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湖南省邵阳市双清区2025年中考三模数学试题
1．（2025·双清模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·双清模拟）2024年我国新能源汽车年产量突破13000000辆，数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·双清模拟）下列新能源汽车车标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·双清模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·双清模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·双清模拟）某班的名同学分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·双清模拟）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·双清模拟）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（　　）
A．8 B．8 C． D．
9．（2025·双清模拟）判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·双清模拟）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（　　）
A．为函数图象的“相反点”
B．函数的图象存在两个“相反点”
C．为函数的图象上唯一的“相反点”
D．当时，函数的图象上无“相反点”
11．（2025·双清模拟）分式有意义的条件是　 　．
12．（2025·双清模拟）若代数式的值等于22，则的值为　 　．
13．（2025·双清模拟）如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为　 　．
14．（2025·双清模拟）如图，点是正五边形边上一点，过点作直线，则的度数为　 　．
15．（2025·双清模拟）已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为　 　．
16．（2025·双清模拟）四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是　 　．
17．（2025·双清模拟）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　．
18．（2025·双清模拟）如图，在中，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点．连接，交边于点．连接，则的度数为　 　．若，点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是　 　．
19．（2025·双清模拟）计算：．
20．（2025·双清模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·双清模拟）某校兴趣小组开展“体育锻炼最能让我___________”的问卷调查，要求同学们从“A：享受乐趣；B：增强体质；C：锤炼意志；D：缓解压力；E：预防近视”任选一项填在横线上．调查结束后，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查学生的人数为___________人，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为___________度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2400名学生，请你估计该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数．
22．（2025·双清模拟）为践行健康第一教育理念，丰富体育活动项目，某校准备购买一批篮球和排球．已知购买1个篮球和4个排球，共需320元；购买5个篮球和2个排球，共需700元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）若学校准备购买篮球、排球共90个，总费用不超过7300元，那么最多能够购买篮球多少个？
23．（2025·双清模拟）如图，过的顶点，作，分别交边，于点，线段与交于点，已知___________
请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（）证明：四边形是菱形；
（）若，，求四边形的面积．
24．（2025·双清模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动，并设计如下测量方案．
活动主题 测算某厂房一面墙的高度与长度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某工厂的厂房的一面墙，墙面的形状为矩形，其示意图如下：
测绘过程和数据信息 ①在厂房的墙面外取一点，使得点在同一冬克线上．用皮尺测得米； ②无人机在处，以米/秒的速度竖直向上飞行了秒钟，飞行至处； ③在处测得房顶的俯角，测得房顶的俯角； ④用计算器计算得：，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题，
（1）求厂房的高度；
（2）求厂房的长度．
25．（2025·双清模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求点的坐标．
（2）直线与抛物线交于，两点，其横坐标分别为，．若，，求的取值范围．
（3）如图2，直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，过点作交于点．若，求的值．
26．（2025·双清模拟）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
（1）证明：．
（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是．
故选：B．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤|a|<10，n为原数字的整数位数减1.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可求解．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵由题意得：，
∴；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，可得关于m的不等式，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B、，原式计算错误，故选项B不符合题意；
C、，原式计算正确，故选项C符合题意；
D、，原式计算错误，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则进行计算并判断即可．
6．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据由小到大排列为：，，，，，，，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：．
【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排列，再取最中间的数，即可得到中位数.
7．【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数中，一次项系数，
∴的值随的增大而减小.
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的性质，可得y随x的增大而减小，据此即可解答.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作，，连接、交于点O，如图所示：
由题意知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
旋转过程中，菱形的高DN，底AB会变化，
∴两张纸片垂直，即时，底边最短，
∴此时面积为：，
故答案为：C．
【分析】过点D作，，连接、交于点O．先证出四边形是平行四边形，再由，，可得，即可得平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，可知当两张纸片垂直时，底边最短，据此即可求出面积最小值．
9．【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：对于任意实数a，都有，当时，a+1=0，，
∴反例中的a可以是﹣1.
故答案为：D．
【分析】正数和负数的平方都是正数，0的平方是0.据此解答即可.
10．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由“相反数”的定义得：相反点一定在直线上，
A、令x＝﹣x，可得x=0，代入得：y=0，
为函数图象的“相反点”，故选项A正确，不符合题意；
B、令，可得或，代入得：
时，，时，，
和为函数图象的“相反点”，函数的图象存在两个“相反点”，故选项B正确，不符合题意；
C、令，可得x=0或，代入得：
x=0时，y=0；时，，
点和都是函数的图象上的“相反点”，不是函数的图象上唯一的“相反点”，故选项C错误，符合题意；
D、令，整理得：，
∵函数的图象上无“相反点”，∴方程无解，
，
解得：，
当时，函数的图象上无“相反点”，故选项D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据“相反点”的定义可知，相反点一定在直线上，判断函数与直线的交点情况即可．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义 ，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义时，分母不等于列出不等式即可求解.
12．【答案】
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 代数式的值等于22，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据题意可得关于x的方程，再解方程即可．
13．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，的半径为4，
∴，，
∵∠ABC=60°，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，进而可得，即可求解．
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：即AE与m相交于点F，如图所示，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】正多边形外角和与平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出∠FPB的度数，继而可求得∠1度数．
15．【答案】15
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为，
∴，
∴当时，，
故答案为：15．
【分析】先根据已知条件求出常数，再把代入 ，即可求出的值．
16．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯，每一杯被选中的情况数都相同，
∴．
∵酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水中性，
∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，
∴．
∴．
故答案为：
【分析】准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而可确定和的值，再根据概率的计算公式求解即可．
17．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得，南海至北海的距离为d，
∴，，
联立函数解析式得：
解得：，
∴交点M的横坐标是；
故答案为：．
【分析】根据题意分别求出 的函数解析式，再联立求出t的值，即可得到答案.
18．【答案】；
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，AC=10，
∴.
过点作于，连接AN，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：；．
【分析】由由作图可知EF为线段BC的垂直平分线，即得，即可得.在△ABC中解直角三角形可求出AB的长；过点作于，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解．
19．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，去绝对值，同时计算负整数指数幂和算术平方根，再化简运算即可．
20．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则进行计算，再代值计算即可．
21．【答案】（1）120；135
（2）解：D组的学生人数为：（人），
故可补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数约为200人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查学生的人数为：（人），
扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：，
故答案为：120；135；
【分析】（1）B组的人数和B组的占比都知道，故用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；再用360°乘以A组所占的比例即可得到A组对应扇形的圆心角 ；
（2）先用总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，即可补全条形统计图；
（3）用学生总数2400乘以C组所占的比例即可估算出对应的人数．
（1）解：本次调查学生的人数为：（人），
扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：，
故答案为：120；135；
（2）解：D组的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数为200人．
22．【答案】（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意可得：
，
解得：；
答：篮球的单价是120元，排球的单价是50元；
（2）解：设购买篮球a个，则购买排球个，根据题意可得：
，
解得：；
所以a的最大值为40，
答：最多能够购买篮球40个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意得等量关系“1个篮球的钱+4个排球的钱＝320”“5个篮球的钱+2个排球的钱＝700”；据此即可得到关于x、y的方程组，再求解即可；
（2）设购买篮球a个，则购买排球个，根据“购买总费用不超过7300元”得关于a的不等式，求出a的范围，再取最大整数即可．
（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意可得：
，
解得：；
答：篮球的单价是120元，排球的单价是50元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买排球个，根据题意可得：
，
解得：；
所以m的最大值为40，
答：最多能够购买篮球40个．
23．【答案】证明（1）：选择①：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是菱形；
选择②：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是菱形；
解（2）：∵四边形是菱形，
∴AD=CD，∠D=∠B=60°.
∵AM=6，AM⊥CD，
∴，.
∴.
∵CN⊥AD，
∴∠DCN=90°－∠D=30°.
∴.
∴.
【知识点】菱形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（）选择①：利用 AAS证明△AON≌△COM，可得，即得，进而可根据等面积法证得，即可求证；
选择②：利用 AAS证明△AON≌△COM，可得，，即得，进而根据等面积法可得，即可求证；
（）根据菱形的性质得AD=CD，∠D=∠B=60°.分别在△ADM和△COM中解直角三角形，可求得AD，MD，CD以及OM的长，再利用即可得到四边形ABCO的面积.
24．【答案】（1）解：延长交于点，r如图所示：
则，四边形是矩形，
∴，米，
由题意得，米，，.
在中，，CH=10米，
∴米，
∴米，
∴米.
答：厂房的高度为米；
（2）解：在中，，FH=10米，
∴，
∴米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，
答：厂房的长度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（）延长DC交EF于点H，可得∠DHF=90°，四边形BEHC是矩形，于是有，米；由题意得EF=22米，∠FDH=∠GFD=14°，，在解直角三角形，可得FH的长，进而可根据线段的和差关系求得BC的长；
（）在解直角三角形，求出DH的长度，进而可得DC，再根据矩形的性质即可求解.
（1）解：延长交于点，则，四边形是矩形，
∴，米，
由题意得，米，，，
在中，∵，
∴米，
∴米，
∴米，
答：厂房的高度为米；
（2）解：在中，，
∴，
∴米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，
答：厂房的长度为米．
25．【答案】（1）解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
；
（2）解：由整理得：，
则方程的两根为，，
，，
，
，
，，
，
∴
解得：；
（3）解：过点作于点，如图所示：
∵A(3，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3.
∵ 直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，
∴，，，（0∴，，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠DFA=∠FHG=90°，
∴△DFA∽△FHG，
∴，
∴，即，
∴，
解得：或（舍）．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由待定系数法求出抛物线表达式，再令求出点；
（2）由整理，由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式可得，代入得，再由，得到不等式组，求解即可；
（3）过点作于点，可得，则，，，（0（1）解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
；
（2）联立，
即，
整理得：，
，，
，
，
，，
，
∴
解得：；
（3）解：过点作于点，
设直线，
代入点，则，
解得：，
∴直线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍）．
26．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下；
①∵正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴，
∴；结论得证.
②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADH=90°，AB//CD，
∴∠ABQ=90°=∠ADH，
∴△ABQ≌△ADH (SAS)，
∴∠QAB=∠HAD，AQ=AH.
由①得，
∴∠QAB+∠BAE=∠HAD+∠BAE=90°－∠EAH=45°，
∴∠QAE=∠HAE.
又∵AQ=AH，AE=AE，
∴△AEQ≌△AEH (SAS)，
∴EH=QE.
∵AB//CD，
∴△DHP∽△BAP，
∴，
∴，
∴EH=QE=QB+BE=DH+BE，
∴EH=3λ+a.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）①由正方形的性质得∠CBD=45°，再由旋转的性质得△AEF是等腰直角三角形，于是可得，利用圆内接四边形的判定可得点A、B、E、P四点共圆，确定，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
（2）②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，先利用SAS证明△ABQ≌△ADH，可得∠QAB=∠HAD，AQ=AH，于是可证明∠QAE=∠HAE.再利用SAS证明△AEQ≌△AEH，可得EH=QE.证明△DHP∽△BAP，可得，于是可利用EH=QE=DH+BE，求得EH的长.
（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根据题意得：，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
1 / 1湖南省邵阳市双清区2025年中考三模数学试题
1．（2025·双清模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是．
故选：B．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可．
2．（2025·双清模拟）2024年我国新能源汽车年产量突破13000000辆，数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤|a|<10，n为原数字的整数位数减1.
3．（2025·双清模拟）下列新能源汽车车标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可求解．
4．（2025·双清模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵由题意得：，
∴；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，可得关于m的不等式，求解即可.
5．（2025·双清模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B、，原式计算错误，故选项B不符合题意；
C、，原式计算正确，故选项C符合题意；
D、，原式计算错误，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则进行计算并判断即可．
6．（2025·双清模拟）某班的名同学分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据由小到大排列为：，，，，，，，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：．
【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排列，再取最中间的数，即可得到中位数.
7．（2025·双清模拟）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数中，一次项系数，
∴的值随的增大而减小.
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的性质，可得y随x的增大而减小，据此即可解答.
8．（2025·双清模拟）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（　　）
A．8 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作，，连接、交于点O，如图所示：
由题意知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
旋转过程中，菱形的高DN，底AB会变化，
∴两张纸片垂直，即时，底边最短，
∴此时面积为：，
故答案为：C．
【分析】过点D作，，连接、交于点O．先证出四边形是平行四边形，再由，，可得，即可得平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，可知当两张纸片垂直时，底边最短，据此即可求出面积最小值．
9．（2025·双清模拟）判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：对于任意实数a，都有，当时，a+1=0，，
∴反例中的a可以是﹣1.
故答案为：D．
【分析】正数和负数的平方都是正数，0的平方是0.据此解答即可.
10．（2025·双清模拟）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（　　）
A．为函数图象的“相反点”
B．函数的图象存在两个“相反点”
C．为函数的图象上唯一的“相反点”
D．当时，函数的图象上无“相反点”
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由“相反数”的定义得：相反点一定在直线上，
A、令x＝﹣x，可得x=0，代入得：y=0，
为函数图象的“相反点”，故选项A正确，不符合题意；
B、令，可得或，代入得：
时，，时，，
和为函数图象的“相反点”，函数的图象存在两个“相反点”，故选项B正确，不符合题意；
C、令，可得x=0或，代入得：
x=0时，y=0；时，，
点和都是函数的图象上的“相反点”，不是函数的图象上唯一的“相反点”，故选项C错误，符合题意；
D、令，整理得：，
∵函数的图象上无“相反点”，∴方程无解，
，
解得：，
当时，函数的图象上无“相反点”，故选项D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据“相反点”的定义可知，相反点一定在直线上，判断函数与直线的交点情况即可．
11．（2025·双清模拟）分式有意义的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义 ，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义时，分母不等于列出不等式即可求解.
12．（2025·双清模拟）若代数式的值等于22，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 代数式的值等于22，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据题意可得关于x的方程，再解方程即可．
13．（2025·双清模拟）如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为　 　．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，的半径为4，
∴，，
∵∠ABC=60°，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，进而可得，即可求解．
14．（2025·双清模拟）如图，点是正五边形边上一点，过点作直线，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：即AE与m相交于点F，如图所示，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】正多边形外角和与平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出∠FPB的度数，继而可求得∠1度数．
15．（2025·双清模拟）已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为　 　．
【答案】15
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为，
∴，
∴当时，，
故答案为：15．
【分析】先根据已知条件求出常数，再把代入 ，即可求出的值．
16．（2025·双清模拟）四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯，每一杯被选中的情况数都相同，
∴．
∵酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水中性，
∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，
∴．
∴．
故答案为：
【分析】准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而可确定和的值，再根据概率的计算公式求解即可．
17．（2025·双清模拟）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得，南海至北海的距离为d，
∴，，
联立函数解析式得：
解得：，
∴交点M的横坐标是；
故答案为：．
【分析】根据题意分别求出 的函数解析式，再联立求出t的值，即可得到答案.
18．（2025·双清模拟）如图，在中，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点．连接，交边于点．连接，则的度数为　 　．若，点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】；
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，AC=10，
∴.
过点作于，连接AN，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：；．
【分析】由由作图可知EF为线段BC的垂直平分线，即得，即可得.在△ABC中解直角三角形可求出AB的长；过点作于，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解．
19．（2025·双清模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，去绝对值，同时计算负整数指数幂和算术平方根，再化简运算即可．
20．（2025·双清模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则进行计算，再代值计算即可．
21．（2025·双清模拟）某校兴趣小组开展“体育锻炼最能让我___________”的问卷调查，要求同学们从“A：享受乐趣；B：增强体质；C：锤炼意志；D：缓解压力；E：预防近视”任选一项填在横线上．调查结束后，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查学生的人数为___________人，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为___________度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2400名学生，请你估计该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数．
【答案】（1）120；135
（2）解：D组的学生人数为：（人），
故可补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数约为200人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查学生的人数为：（人），
扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：，
故答案为：120；135；
【分析】（1）B组的人数和B组的占比都知道，故用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；再用360°乘以A组所占的比例即可得到A组对应扇形的圆心角 ；
（2）先用总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，即可补全条形统计图；
（3）用学生总数2400乘以C组所占的比例即可估算出对应的人数．
（1）解：本次调查学生的人数为：（人），
扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：，
故答案为：120；135；
（2）解：D组的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数为200人．
22．（2025·双清模拟）为践行健康第一教育理念，丰富体育活动项目，某校准备购买一批篮球和排球．已知购买1个篮球和4个排球，共需320元；购买5个篮球和2个排球，共需700元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）若学校准备购买篮球、排球共90个，总费用不超过7300元，那么最多能够购买篮球多少个？
【答案】（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意可得：
，
解得：；
答：篮球的单价是120元，排球的单价是50元；
（2）解：设购买篮球a个，则购买排球个，根据题意可得：
，
解得：；
所以a的最大值为40，
答：最多能够购买篮球40个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意得等量关系“1个篮球的钱+4个排球的钱＝320”“5个篮球的钱+2个排球的钱＝700”；据此即可得到关于x、y的方程组，再求解即可；
（2）设购买篮球a个，则购买排球个，根据“购买总费用不超过7300元”得关于a的不等式，求出a的范围，再取最大整数即可．
（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意可得：
，
解得：；
答：篮球的单价是120元，排球的单价是50元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买排球个，根据题意可得：
，
解得：；
所以m的最大值为40，
答：最多能够购买篮球40个．
23．（2025·双清模拟）如图，过的顶点，作，分别交边，于点，线段与交于点，已知___________
请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（）证明：四边形是菱形；
（）若，，求四边形的面积．
【答案】证明（1）：选择①：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是菱形；
选择②：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是菱形；
解（2）：∵四边形是菱形，
∴AD=CD，∠D=∠B=60°.
∵AM=6，AM⊥CD，
∴，.
∴.
∵CN⊥AD，
∴∠DCN=90°－∠D=30°.
∴.
∴.
【知识点】菱形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（）选择①：利用 AAS证明△AON≌△COM，可得，即得，进而可根据等面积法证得，即可求证；
选择②：利用 AAS证明△AON≌△COM，可得，，即得，进而根据等面积法可得，即可求证；
（）根据菱形的性质得AD=CD，∠D=∠B=60°.分别在△ADM和△COM中解直角三角形，可求得AD，MD，CD以及OM的长，再利用即可得到四边形ABCO的面积.
24．（2025·双清模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动，并设计如下测量方案．
活动主题 测算某厂房一面墙的高度与长度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某工厂的厂房的一面墙，墙面的形状为矩形，其示意图如下：
测绘过程和数据信息 ①在厂房的墙面外取一点，使得点在同一冬克线上．用皮尺测得米； ②无人机在处，以米/秒的速度竖直向上飞行了秒钟，飞行至处； ③在处测得房顶的俯角，测得房顶的俯角； ④用计算器计算得：，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题，
（1）求厂房的高度；
（2）求厂房的长度．
【答案】（1）解：延长交于点，r如图所示：
则，四边形是矩形，
∴，米，
由题意得，米，，.
在中，，CH=10米，
∴米，
∴米，
∴米.
答：厂房的高度为米；
（2）解：在中，，FH=10米，
∴，
∴米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，
答：厂房的长度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（）延长DC交EF于点H，可得∠DHF=90°，四边形BEHC是矩形，于是有，米；由题意得EF=22米，∠FDH=∠GFD=14°，，在解直角三角形，可得FH的长，进而可根据线段的和差关系求得BC的长；
（）在解直角三角形，求出DH的长度，进而可得DC，再根据矩形的性质即可求解.
（1）解：延长交于点，则，四边形是矩形，
∴，米，
由题意得，米，，，
在中，∵，
∴米，
∴米，
∴米，
答：厂房的高度为米；
（2）解：在中，，
∴，
∴米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，
答：厂房的长度为米．
25．（2025·双清模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求点的坐标．
（2）直线与抛物线交于，两点，其横坐标分别为，．若，，求的取值范围．
（3）如图2，直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，过点作交于点．若，求的值．
【答案】（1）解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
；
（2）解：由整理得：，
则方程的两根为，，
，，
，
，
，，
，
∴
解得：；
（3）解：过点作于点，如图所示：
∵A(3，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3.
∵ 直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，
∴，，，（0∴，，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠DFA=∠FHG=90°，
∴△DFA∽△FHG，
∴，
∴，即，
∴，
解得：或（舍）．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由待定系数法求出抛物线表达式，再令求出点；
（2）由整理，由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式可得，代入得，再由，得到不等式组，求解即可；
（3）过点作于点，可得，则，，，（0（1）解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
；
（2）联立，
即，
整理得：，
，，
，
，
，，
，
∴
解得：；
（3）解：过点作于点，
设直线，
代入点，则，
解得：，
∴直线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍）．
26．（2025·双清模拟）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
（1）证明：．
（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下；
①∵正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴，
∴；结论得证.
②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADH=90°，AB//CD，
∴∠ABQ=90°=∠ADH，
∴△ABQ≌△ADH (SAS)，
∴∠QAB=∠HAD，AQ=AH.
由①得，
∴∠QAB+∠BAE=∠HAD+∠BAE=90°－∠EAH=45°，
∴∠QAE=∠HAE.
又∵AQ=AH，AE=AE，
∴△AEQ≌△AEH (SAS)，
∴EH=QE.
∵AB//CD，
∴△DHP∽△BAP，
∴，
∴，
∴EH=QE=QB+BE=DH+BE，
∴EH=3λ+a.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）①由正方形的性质得∠CBD=45°，再由旋转的性质得△AEF是等腰直角三角形，于是可得，利用圆内接四边形的判定可得点A、B、E、P四点共圆，确定，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
（2）②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，先利用SAS证明△ABQ≌△ADH，可得∠QAB=∠HAD，AQ=AH，于是可证明∠QAE=∠HAE.再利用SAS证明△AEQ≌△AEH，可得EH=QE.证明△DHP∽△BAP，可得，于是可利用EH=QE=DH+BE，求得EH的长.
（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根据题意得：，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
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