资源简介

广东省揭阳市惠来县周田中学2024年中考数学一模试卷
1．（2025·惠来模拟）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·惠来模拟）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·惠来模拟）一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，请你估一估：这辆车平均每小时行了多少千米？该结果正确的取值范围应（　　）
A．在之间 B．在之间
C．在之间 D．在之间
4．（2025·惠来模拟）如图，一把直角三角板的顶点A，B在上，边BC，AC与交于点D，E，连结DE，已知，则的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
5．（2025·惠来模拟）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
6．（2025·惠来模拟）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（　　）
A．极差是8℃ B．众数是28℃
C．中位数是24℃ D．平均数是26℃
7．（2025·惠来模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·惠来模拟）如图是两个完全相同的等腰直角三角形，如图①中的正方形面积与图②中的正方形面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·惠来模拟）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
10．（2025·惠来模拟）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
11．（2025·惠来模拟）已知：(=1，则整数 x= .
12．（2025·惠来模拟）如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 　 　．
13．（2025·惠来模拟）学校组织知识竞赛，共20道题，记分规则为：若答对，每题得5分；若答错或不答，每题倒扣3分．家同学的参赛目标是超过83分，则她至少要答对　 　道题．
14．（2025·惠来模拟）若“”是一种新的运算符号，并且规定，则2=　 　．
15．（2025·惠来模拟）如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时，　 　．
16．（2025·惠来模拟）计算：．
17．（2025·惠来模拟）如图，在中，，平分交于点D，且．
（1）尺规作图：过点C作，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求的度数．
18．（2025·惠来模拟）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得分的人数所对圆心角为，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数；
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
19．（2025·惠来模拟）如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
20．（2025·惠来模拟）2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同．
（1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少；
（2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？
21．（2025·惠来模拟）我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，）
22．（2025·惠来模拟）综合应用
（1）【问题感知】
如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，若N是中点，则线段长度的最小值为 ．
（2）【问题呈现】
若图①中“N是中点”改为“”，再求线段长度的最小值．
【问题解决】
如图②，若把等边中“N是中点”改为“”，如何求线段的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．则为 度，线段长度的最小值为 ．
（3）【应用迁移】
如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，，若点M在上，点N在上，．求钢丝绳的最小值．
23．（2025·惠来模拟）在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，若，则的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3240万
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式，其中1≤|a|<10，为所有整数位的个数减1．
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，
∴ 这辆车平均每小时大约行驶的路程为：
=58.2（千米），
该结果正确的取值范围应在52.1∽60之间.
故答案为：C.
【分析】根据平均数的计算公式k可求得已知的三个小时行驶的路程的平均数，根据计算结果并结合各选项即可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，在上，，
∴∠AED+∠B=180°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求解.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将分式方程，去分母得：，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且，
故选C．
【分析】将分式方程同时乘以(x-1)化为整式方程，求出x的值，再根据解是正数且分母不为零列不等式解答即可．
6．【答案】B
【知识点】折线统计图；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：由图可得，
极差是：30-20=10℃，故选项A错误，
众数是28℃，故选项B正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，
平均数是：℃，故选项D错误，
故选B．
【分析】根据折线统计图中的数据计算极差、众数、中位数和平均数，然后逐项判断解答即可．
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC CD=AC AD．
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知. ，则由直角三角形的性质来求的度数；③利用等角对等边可以证得 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在 AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比，解答即可.
8．【答案】D
【知识点】比的应用
【解析】【解答】解：利用分割法，占整个图形的占整个图形的，
所以．
故选：D．
【分析】根据分割法得出两个正方形与等腰直角三角形的面积比解答即可．

9．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；等腰三角形的概念
【解析】【解答】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，
则，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【分析】
本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则均可用含a、b 的代数式表示，则可发现和结果相等即可解答．
10．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故选：D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B点坐标，借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围解答即可．
11．【答案】0 或 4 或 6
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；分类讨论
【解析】【解答】若(x-5)x=1，则有三种可能：
（1）指数x=0，则(0-5)0=1；
（2）底数x-5=1，则x=6，此时(x-5)x=(6-5)6=1；
（3）底数x-5=-1，即x=4，此时(x-5)x=(4-5)4=(-1)4=1.
综上所述，x的取值可能为0或4或6.
故答案为：0或4或6.
【分析】由题意可分泌三种情况：①非零数的零次幂等于1，即x0=1（x≠0）；②1的任何次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1，即可求解.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面展开如图，过点S作，
∴，
设，
即：，
得：，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】圆锥的侧面展开如图，过点S作，根据圆锥的侧面展开图是扇形可得关于扇形的圆心角n的方程，解方程求出扇形的圆心角n的值，求出扇形中n度的圆心角所对的弦长即为最短路径，用勾股定理求出AC的值，然后根据AB=2AC即可求解．
13．【答案】18
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他要答对道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：，
又∵为整数，
∴可取的最小值为18．
故答案为：18．
【分析】设他要答对道题，根据得分答对题目数答错或不答题目数列关于的一元一次不等式，求出的最小整数值解答即可．
14．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依题意得：
，
故答案为：．
【分析】根据新定义列算式并结合有理数的加减乘除混合运算法则计算即可求解．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆的相关概念；瓜豆原理模型-点在圆上；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，
正方形的边长为，正方形，
，，，
，，
，
，，
，
，
点在以点为圆心，以为半径的圆上，
当点、、三点一线时，的长最小，
过点作，
，正方形的边长为，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，得到，根据对应边成比例得到，求出，即可得到点在以点为圆心，以为半径的圆上，即点、、三点共线时，的长最小，过点作，根据计算解答即可．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的加、减混合运算；求算术平方根
【解析】【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
17．【答案】（1）解：过点C作，垂足为点H，如图：
（2）解：∵，
∴设，
∵平分交于点D，
∴，
∵，
∴，
则在中，，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）以为圆心，为半径画弧交于于一点，再以点和为圆心，以大于长度为半径画弧，交于一点M，连接，交于一点H，即可求解；
（2）由等边对等角可设，根据角平分线的定义可得，在三角形ABC中，根据三角形内角和等于180度可列关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：过点C作，垂足为点H，如图：
（2）解：∵，
∴设，
∵平分交于点D，
∴，
∵，
∴，
则在中，，
∴，
∴的度数为．
18．【答案】（1）解：由题意知，调查总人数为（人），∴得分分的人数为（人），
∵，，
∴中位数为第位数的平均数，即（分），
众数为分；
∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分；
（2）解：∵中位数变大了，
∴该名同学的补测成绩为分或分；
（3）解：由题意画树状图如下；
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果，
∵，
∴小明和小亮选择同一项目的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据28分的人数除以占比求出总人数，用总人数减去其他分数的人数得分的人数，根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算解题．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为，
∴，，
∵，，
∴8，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（）由等边对等角和对顶角相等可得，，然后根据垂线的性质可得，再根据圆的切线的判定可求解；
（）由题意，用勾股定理求出AD的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似
可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为，
∴，，
∵，，
∴8，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
20．【答案】（1）解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元；
（2）解：设购买甲图书本，则购买乙图书本，
由题意得：，
解得：，
答：最少购进甲图书14本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，根据题中的相等关系"用5000元购买的甲图书数量=用6000元购买的乙图书数量"列出关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买甲图书本，则购买乙图书本，根据购书总费用不超过2860元可列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元；
（2）解：设购买甲图书本，则购买乙图书本，
由题意得：，
解得：，
答：最少购进甲图书14本．
21．【答案】解：如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴此段沅江江面的宽度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，即可得到是矩形，求出MN的长，根据三角形的外角得到，进而得到，在和中利用三角函数解答即可．
22．【答案】（1）
（2）30，2
（3）解：如图，过M、D作的平行线，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，最小，最小，
∵，，
∴，
∴，
在中，（米），
∴（米），
答：钢丝绳长度的最小值为：米．
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】
（1）
解：∵是等边三角形，
∴，
∵N是中点，
∴，
当时，线段的值最小，
∴线段的最小值；
故答案为：；
（2）
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
当最小时，取最小值，也有最小值，此时，
∴最小值是2．
故答案为：30，2；
【分析】
（1）根据垂线段最短可知：当时，线段的值最小，然后根据锐角三角函数sin∠C=可求解；
（2）由题意，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等和已知条件可得，根据等边对等角可得，再根据可得；当最小时，取最小值，也有最小值，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解；
（3）过M、D作的平行线，易得四边形MNDP是平行四边形，由垂线段最短可知：当时，最小，最小，然后根据锐角三角函数sin∠PAD=可求解．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵N是中点，
∴，
当时，线段的值最小，
∴线段的最小值；
故答案为：；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
当最小时，取最小值，也有最小值，此时，
∴最小值是2．
故答案为：30，2；
（3）解：如图，过M、D作的平行线，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，最小，最小，
∵，，
∴，
∴，
在中，（米），
∴（米），
故钢丝绳长度的最小值为米．
23．【答案】（1）
（2）解：如图，延长交于，
∵四边形是菱形，且，
，，
若连接对角线，则为等边三角形，
∵点为中点，
，
设，则， 由勾股定理得，
，
是中点，
∴，
，
由（1）可知，，，
，
又，
，
，
，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
由题意可得，为的中位线，
∴，
；

（3）或
【知识点】解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：如图，连接，延长交于，
由折叠的性质可知垂直平分，
是中点，
是中点，
是的中位线，
，即，
，
，
故答案为：，；
（3）
解：①如图，当点在上时，延长交于，
，，
，
在中，设，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
在中，，
，
整理得：，
解得（负值舍去），
，
；
②
当点在延长线上时， 同理可得，
设，则，
，
，即，
解得，
，
过作于点，则，，
，
；
综上，的长为或；
故答案为：或．
【分析】
（1）连接，延长交于，由翻折的性质可得是的中位线，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求解；
（2）延长交于，设，则，由题意，根据勾股定理将用含a的代数式表示出来，用三角函数比表示出和，设，，在Rt△AFK中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可将x用含a的代数式表示出来，再用三角形中位线的性质可求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当点在上时和当点在延长线上时，用锐角三角函数和勾股定理及相似三角形的判定和性质分别求解即可．
（1）解：如图，连接，延长交于，
由折叠的性质可知垂直平分，
是中点，
是中点，
是的中位线，
，即，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图，延长交于，
∵四边形是菱形，且，
，，
若连接对角线，则为等边三角形，
∵点为中点，
，
设，则， 由勾股定理得，
，
是中点，
∴，
，
由（1）可知，，，
，
又，
，
，
，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
由题意可得，为的中位线，
∴，
；
（3）解：①如图，当点在上时，延长交于，
，，
，
在中，设，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
在中，，
，
整理得：，
解得（负值舍去），
，
；
②
当点在延长线上时， 同理可得，
设，则，
，
，即，
解得，
，
过作于点，则，，
，
；
综上，的长为或；
故答案为：或．
1 / 1广东省揭阳市惠来县周田中学2024年中考数学一模试卷
1．（2025·惠来模拟）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2．（2025·惠来模拟）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3240万
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式，其中1≤|a|<10，为所有整数位的个数减1．
3．（2025·惠来模拟）一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，请你估一估：这辆车平均每小时行了多少千米？该结果正确的取值范围应（　　）
A．在之间 B．在之间
C．在之间 D．在之间
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，
∴ 这辆车平均每小时大约行驶的路程为：
=58.2（千米），
该结果正确的取值范围应在52.1∽60之间.
故答案为：C.
【分析】根据平均数的计算公式k可求得已知的三个小时行驶的路程的平均数，根据计算结果并结合各选项即可判断求解.
4．（2025·惠来模拟）如图，一把直角三角板的顶点A，B在上，边BC，AC与交于点D，E，连结DE，已知，则的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，在上，，
∴∠AED+∠B=180°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求解.
5．（2025·惠来模拟）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将分式方程，去分母得：，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且，
故选C．
【分析】将分式方程同时乘以(x-1)化为整式方程，求出x的值，再根据解是正数且分母不为零列不等式解答即可．
6．（2025·惠来模拟）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（　　）
A．极差是8℃ B．众数是28℃
C．中位数是24℃ D．平均数是26℃
【答案】B
【知识点】折线统计图；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：由图可得，
极差是：30-20=10℃，故选项A错误，
众数是28℃，故选项B正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，
平均数是：℃，故选项D错误，
故选B．
【分析】根据折线统计图中的数据计算极差、众数、中位数和平均数，然后逐项判断解答即可．
7．（2025·惠来模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC CD=AC AD．
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知. ，则由直角三角形的性质来求的度数；③利用等角对等边可以证得 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在 AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比，解答即可.
8．（2025·惠来模拟）如图是两个完全相同的等腰直角三角形，如图①中的正方形面积与图②中的正方形面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比的应用
【解析】【解答】解：利用分割法，占整个图形的占整个图形的，
所以．
故选：D．
【分析】根据分割法得出两个正方形与等腰直角三角形的面积比解答即可．

9．（2025·惠来模拟）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；等腰三角形的概念
【解析】【解答】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，
则，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【分析】
本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则均可用含a、b 的代数式表示，则可发现和结果相等即可解答．
10．（2025·惠来模拟）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故选：D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B点坐标，借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围解答即可．
11．（2025·惠来模拟）已知：(=1，则整数 x= .
【答案】0 或 4 或 6
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；分类讨论
【解析】【解答】若(x-5)x=1，则有三种可能：
（1）指数x=0，则(0-5)0=1；
（2）底数x-5=1，则x=6，此时(x-5)x=(6-5)6=1；
（3）底数x-5=-1，即x=4，此时(x-5)x=(4-5)4=(-1)4=1.
综上所述，x的取值可能为0或4或6.
故答案为：0或4或6.
【分析】由题意可分泌三种情况：①非零数的零次幂等于1，即x0=1（x≠0）；②1的任何次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1，即可求解.
12．（2025·惠来模拟）如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面展开如图，过点S作，
∴，
设，
即：，
得：，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】圆锥的侧面展开如图，过点S作，根据圆锥的侧面展开图是扇形可得关于扇形的圆心角n的方程，解方程求出扇形的圆心角n的值，求出扇形中n度的圆心角所对的弦长即为最短路径，用勾股定理求出AC的值，然后根据AB=2AC即可求解．
13．（2025·惠来模拟）学校组织知识竞赛，共20道题，记分规则为：若答对，每题得5分；若答错或不答，每题倒扣3分．家同学的参赛目标是超过83分，则她至少要答对　 　道题．
【答案】18
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他要答对道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：，
又∵为整数，
∴可取的最小值为18．
故答案为：18．
【分析】设他要答对道题，根据得分答对题目数答错或不答题目数列关于的一元一次不等式，求出的最小整数值解答即可．
14．（2025·惠来模拟）若“”是一种新的运算符号，并且规定，则2=　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依题意得：
，
故答案为：．
【分析】根据新定义列算式并结合有理数的加减乘除混合运算法则计算即可求解．
15．（2025·惠来模拟）如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时，　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆的相关概念；瓜豆原理模型-点在圆上；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，
正方形的边长为，正方形，
，，，
，，
，
，，
，
，
点在以点为圆心，以为半径的圆上，
当点、、三点一线时，的长最小，
过点作，
，正方形的边长为，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，得到，根据对应边成比例得到，求出，即可得到点在以点为圆心，以为半径的圆上，即点、、三点共线时，的长最小，过点作，根据计算解答即可．
16．（2025·惠来模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的加、减混合运算；求算术平方根
【解析】【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
17．（2025·惠来模拟）如图，在中，，平分交于点D，且．
（1）尺规作图：过点C作，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：过点C作，垂足为点H，如图：
（2）解：∵，
∴设，
∵平分交于点D，
∴，
∵，
∴，
则在中，，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）以为圆心，为半径画弧交于于一点，再以点和为圆心，以大于长度为半径画弧，交于一点M，连接，交于一点H，即可求解；
（2）由等边对等角可设，根据角平分线的定义可得，在三角形ABC中，根据三角形内角和等于180度可列关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：过点C作，垂足为点H，如图：
（2）解：∵，
∴设，
∵平分交于点D，
∴，
∵，
∴，
则在中，，
∴，
∴的度数为．
18．（2025·惠来模拟）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得分的人数所对圆心角为，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数；
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
【答案】（1）解：由题意知，调查总人数为（人），∴得分分的人数为（人），
∵，，
∴中位数为第位数的平均数，即（分），
众数为分；
∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分；
（2）解：∵中位数变大了，
∴该名同学的补测成绩为分或分；
（3）解：由题意画树状图如下；
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果，
∵，
∴小明和小亮选择同一项目的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据28分的人数除以占比求出总人数，用总人数减去其他分数的人数得分的人数，根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算解题．
19．（2025·惠来模拟）如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为，
∴，，
∵，，
∴8，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（）由等边对等角和对顶角相等可得，，然后根据垂线的性质可得，再根据圆的切线的判定可求解；
（）由题意，用勾股定理求出AD的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似
可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为，
∴，，
∵，，
∴8，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
20．（2025·惠来模拟）2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同．
（1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少；
（2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？
【答案】（1）解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元；
（2）解：设购买甲图书本，则购买乙图书本，
由题意得：，
解得：，
答：最少购进甲图书14本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，根据题中的相等关系"用5000元购买的甲图书数量=用6000元购买的乙图书数量"列出关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买甲图书本，则购买乙图书本，根据购书总费用不超过2860元可列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元；
（2）解：设购买甲图书本，则购买乙图书本，
由题意得：，
解得：，
答：最少购进甲图书14本．
21．（2025·惠来模拟）我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】解：如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴此段沅江江面的宽度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，即可得到是矩形，求出MN的长，根据三角形的外角得到，进而得到，在和中利用三角函数解答即可．
22．（2025·惠来模拟）综合应用
（1）【问题感知】
如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，若N是中点，则线段长度的最小值为 ．
（2）【问题呈现】
若图①中“N是中点”改为“”，再求线段长度的最小值．
【问题解决】
如图②，若把等边中“N是中点”改为“”，如何求线段的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．则为 度，线段长度的最小值为 ．
（3）【应用迁移】
如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，，若点M在上，点N在上，．求钢丝绳的最小值．
【答案】（1）
（2）30，2
（3）解：如图，过M、D作的平行线，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，最小，最小，
∵，，
∴，
∴，
在中，（米），
∴（米），
答：钢丝绳长度的最小值为：米．
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】
（1）
解：∵是等边三角形，
∴，
∵N是中点，
∴，
当时，线段的值最小，
∴线段的最小值；
故答案为：；
（2）
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
当最小时，取最小值，也有最小值，此时，
∴最小值是2．
故答案为：30，2；
【分析】
（1）根据垂线段最短可知：当时，线段的值最小，然后根据锐角三角函数sin∠C=可求解；
（2）由题意，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等和已知条件可得，根据等边对等角可得，再根据可得；当最小时，取最小值，也有最小值，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解；
（3）过M、D作的平行线，易得四边形MNDP是平行四边形，由垂线段最短可知：当时，最小，最小，然后根据锐角三角函数sin∠PAD=可求解．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵N是中点，
∴，
当时，线段的值最小，
∴线段的最小值；
故答案为：；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
当最小时，取最小值，也有最小值，此时，
∴最小值是2．
故答案为：30，2；
（3）解：如图，过M、D作的平行线，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，最小，最小，
∵，，
∴，
∴，
在中，（米），
∴（米），
故钢丝绳长度的最小值为米．
23．（2025·惠来模拟）在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，若，则的长为 ．
【答案】（1）
（2）解：如图，延长交于，
∵四边形是菱形，且，
，，
若连接对角线，则为等边三角形，
∵点为中点，
，
设，则， 由勾股定理得，
，
是中点，
∴，
，
由（1）可知，，，
，
又，
，
，
，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
由题意可得，为的中位线，
∴，
；

（3）或
【知识点】解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：如图，连接，延长交于，
由折叠的性质可知垂直平分，
是中点，
是中点，
是的中位线，
，即，
，
，
故答案为：，；
（3）
解：①如图，当点在上时，延长交于，
，，
，
在中，设，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
在中，，
，
整理得：，
解得（负值舍去），
，
；
②
当点在延长线上时， 同理可得，
设，则，
，
，即，
解得，
，
过作于点，则，，
，
；
综上，的长为或；
故答案为：或．
【分析】
（1）连接，延长交于，由翻折的性质可得是的中位线，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求解；
（2）延长交于，设，则，由题意，根据勾股定理将用含a的代数式表示出来，用三角函数比表示出和，设，，在Rt△AFK中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可将x用含a的代数式表示出来，再用三角形中位线的性质可求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当点在上时和当点在延长线上时，用锐角三角函数和勾股定理及相似三角形的判定和性质分别求解即可．
（1）解：如图，连接，延长交于，
由折叠的性质可知垂直平分，
是中点，
是中点，
是的中位线，
，即，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图，延长交于，
∵四边形是菱形，且，
，，
若连接对角线，则为等边三角形，
∵点为中点，
，
设，则， 由勾股定理得，
，
是中点，
∴，
，
由（1）可知，，，
，
又，
，
，
，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
由题意可得，为的中位线，
∴，
；
（3）解：①如图，当点在上时，延长交于，
，，
，
在中，设，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
在中，，
，
整理得：，
解得（负值舍去），
，
；
②
当点在延长线上时， 同理可得，
设，则，
，
，即，
解得，
，
过作于点，则，，
，
；
综上，的长为或；
故答案为：或．
1 / 1

展开更多......

收起↑