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°，
∴∠EBM＝∠ABC，
在△BME与△BAC中，
，
∴△BEM≌△BCA（AAS），
∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a，
同理可证△CND≌△CAB，
∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b，
在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34，
在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16，
∴a，b，c．
∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD
＝c2+b2+a2+2ab＝28．
故选：A．
二、填空题（共6小题，第11题（1）1分，（2）1分，（3）2分，其余每空4分，共24分）
11．（4分）化简：（1） 　3　 ；（2） 　1　 ；（3） 　　 ．
（2）根据二次根式的性质进行计算即可；
（3）先判断的大小，再估算的大小，最后根据绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：（1），
故答案为：3；
（2），
故答案为：1；
（3）∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
12．（4分）一组数据：5，5，5，5，5，那么这组数据的方差是　0　 ．
【解答】解：∵数据：5，5，5，5，5没有波动，
∴这组数据的方差为0，
故答案为：0．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝150°，则∠BAE＝ 　60°　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝150°，
∴∠B＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°．
14．（4分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为 　x＞1　 ．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点是（1，0），
∴关于x的不等式ax+b＜0的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
15．（4分）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变子我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，AC＞BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2（km）与飞行时间t（min）之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是　35km　 ．
【解答】解：根据图中信息，得到A到C的距离为20千米，甲2小时行了12千米，乙2小时行了9千米．
甲从A到C用的时间：20（小时），
乙从B到C的距离：3×5＝15（千米），
所以驿站A离驿站B的距离是：20+15＝35（千米）．
故答案为：35km．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°，②△AEG的周长为，③BE2+DG2＝EG2；④当时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是 　①④　 ．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EHBE，
∵AFBE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到N，使得DN＝BE，则△CBE≌△CDN（SAS），
∴∠ECB＝∠DCN，
∴∠ECN＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCN＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CN，
∴△GCE≌△GCN（SAS），
∴EG＝GN，
∵GN＝DG+DN，DN＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AN＝AD+DN+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
当BEa时，设DG＝x，则EG＝xa，
在Rt△AEG中，则有（xa）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x，
∴AG＝GD，故④正确，
故答案为：①④．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【解答】解：（1）原式＝（9﹣2）﹣（6+3）
＝7﹣6﹣3
＝1﹣3；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
18．（8分）如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE＝AD．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴∠BCO＝∠AEO，
∵O是AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠AOE＝∠BOC，
∴△ADE≌△BOC（AAS），
∴AE＝BC，
∴AE＝AD．
19．（8分）先化简，再求值：，其中a1．
【解答】解：原式
．
当时，
原式．
20．（8分）如图，一次函数y＝kx+3的图象经过点M（﹣2，1）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）在所给的坐标系中，画出一次函数的图象．
【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝kx+3的图象经过点M（﹣2，1），
∴﹣2k+3＝1．
∴k＝1．
∴一次函数的表达式为y＝x+3．
（2）由题意，结合（1）y＝x+3，
∴图象与x轴交点为（﹣3，0），与y轴交点为（0，3）．
∴作图如下．
21．（10分）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分
信息一：
初中组A队伍的各项成绩如表所示：
编程 调试 搭建 讲解
A队伍成绩/分 8 8 7 5
信息二：
为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下：
初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
初中组 8.15 8 a 2.23
高中组 8.4 b 10 2.44
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　10　 ，b＝　9　 ，搭建项目成绩更稳定的是　初中组　 （填“初中组”或“高中组”）；
（2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照3：1：4：2的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩；
（3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀．
【解答】解：（1）初中组9分人数为20﹣（4+3+5+6）＝2（人），
所以初中组的众数a＝10，高中组的中位数b＝9，
因为初中组的方差比高中组小，所以搭建项目成绩更稳定的是初中组；
故答案为：10，9，初中组；
（2）A队的平均成绩为7（分），
答：A队的平均成绩为7分；
（3）60×（15%+40%）＝33（支），
答：估计本次比赛高中组约有33支队伍在搭建项目中获得优秀．
22．（8分）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）．
（1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求菱形AECF的面积．
【解答】解：（1）①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，
②过点M，N作直线交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，
③连接AE，CF，则四边形AECF是菱形，如图所示：
理由如下：
由作图可知：EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AE＝CE＝AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝AD＝4，
设菱形AECF的边长为a，
∴AE＝CE＝a，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2，
∴a2＝22+（4﹣a）2，
解得：a，
∴CE＝a，
∴菱形AECF的面积为：CE AB5．
23．（10分）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费+超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录：
物流A公司的收费标准：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．
运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元
运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元
物流B公司的收费标准：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收3.2元．
问题：（1）根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答．
（2）某客户需要运送一批货物，运输距离为d公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据．
【解答】解：（1）设该物流A公司的基础运费是x元，超程单价是y元/公里，
根据题意得：，
解得：．
答：该物流A公司的基础运费是780元，超程单价是3元/公里；
（2）当0＜d≤300时，选择物流A公司的费用为780元，选择物流B公司的费用为1200元，
∵780＜1200，
∴当0＜d≤300时，选择物流A公司更合算；
当300＜d≤500时，选择物流A公司的费用为780+3（d﹣300）＝（3d﹣120）元，选择物流B公司的费用为1200元，
若3d﹣120＜1200，则d＜440，
∴当300＜d＜440时，选择物流A公司更合算；
若3d﹣120＝1200，则d＝440，
∴当d＝440时，选择物流A，B两公司费用相同；
若3d﹣120＞1200，则d＞440，
∴当440＜d≤500时，选择物流B公司更合算；
当d＞500时，选择物流A公司的费用为780+3（d﹣300）＝（3d﹣120）元，选择物流B公司的费用为1200+3.2（d﹣500）＝（3.2d﹣400）元，
若3d﹣120＞3.2d﹣400，则d＜1400，
∴当500＜d＜1400时，选择物流B公司更合算；
若3d﹣120＝3.2d﹣400，则d＝1400，
∴当d＝1400时，选择物流A，B两公司费用相同；
若3d﹣120＜3.2d﹣400，则d＞1400，
∴当d＞1400时，选择物流A公司更合算．
答：当0＜d＜440或d＞1400时，选择物流A公司更合算；当d＝440或d＝1400时，选择物流A，B两公司费用相同；当400＜d＜1400时，选择物流B公司更合算．
24．（12分）已知 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC．
（1）如图1，AB⊥AC，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，过点A作AE⊥AF交BD于点E，求证：OE＝CF+OF．
（2）如图2，若∠BAC＝60°，AB＝12，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP′＝60°且AP＝AP′，连接DP′，当AP′+DP′的值最小时，求AP的长．
【解答】（1）证明：在DF上取点G，使得FG＝FC，连接CG，如图：
∵CF⊥BD，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴∠CGF＝45°，
∵∠BAC＝90°，AE⊥AF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠AOC＝∠COF，
∴∠ABO＝∠OCF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°＝∠CGF，
∴AE∥CG，
∴∠EAO＝∠OCG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG＝OF+FG＝OF+FC；
（2）解：连接CP′，BP′，如图：
∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△ACD也为等边三角形，OA＝OC，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，BD是∠ADC的平分线，
∴∠ADP＝30°，
∵∠P′AP＝60°，
∴∠CAP′＝∠DAP，
在△ACP′和△ADP中，
，
∴△ACP′≌△ADP（SAS），
∴∠ACP′＝∠ADP＝30°，
∴P′在△ACB的角平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴CP′垂直平分AB，
∴AP′＝BP′，
∴当P′在BD上时，AP′+DP′的值最小，
∵AC⊥BD，PP′在BD上，AP＝AP′，
∴∠OAP＝30°，
∵OAAC＝6，
∴APOA＝4．
25．（12分）如图，已知A（a，0），B（m+6，m+2），C（m，m+2），AB∥OC，直线y＝﹣x+n经过A，C两点，另有一条直线l：y＝kx+t．
（1）判断四边形OABC的形状，并证明．
（2）当t＝3，且l⊥AC时，直线l与直线AC的交点坐标为　（，）　 ；
（3）当时．
①若直线l与四边形OABC相交，则t的取值范围是　﹣3≤t≤3　 ；若直线l平分四边形OABC的面积，则t＝　0　 ；
②若直线l与直线AC交于点D，DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，记，当﹣9≤t＜9时，求w的取值范围．
【解答】解：（1）∵B（m+6，m+2），C（m，m+2），
∴BC∥x轴，
∵AB∥OC，
∴四边形OABC是平行四边形；
（2）当t＝3时，y＝kt+3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC＝6，
∴A（6，0），
∵直线y＝﹣x+n经过A点，
∴﹣6+b＝0，
解得b＝6，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
∵直线y＝﹣x+6经过C点，
∴﹣m+6＝m+2，
解得m＝2，
∴B（8，4），C（2，4），
∵l⊥AC，
∴k＝1，
∴y＝x+3，
当x+3＝﹣x+6时，解得x，
∴直线l与直线AC的交点坐标为（，），
故答案为：（，）；
（3）①当k时，yx+t，
当直线l经过点A时，3+t＝0，解得t＝﹣3，
当直线l经过点C时，1+t＝4，解得t＝3，
∴﹣3≤t≤3时，直线l与四边形OABC相交；
∵直线l平分四边形OABC的面积，
∴直线l经过点B，
∴4+t＝4，
∴t＝0；
故答案为：﹣3≤t≤3；0；
②当x+t＝﹣x+6时，解得x＝4t，
∴D（4t，2t），
∵DE⊥x轴，DF⊥y轴，
∴E（4t，0），F（0，2t），
∴wDF﹣DE|4t|﹣|2t|，
当6≤t＜9时，wt+4，则﹣7＜w≤﹣6；
当﹣3≤t＜6时，w＝﹣t，则﹣6＜w≤3；
当﹣9≤t＜﹣3时，w＝4t，则1≤w≤3；
∴﹣7＜w≤3．

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