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数学参考答案 11.【解析】如图,建立空间直角坐标系,AD1= -1,0,1 ,AC= -1,2,0 ,
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 cos∠D AC= 101 10 ,故 A错误;平面 ACD1 的法向量为 n= 1,
1
2 ,1 .底面题目要求。
ABCD的法向量为m= 0,0,1 ,故 cos m,n = 2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 3
,故 B正确;直线 AD与平

答案 C B D B D C B A 面 ACD1所成角为 β,则 sinβ= cos DA,n = 23 ,cosβ=
5 ,故C错误.点
3
1.【解析】略. A 到平面 ACD AA n的距离为 1 = 2 ,D正确.故选 BD.
2. x = 1+2+3+4+5+6+7 2+3+2+5+7+7+9
1 1 n 3
【解析】 7 = 4,y= 7 = 5,所以 a= y- bx= 5- 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1.2× 4= 0.2,故选 B. n12. 7【答案】 16【解析】在二项式 x+ x 的展开式中,令 x= 1,就得到所有项的系数和,即 8n= 4096,23n3.【解析】略.
= 212a ,n= 4.因此二项式系数和为 2
4= 16.
4.【解析】 a a = 2n,a n+1 n+2n n+1 n+1an+2= 2 ,所以 a = 2;又 a1= 2,故 a2= 1,所以 a = 2
7
16 = 128,故选 B.
13.【答案】 26

n 【解析】设 AB= a,AC= b,AA = c,则 AD= 1 a+b + c, AD = 1 a+ 1
2 26
1
2 2 2 2 2
b+c = 2 .
5. C【解析】 P(ξ= 2) = 3 = 310 ,故选D.
2 2
C2 14.【答案】 e
- e ，1
5 ∪ 1,e e 【解析】若 a> 1,当 x< 0时,显然有一个零点.当
6. 1+a【解析】由已知 a n 1 1n+1= 1-a ,a1= 2,故 a2=-3,a3=- 2 ,a4= 3 ,a5= 2,故数列 an 是周期为 4的数列,
2 1- lnxx> 0 时,由 ax= x2得:lna= 2lnx 2lnx
n x .令 g x = x ,g x = x . x∈ 0,e ,
a = a = 1 , 故选C. g x > 0,g x 递增;x ∈ e,+∞ ,g x < 0,g1000 4 x 递减.又 x→ 0,g x →-∞;x→3 2
1 1 1 1 +∞,g x → 0,g 1 = 0.故 g x
2
max= g e = e ,所以 0< lna<
2 ,故 a∈ 1,e e .
7.【解析】 E:y= x ,x> 0,y =- ,x> 0

,设Q x , ,过Q的切线斜率为- ,当且仅当切线与 2x e
x2 0 x0 x20 x 2 2 20< a< 1,由 y= ax,y= 1a 对称性可知,a∈ e
- e ，1 .故实数 a的取值范围是 e- e ，1 ∪ 1,e e .
+ y = 0 2平行时 ,P ,Q 两点距离最小值为两平行线的距离 . 由 - 1 =-2 , 解得 x
x2 0
=
0 2
, 此时
2 2 2 2 10 四、解答题: 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。Q 2 ， 2 ,最小距离为 d= = 5 ,故选 B.5
15.【解析】 (1)中位数为m=
1
2 23.2+23.6 = 23.4, 4分
8.【解析】由已知 F c,0 ,不妨设渐近线方程为 y= ba x,OM⊥MF,由点到直线的距离公式可求 MF = bc
a = b,FN = 2MF, FN = 2 MF = 2b,因为OF平分∠MON ,所以 ON = 2a.在 RtΔOMN中,4a2= a2 对照组 6 14
b21+ a2 试验组 14 6
2
+ 9b2,即 a2= 3b2.所以离心率 e= 1+ b2 =
2 3
a 3
,故选 A. 8分
二、多项选择题：本题共3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. (2)零假设为H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异．
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
2 40 6×6-14×14
2
由①可得 χ =
题号 9 10 11 20×20×20×20
, 11分
= 6.4> 3.841= x
答案 ABC AD BD 0.05
依据小概率值 α= 0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常
9.【解析】由已知 Sn= 9n- n2,可得 an=-2n+ 10,因为 n∈ N ,当 n= 4或 n= 5时,Sn取得最大值为 环境中体重的增加量有差异,此推断犯错误的概率不超过 0.05. 13分
20,故 A正确;可知 a1= 8,a7=-4,a4= 2
S
成等比数列,故 B正确; nn =-n+ 9
S
,故 n n 为递减数列,
a 10 a 16.【解析】 (1)由 an+ Sn= 1,得 an+1+ Sn+1= 1,故 an+1=
1
2 an. 4分故C正确; nn =-2+
n
n ,故 n 为递减数列,D错误.故选 ABC. 1
2 3 2 1 又当 n= 1时,a1= 2 ,所以数列 a 是首项为
1
n 2 ,公比为
1
2 的等比数列. 8分10.【解析】由已知 A1,A2 是互斥事,且 P A1 = 5 ,P A2 = 5 ,P B1 A1 = 3 ,P B2 A1 = 3 ,P B1 A2 =
P B A 1 = ,P A B = P A P 2 B A = , P B = P A B + P A B = P A P B A + (2)由 (1)可知： an=
1 ,故 S = 1- 1n . 12分2 2 2 1 2 1 2 1 15 1 1 1 2 1 1 1 1 2n 2n
17 13 由 S > 2024P A2 P B1 A2 = ,故 P n B2 = , P A1B2 ≠ P A1 P B2 ,故选 AD. n 2025 ,得 2 > 2025,因为 n∈N
,所以 n≥ 11,故 n的最小值为 11. 15分
30 30
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17.【解析】 (1)设事件“甲队以 3:2获胜”记为B, 若 x0≠ ,
y
1 此时 n≠±3, tan∠MFD= 0 = 6n ,tan∠NFD= n
2
则甲队第 2,3,4场获胜 1场,第 5场获胜. 2分 x0-1 9-n 3
2n
3 2 21 2 72 tan2∠NFD= 2tan∠NFD 6n故P B =C3 × × =
3
. 5分 = = 16分5 5 5 625 1- tan2∠NFD 21- n 9-n29
(2)由已知 X取 3,4,5, 所以 tan2∠NFD= tan∠MFD,故∠MFD= 2∠NFD
P X=3 = 3
2
= 9 5 25 7分 综上,存在 λ= 2,使得∠MFD= 2∠NFD. 17分
3
P X=4 =C1 3 × 2 × 3 + 2 = 36 + 8 = 44 2 5 5 5 5 125 125 125
a
10分 19.【解析】 (1)由已知 f x = 1+ x ,
P X=5 3 2
2 2 2 2 3 3 72 108 36
=C13 5 × 5 × 5 +C23 5 × 5 ×
1
5 = 625 + 625 = 125 13分 设直线 y= 1- e x与曲线 y= f x 的切点为 x0,x0+mlnx0 ,
故 X的分布列为
则切线方程为： y- a x a0+alnx0 = 1+ x x-x0 ,即 y=X 3 4 5 1+0 x x+ a lnx0-1 . 3分0
P 9 44 36 1+
a =1- 1
25 125 125 所以 x0 e ,解得 x0= e,a=-1.故 a=-1 4分a lnx0-1 =0
E X = 3× 9 + 4× 44 + 5× 36 491 25 125 125 = 125 15分
x-2
(2)由 (1)知 f x = x- lnx,所以 F x = me x + lnx- x x>0 ,y y
18.【解析】 (1)设点M x,y ,则 k1= x+2 ,k2= x-2 , x-1 me
x-2-x ex-2 x-1 m-xe2-xF x = =

x>0 . 6分
3 y yk 3 x
2 x2
由 1k2=- 4 ,得 x+2 × x-2 =- 4 , 2分 ①当m≤ 0时,ex-2-mx> 0, x∈ 0,1 ,F x > 0,x∈ 1,+∞ ,F x < 0,
x2 y2
化简得 + = 1 此时F x 只有一个极大值点,不符合题意. 8分4 3
当m> 0时,g x = xe2-x, x>0 ,g 2 x = 1-x e
2-x.
2
由已知得 x≠± y2,故C x的方程为 4 + 3 = 1(x≠±2). 4分 若 x∈ 0,1 ,g
x > 0;x∈ 1,+∞ ,g x < 0.
k k =- 3 k + k = 1 3 3 故 g x 在 0,1 上单调递增,在 1,+∞ 单调递减.(2)由已知 1 2 4 , 1 2 4 ,解得 k1= 1,k2=- 4 或 k1=- 4 ,k2= 1. 6

分
g x max= g 1 = e,x→ 0,g x → 0,x→+∞,g x → 0
3
①若 k1= 1,k2=- 4 ,直线 AM的方程为 y= x+ 2,直线 BM的方程为 y=-
3
4 x-2 (ⅰ)若m∈ e,+∞ ,m≥ g x , x∈ 0,1 ,F
x < 0,x∈ 1,+∞ ,F x < 0,
x=- 2 此时F x 只有一个极小值点,不符合题意. 10分
联立得 7 12 ,故点M的坐标为y= -
2
7 ,
12
7 8分 (ⅱ)若m∈ 0,e ,m- g x = 0有两个不等的实数根,
7
3 不妨记为 x1,x2,且 0< x1< 1< x2,此时 g x1 = g x2 =m.
②若 k1=- 4 ,k2= 1,直线 AM的方程为 y=-
3
4 x+2 ,直线 BM的方程为 y= x- 2 故F x = 0有三个实数根 x1,x2和 x3= 1.
x=
2
2 12 当 x∈ 0,x1 时,F
x < 0;x∈ x1,x3 ,F x > 0;
联立得 7 ,故点M的坐标为 ,- .y=- 12 7 7 x∈ x3,x2 ,F x < 0;x∈ x2,+∞ ,F x > 0.7
2 12 2 12 所以函数F x 有三个极值点 x1,x2,x3,其中 x3= 1.
综上,点M的坐标为 - 7 , 7 或 7 ,- 7 . 10分 综上,实数m的取值范围为 0,e . 12分
(3)设N 4,n ,则直线 AM为 y= n x+2 ②由①知：m∈ 0,e 时,F x 有三个极值点 x1,x2,x3,其中 x3= 1.6
C , n2+27 x2+ 4n2x+ 4n2- 108= 0, 要证 x1+ x2+ x3> 3,即证 x1+ x2> 2,又 0< x1< 1< x2,即 x2> 2- x1.与 的方程联立 整理得
4n2-108 54-2n2 只需证 g x2 < g 2-x1 ,又 g x1 = g x2 =m,即 g x1 < g 2-x1 . 14分设M x0,y0 ,又A -2,0 ,由题设知, -2x0= ,故 x = .n2+27 0 n2+27 令G x = g x - g 2-x ,x∈ 0,1 ,则G x = g x + g 2-x = 1-x e2-x-ex
y = n x +2 = 18n所以 0 6 0 12分 因为 x∈ 0,1 ,所以 1- x> 0,2- x> x,故 e
2-x> ex,
n2+27
若 x = 1,此时 n=±3,可知∠MFD= 90°,∠NFD= 45°, 所以G
x > 0,故G x 在 0,1 上单调递增.
0
所以∠MFD= 2∠NFD,故 λ= 2; 13分 所以G x 所以 x1+ x2> 2,故 x1+ x2+ x3> 3. 17分
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