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广东省肇庆市跨市联考2025年中考二模数学试题
1．（2025·肇庆模拟）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·肇庆模拟）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·肇庆模拟）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·肇庆模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·肇庆模拟）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　）
A．130 B．158 C．160 D．192
6．（2025·肇庆模拟）如图，直线，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·肇庆模拟）如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·肇庆模拟）关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·肇庆模拟）如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·肇庆模拟）如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2025·肇庆模拟）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
12．（2025·肇庆模拟）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 　 　．
13．（2025·肇庆模拟）如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为　 　．
14．（2025·肇庆模拟）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为　 　．
2 9 　
　 5 　
x 　 y
15．（2025·肇庆模拟）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 　 　．
16．（2025·肇庆模拟）计算：．
17．（2025·肇庆模拟）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
（1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
18．（2025·肇庆模拟）主题：用彩带对长方体礼盒进行装饰；
素材：一个长方体礼盒，一条彩带．
步骤1：如图1，将彩带按粘贴到长方体礼盒上．
步骤2：将礼盒展开成如图2所示的平面板块．
猜想与计算：
（1）请在图2中画出、两条线段
（2）已知礼盒底面的长、宽均为，高为，，点C为所在棱的中点，求彩带全长．
19．（2025·肇庆模拟）某学校为了解学生暑假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学暑假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整），根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；并计算扇形统计图中圆心角的度数为______；
（2）若该校有1500名学生，估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有多少名？
（3）教育处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
20．（2025·肇庆模拟）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
21．（2025·肇庆模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（2025·肇庆模拟）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
23．（2025·肇庆模拟）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A.，是这个几何体的主视图；
B.，是这个几何体的左视图；
C.，是这个几何体的俯视图；
D.，不是这个几何体的视图．
故选：B．
【分析】根据由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，逐项判断解答即可．
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据平行线可得，再利用三角形的外角性质解答即可．
7．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意得，扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径，
故选：．
【分析】根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长解答即可．
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】两方程求差得到，即可得到，解不等式求出m的取值范围即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；一次函数的其他应用；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交轴于点E，
由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：A．
【分析】延长交轴于点E，证明，即可得到点，然后代入直线解析式求出a的值即可．
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在矩形中，
，
，
，
是边的中点，
，
，
，故①符合题意；
如图，过作交于，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，且，
是的垂直平分线，
，故②符合题意；
四边形是矩形，
，，，
，，
，故④符合题意；
，
，
，
，且，，
，且，
，
，
，
，
，
∴，
故③符合题意．
故选：A．
【分析】先推理得到，根据对应边成比例得到判断①；过作交于，得到是平行四边形，即可得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等边对等角得到判断②；根据两角对应相等证明判断③；得到，即可得到，求出判断④解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：215000000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
13．【答案】 2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y＝y＝在第四象限内图象上的点，
AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB＝|k|＝1；
又∵函数图象位于二、四象限，
∴k＝ 2，
故答案为： 2．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可．
14．【答案】8
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，，
，
解得：，
故答案为：8．
【分析】根据第三行和第二列、斜线的数值列方程求出x、y的值即可．
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，如图所示．
则此时取最小值，最小值为的长，
∵
∴．
故答案为：9.6．
【分析】根据三线合一得到垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，这时取最小值，最小值为的长，利用面积法解答即可．
16．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后加减解题即可．
17．【答案】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图作角平分线的方法即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AEB=∠CBE，由等边对等角可得∠AEB=∠ABE，再结合角平分线的概念即可判断求解．
（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
18．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图，
∵底面的长、宽均为，，
∴，
∵高为，
∴B为所在棱的中点 ，
∵C为所在棱的中点，
∴，，
∴彩带全长为：
．
【知识点】最简二次根式；几何体的展开图；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据长方体展开图的形状画出线段、即可；
（2）利用勾股定理求出，，然后求出彩带长即可．
19．【答案】（1）解：本次抽样的学生人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
圆心角的度数为：．
（2）解：（名）．
答：估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有1200名．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种．
恰好选中甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用D组的人数及占比求出总量，用总量乘以C的占比求出人数，补全条形统计图；用乘以C的占比得到圆心角的度数；
（2）利用1500乘以阅读时间不少于12小时的学生人数的占比解答；
（3）列树状图得到所有等可能的结果数，找出其中符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：本次抽样的学生人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
圆心角的度数为：．
（2）解：（名）．
答：估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有1200名．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种．
恰好选中甲和乙的概率为．
20．【答案】（1）解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
∴w取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出甲型充电桩的单价是元，再找出等量关系列方程计算求解即可。
（2）先求出购买乙型充电桩的数量为个，再求出，最后求出即可作答。
21．【答案】（1）证明：如图，连接、，则，
，
是的直径，
，
，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接、，即可得到，由直径可得，再根据等边对等角得出，得到证明结论；
（2）连接，根据正切可得，，即可得到，，然后得到是的中位线，证明，根据对应边成比例求出的长．
（1）证明：如图，连接、，则，
，
是的直径，
，
，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
∴直线是的切线．；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
22．【答案】【初步探究】；；
【深入探究】 如图，∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
【尝试应用】 如图，∵，，
∴在以为圆心，为半径的上，
过作于，
当时，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，，
∴四边形是正方形，
∴当旋转角从变化到时，在上运动，
∵，，，
∴，
∴点经过路线的长度为.
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】【初步探究】解：；；理由如下：
如图，∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；
【分析】【初步探究】根据是正方形，是等腰直角三角形，利用SAS证明，根据对应边和对应角相等得到结论即可；
【深入探究】 根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可；
【尝试应用】先得到在以为圆心，为半径的上，过作于，根据勾股定理求出AN和DN长，证明四边形是正方形，可得在上运动，利用弧长公式计算解答.
23．【答案】（1）解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，
二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
二次函数经过原点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
（2）解：水柱不能喷射到护栏上，
理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
（3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中），
，
，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设的解析式为，
解得：，
，
解方程：，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上；
将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，
当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，
如下图所示，
坝面的坡比为，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
点在抛物线的图象上，
，
整理得：，
即与的关系式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求二次函数解析式即可；
把代入，求出米，再与护栏的高度计较解题；
根据坡比得点的坐标为，点的坐标为，求出直线的解析式，联立两解析式求出交点坐标即可；
得到新抛物线解析式为，得到点的坐标为，代入抛物线解析式得到结论即可．
（1）解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，
二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
二次函数经过原点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
（2）解：水柱不能喷射到护栏上，
理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
（3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中），
，
，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设的解析式为，
解得：，
，
解方程：，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上；
将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，
当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，
如下图所示，
坝面的坡比为，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
点在抛物线的图象上，
，
整理得：，
即与的关系式为．
1 / 1广东省肇庆市跨市联考2025年中考二模数学试题
1．（2025·肇庆模拟）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．（2025·肇庆模拟）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A.，是这个几何体的主视图；
B.，是这个几何体的左视图；
C.，是这个几何体的俯视图；
D.，不是这个几何体的视图．
故选：B．
【分析】根据由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，逐项判断解答即可．
3．（2025·肇庆模拟）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
4．（2025·肇庆模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
5．（2025·肇庆模拟）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　）
A．130 B．158 C．160 D．192
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.
6．（2025·肇庆模拟）如图，直线，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据平行线可得，再利用三角形的外角性质解答即可．
7．（2025·肇庆模拟）如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意得，扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径，
故选：．
【分析】根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长解答即可．
8．（2025·肇庆模拟）关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】两方程求差得到，即可得到，解不等式求出m的取值范围即可．
9．（2025·肇庆模拟）如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；一次函数的其他应用；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交轴于点E，
由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：A．
【分析】延长交轴于点E，证明，即可得到点，然后代入直线解析式求出a的值即可．
10．（2025·肇庆模拟）如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在矩形中，
，
，
，
是边的中点，
，
，
，故①符合题意；
如图，过作交于，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，且，
是的垂直平分线，
，故②符合题意；
四边形是矩形，
，，，
，，
，故④符合题意；
，
，
，
，且，，
，且，
，
，
，
，
，
∴，
故③符合题意．
故选：A．
【分析】先推理得到，根据对应边成比例得到判断①；过作交于，得到是平行四边形，即可得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等边对等角得到判断②；根据两角对应相等证明判断③；得到，即可得到，求出判断④解答即可．
11．（2025·肇庆模拟）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．（2025·肇庆模拟）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：215000000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
13．（2025·肇庆模拟）如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为　 　．
【答案】 2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y＝y＝在第四象限内图象上的点，
AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB＝|k|＝1；
又∵函数图象位于二、四象限，
∴k＝ 2，
故答案为： 2．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可．
14．（2025·肇庆模拟）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为　 　．
2 9 　
　 5 　
x 　 y
【答案】8
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，，
，
解得：，
故答案为：8．
【分析】根据第三行和第二列、斜线的数值列方程求出x、y的值即可．
15．（2025·肇庆模拟）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，如图所示．
则此时取最小值，最小值为的长，
∵
∴．
故答案为：9.6．
【分析】根据三线合一得到垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，这时取最小值，最小值为的长，利用面积法解答即可．
16．（2025·肇庆模拟）计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后加减解题即可．
17．（2025·肇庆模拟）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
（1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图作角平分线的方法即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AEB=∠CBE，由等边对等角可得∠AEB=∠ABE，再结合角平分线的概念即可判断求解．
（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
18．（2025·肇庆模拟）主题：用彩带对长方体礼盒进行装饰；
素材：一个长方体礼盒，一条彩带．
步骤1：如图1，将彩带按粘贴到长方体礼盒上．
步骤2：将礼盒展开成如图2所示的平面板块．
猜想与计算：
（1）请在图2中画出、两条线段
（2）已知礼盒底面的长、宽均为，高为，，点C为所在棱的中点，求彩带全长．
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图，
∵底面的长、宽均为，，
∴，
∵高为，
∴B为所在棱的中点 ，
∵C为所在棱的中点，
∴，，
∴彩带全长为：
．
【知识点】最简二次根式；几何体的展开图；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据长方体展开图的形状画出线段、即可；
（2）利用勾股定理求出，，然后求出彩带长即可．
19．（2025·肇庆模拟）某学校为了解学生暑假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学暑假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整），根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；并计算扇形统计图中圆心角的度数为______；
（2）若该校有1500名学生，估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有多少名？
（3）教育处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）解：本次抽样的学生人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
圆心角的度数为：．
（2）解：（名）．
答：估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有1200名．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种．
恰好选中甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用D组的人数及占比求出总量，用总量乘以C的占比求出人数，补全条形统计图；用乘以C的占比得到圆心角的度数；
（2）利用1500乘以阅读时间不少于12小时的学生人数的占比解答；
（3）列树状图得到所有等可能的结果数，找出其中符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：本次抽样的学生人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
圆心角的度数为：．
（2）解：（名）．
答：估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有1200名．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种．
恰好选中甲和乙的概率为．
20．（2025·肇庆模拟）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【答案】（1）解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
∴w取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出甲型充电桩的单价是元，再找出等量关系列方程计算求解即可。
（2）先求出购买乙型充电桩的数量为个，再求出，最后求出即可作答。
21．（2025·肇庆模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接、，则，
，
是的直径，
，
，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接、，即可得到，由直径可得，再根据等边对等角得出，得到证明结论；
（2）连接，根据正切可得，，即可得到，，然后得到是的中位线，证明，根据对应边成比例求出的长．
（1）证明：如图，连接、，则，
，
是的直径，
，
，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
∴直线是的切线．；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
22．（2025·肇庆模拟）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
【答案】【初步探究】；；
【深入探究】 如图，∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
【尝试应用】 如图，∵，，
∴在以为圆心，为半径的上，
过作于，
当时，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，，
∴四边形是正方形，
∴当旋转角从变化到时，在上运动，
∵，，，
∴，
∴点经过路线的长度为.
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】【初步探究】解：；；理由如下：
如图，∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；
【分析】【初步探究】根据是正方形，是等腰直角三角形，利用SAS证明，根据对应边和对应角相等得到结论即可；
【深入探究】 根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可；
【尝试应用】先得到在以为圆心，为半径的上，过作于，根据勾股定理求出AN和DN长，证明四边形是正方形，可得在上运动，利用弧长公式计算解答.
23．（2025·肇庆模拟）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式．
【答案】（1）解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，
二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
二次函数经过原点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
（2）解：水柱不能喷射到护栏上，
理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
（3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中），
，
，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设的解析式为，
解得：，
，
解方程：，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上；
将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，
当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，
如下图所示，
坝面的坡比为，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
点在抛物线的图象上，
，
整理得：，
即与的关系式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求二次函数解析式即可；
把代入，求出米，再与护栏的高度计较解题；
根据坡比得点的坐标为，点的坐标为，求出直线的解析式，联立两解析式求出交点坐标即可；
得到新抛物线解析式为，得到点的坐标为，代入抛物线解析式得到结论即可．
（1）解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，
二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
二次函数经过原点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
（2）解：水柱不能喷射到护栏上，
理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
（3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中），
，
，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设的解析式为，
解得：，
，
解方程：，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上；
将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，
当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，
如下图所示，
坝面的坡比为，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
点在抛物线的图象上，
，
整理得：，
即与的关系式为．
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