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浙江省浙里联考联盟2024-2025学年八年级下学期数学6月月考试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意一个选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025八下·浙江月考）下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；一个图形沿着某个点旋转后能与原图形完全重合的图形”逐项判断解答即可．
2．（2025八下·浙江月考）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故选项A不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故选项B不是最简二次根式，不符合题意；
C、不能再化简，故选项C是最简二次根式，符合题意；
D、，故选项D不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】被开放数不含分母，也不含开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义判断即可.
3．（2025八下·浙江月考）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
故配方之后的结果为：.
故答案为：B.
【分析】先把常数项移到等号右边，再结合完全平方公式进行配方即可.
4．（2025八下·浙江月考）如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°＝720°，
解得：n＝6.
则这个正多边形的边数是6.
故答案为：D.
【分析】由n边形的内角和=（n﹣2） 180°可得结果.
5．（2025八下·浙江月考）一组数据：2，3，4，6，6，5，这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．3，6 B．5，3 C．3.5，6 D．4.5，6
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据排列为：2，3，4，5，6，6，
故中位数为：，
6出现2次，其他各数都出现一次，故众数为：6.
故答案为：D.
【分析】中位数指的是一组数按照从小到大的顺序排列后，最中间的数或最中间的两个数的平均数；众数指的是一组数中出现次数最多的数；根据众数和中位数的定义进行计算并判断即可.
6．（2025八下·浙江月考）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”第一步应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：求证：假设原命题的结论不成立，
则∠B≥90°.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的解题步骤解答即可；第一步要假设原命题不成立.
7．（2025八下·浙江月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　）
A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形书架的侧边和上、下底都垂直，
∴该平行四边形是矩形.
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴用绳子分别测量两条对角线，两条绳子长相等，即可得垂直.
故答案为：B.
【分析】根据题意判断平行四边形是矩形，再根据矩形的判定定理判断即可.
8．（2025八下·浙江月考）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：AD⊥OC，BC⊥OD，
∴∠DAO=∠DAC=∠CBD=∠CBO=90°，
∴∠ADB+∠DEB=90°，∠ADB+∠O=90°，∠BCO+∠CEA=90°，∠BCO+∠O=90°，
∴∠DEB=∠O=∠CEA.
故答案为：A.
【分析】根据垂线的定义和直角三角形的性质可得∠ADB+∠DEB=90°，∠ADB+∠O=90°，∠BCO+∠CEA=90°，∠BCO+∠O=90°，继而可得∠DEB=∠O=∠CEA，答案可得.
9．（2025八下·浙江月考）已知平面直角坐标系中有四个点，其中点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解： O，A，B三个点在直角坐标系中如图所示：
故点C的位置可以是C(3，﹣2)，或D(﹣3，2)，或E(5，2).
故答案为：C.
【分析】分别过点A，B，O三点作对边的平行线，三条平行线相交于点C，D，E，则这三个点中的任意一个和A，B，O三点都可构成平行四边形.在平面直角坐标系中更容易得到点C的坐标.
10．（2025八下·浙江月考）如图，把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形．如果图2中小正方形的边长为，图3中小正方形的边长为1，则图1中菱形的面积为（　　）
A．6 B．3 C． D．12
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设每个直角三角形的直角边长分别为a，b，长边为a，短边为b，由题意可得：
，①
a－b=1，②
由②得：，即，
∴2ab=6.
∵ 菱形沿对角线分成的四个全等的直角三角形，
∴菱形的两条对角线的长分别为2a，2b，
故菱形的面积为：.
故答案为：A.
【分析】设每个直角三角形的直角边长分别为a，b，长边为a，短边为b，由图2可得，①，由图3可得a－b=1，②，利用完全平方公式可得2ab=6.再利用菱形的面积公式，即可得到答案.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·浙江月考）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．（2025八下·浙江月考）方程的两根为，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为，，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为，，则，.
13．（2025八下·浙江月考）在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是　 　度．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：∠α是正五边形的一个外角，
∴.
故答案为：72°.
【分析】根据题意得∠α是正五边形的一个外角，再根据正多边形的外角和为360°，即可得每个外角的度数.
14．（2025八下·浙江月考）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵，，
∴BC=2AB=4，
∴.
∵四边形AEFC是矩形，
∴∠F=∠E=90°，AE=CF，.
∵设BE=x，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ 矩形的面积为.
故答案为：8.
【分析】先利用矩形的性质和勾股定理求得AC的长，再利用矩形的性质得∠F=∠E=90°，AE=CF，EF=AC.设BE=x，表示出BF的长，利用勾股定理得，代入数据求出x的值，继而可得AE长，最后再利用矩形的面积公式计算即可.
15．（2025八下·浙江月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，BD，相较于点O，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图所示：
由题意得：AD//BC，DC//AB，DM=DN=2，AC=4cm，BD=3cm，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DM·AB=DN·BC，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OA=OB=2cm，cm，AC⊥BD，
∴cm.
故答案为：.
【分析】连接AC，BD，相较于点O，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，证明四边形ABCD是菱形，可得OA=OB=2cm，cm，AC⊥BD，再利用勾股定理，即可得到AB的长.
16．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·浙江月考）
（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：．
a=1，b=﹣2，c=﹣1.
∴，
，
【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先对括号里面化简二次根式并合并，再把除法变成乘法，再计算即可.
（2）可以利用求根公式法解这样一元二次方程.
18．（2025八下·浙江月考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求的值．
【答案】（1）解：对于 一元二次方程，
a=1，b=2m+1，c=m，
∴，
∴ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当方程的一个根是1时，代入可得：
1+2m+1+m=0，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解答；
（2）把x=1代入方程，即可得m的值.
19．（2025八下·浙江月考）如图1，已知，用直尺和圆规作以为邻边的平行四边形．
（1）如图2，根据作图痕迹，证明四边形为平行四边形．
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
【答案】（1）证明：在BA延长线上标字母M，在BC延长线上标字母N，如图所示：
则由作图可得：∠MAD=∠ABC，∠ABC=∠DCN，
∴AD//BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：如图所示：
以点A为圆心，BC为半径画弧；再点C为圆心，AB为半径画弧；两弧相交于点D，则四边形ABCD即为所求作的平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据作图可得∠MAD=∠ABC，∠ABC=∠DCN，利用“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC，AB//DC，再根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）以点A为圆心，BC为半径画弧；再点C为圆心，AB为半径画弧；两弧相交于点D，可得AB=CD，AD=BC，再根据平行线的判定定理即可得到结论.
20．（2025八下·浙江月考）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接．
（1）求证：．
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=ABC=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴DE=AF.
（2）解：由（1）得△ABF≌△DAE，
∴∠DEA=∠AFB，
∵∠DEA+∠DEB=180°，
∴∠DEB+ ∠AFB=180°，
∵∠B+∠DEB+∠EGF+∠AFB=180°×（4－2）=360°，∠B=90°，
∴∠EGF=90°.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠DAB=ABC=90°，进而可利用SAS证明△ABF≌△DAE，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得∠DEA=∠AFB，再结合平角的性质可得∠DEB+ ∠AFB=180°， 根据多边形的内角和定理，即可计算得答案.
21．（2025八下·浙江月考）为了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小帅对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：
（1）该班级的女生人数是　 　，女生收看“两会”新闻次数的中位数是　 　．
（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，试求该班级的男生人数．
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小帅给出了部分统计量（如表）．
统计量 平均数（次） 方差（次） ．．．
女生 3 1.3 ．．．
男生 3 2 ．．．
根据你学过的统计知识，比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动情况．
【答案】（1）20；3
（2）解：由（1）得，女生人数有20人，其中“关注指数”为：，
∵该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，
∴该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”为65%－5%=60%，
故该班的男生人数为(人).
∴该班级男生有25人
（3）解：女生收看“两会”的方差较小，故女生的波动情况更小，数据更稳定.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；中位数；分析数据的波动程度；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）女生人数：2+5+6+5+2=20（人）；
由统计图，第10和第11人的收看次数都是3次，故中位数为：；
故答案为：20；3.
【分析】把女生各个次数的人数相加，即可得到总人数；根据总人数找到第10和第11人的收看次数，再根据中位数的计算公式，即可确定答案；
（2）计算出女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得男生对“两会”新闻的“关注指数”，再利用低于3次的人数÷对应的百分百，即可得该班的男生人数.
（3）根据方差的性质，数据越小波动情况越小越稳定.
22．（2025八下·浙江月考）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【答案】（1）解：设2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，由题意得：
2(1+x)2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍)
故2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为20%.
（2）解：设每碗售价定为m元时，店家才能实现每天净利润600元，由题意得：
解得：m1=18，m2=22，
∵ 物价局规定每碗售价不得超过20元，
∴m=18，
故每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，由题意列方程并求解，即可得到答案；
（2）设每碗售价定为m元时，根据题意得等量关系“单件的利润×销售件数－其他各种费用=净利润”，据此列方程并求解即可.
23．（2025八下·浙江月考）已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）．
拓展：
（1）如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：．
（2）如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：　 　（直接写出答案，无需证明）．
（3）如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵G、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理：，
∴，
又∵，
∴；
（2）是等腰三角形
（3）解：取的中点G，连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）是等腰三角形；
证明：如图，取的中点H，连接、，
∵E、F分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【分析】（1）连接，根据中位线定理得到，，即可得到结论；
（2）取的中点H，连接、，根据三角形的中位线定理得到，即可得到，再根据平行得到，根据等角对等表解答即可；
（3）取的中点G，连接，根据三角形的中位线定理求出，然后利用股定理解答即可.
24．（2025八下·浙江月考）如图1，直线，且．点在直线上．点在直线上，动点从点出发，以每秒的速度向点运动，同时动点以同样的速度从点出发，向点运动．点运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？并判断此时四边形的面积与四边形的面积有什么关系．
（2）是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何只改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度．
（3）如图2，在（2）条件下，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形与直线相交于点，求四边形的面积．
【答案】（1）解：时，四边形ABCP是平行四边形，
∵a//b，即AB//CP，
当t=3时，CP=2×3=6cm，AB=6cm，
∴AB=CP，
∴四边形ABCP是平行四边形，此时平行四边形和面积相等，
∵点Q的运动速度=点P的运动速度，都是2cm/s，
∴t=3时，DQ=2×3=6cm=AB，
∴四边形ABQD也是平行四边形，
记a和b之间的距离为h，则S平行四边形ABQD=S平行四边形ABQD=AB·h=6h.
（2）解：不存在，理由如下：
∵AB=AD=6cm，∠ADC=60°，
∴DQ=AD时，三角形ADQ是等边三角形，
此时AQ=DQ=AB=6cm，
∴t=6÷2=3s，
此时DQ=CP=6×2=12cm，
∵PQ=CD－CP－DQ=20－12=8≠AB，
∴当AB=AQ时四边形ABPQ不是平行四边形，更不是菱形，
∴ 不存在的值，使四边形为菱形.
设点的速度为v时，在某一时刻四边形ABPQ是菱形，
∴AQ=QP=AB=6cm，
∵AB=AD=6cm，∠ADC=60°，
∴AD=AQ，
∴△ADQ是等边三角形，
∴DQ=AD=6cm，
设点P的速度为vcm/s，点D的速度为2cm/s，
∴t s时，，，
∴，2t=6，
∴t=3，
∴当P的速度为cm/s时，四边形在t=3时为菱形.
（3）解：∵四边形ABPQ是菱形，
∴AQ=AB=AD=6，
可得△AOQ是等边三角形，
∴∠DQA=∠ADQ=60°，
∴∠QAB=∠DQA=60°，
∵将菱形绕点逆时针旋转得到菱形AB'P'Q'时，点B'在对角线AP上.
∴∠Q'AB'=∠QAB=60°，∠OAB=∠Q'AQ=30°，
∴∠MAQ=∠Q'AB'+∠PAB=90°，即AM⊥AB，
∵a//b，
∴∠AMQ=90°，
∴
∴.
∵MQ//AB，
∴四边形ABQM是梯形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】 【分析】（1）利用“一组对比平行且相等的四边形是平行四边形”可得CP=2t=6时，四边形ABCP是平行四边形，同理证明四边形ABQD也是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，即可得到两个四边形的面积关系.
（2）证明AQ=AB=6cm时，PQ≠AB，可得此时四边形ABPQ不是菱形，即可得到结论；根据菱形的性质得AQ=QP=AB=6，此时可证明三角形ADQ是等边三角形，于是有QD=6cm，设设点P的速度为vcm/s，点D的速度为2cm/s，分别表示出DQ，PQ，建立方程求解，即可得到t和v的值，答案可得.
（3）利用菱形的性质可等边三角形的判定和性质可证明∠QAB=∠DQA=60°，利用旋转的性质得∠Q'AB'=∠QAB=60°，∠OAB=∠Q'AQ=30°，证明AM⊥AB，可利用含30°角的直角三角形的性质求得MQ和AM的长，再证明四边形ABQM是梯形，即可利用梯形的面积公式计算得答案.
1 / 1浙江省浙里联考联盟2024-2025学年八年级下学期数学6月月考试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意一个选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025八下·浙江月考）下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·浙江月考）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·浙江月考）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·浙江月考）如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025八下·浙江月考）一组数据：2，3，4，6，6，5，这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．3，6 B．5，3 C．3.5，6 D．4.5，6
6．（2025八下·浙江月考）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”第一步应先假设（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·浙江月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　）
A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形
8．（2025八下·浙江月考）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·浙江月考）已知平面直角坐标系中有四个点，其中点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·浙江月考）如图，把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形．如果图2中小正方形的边长为，图3中小正方形的边长为1，则图1中菱形的面积为（　　）
A．6 B．3 C． D．12
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·浙江月考）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·浙江月考）方程的两根为，，则的值为　 　．
13．（2025八下·浙江月考）在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是　 　度．
14．（2025八下·浙江月考）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为　 　．
15．（2025八下·浙江月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为　 　．
16．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·浙江月考）
（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（2025八下·浙江月考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求的值．
19．（2025八下·浙江月考）如图1，已知，用直尺和圆规作以为邻边的平行四边形．
（1）如图2，根据作图痕迹，证明四边形为平行四边形．
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
20．（2025八下·浙江月考）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接．
（1）求证：．
（2）求的度数．
21．（2025八下·浙江月考）为了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小帅对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：
（1）该班级的女生人数是　 　，女生收看“两会”新闻次数的中位数是　 　．
（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，试求该班级的男生人数．
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小帅给出了部分统计量（如表）．
统计量 平均数（次） 方差（次） ．．．
女生 3 1.3 ．．．
男生 3 2 ．．．
根据你学过的统计知识，比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动情况．
22．（2025八下·浙江月考）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
23．（2025八下·浙江月考）已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）．
拓展：
（1）如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：．
（2）如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：　 　（直接写出答案，无需证明）．
（3）如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长．
24．（2025八下·浙江月考）如图1，直线，且．点在直线上．点在直线上，动点从点出发，以每秒的速度向点运动，同时动点以同样的速度从点出发，向点运动．点运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？并判断此时四边形的面积与四边形的面积有什么关系．
（2）是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何只改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度．
（3）如图2，在（2）条件下，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形与直线相交于点，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；一个图形沿着某个点旋转后能与原图形完全重合的图形”逐项判断解答即可．
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故选项A不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故选项B不是最简二次根式，不符合题意；
C、不能再化简，故选项C是最简二次根式，符合题意；
D、，故选项D不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】被开放数不含分母，也不含开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
故配方之后的结果为：.
故答案为：B.
【分析】先把常数项移到等号右边，再结合完全平方公式进行配方即可.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°＝720°，
解得：n＝6.
则这个正多边形的边数是6.
故答案为：D.
【分析】由n边形的内角和=（n﹣2） 180°可得结果.
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据排列为：2，3，4，5，6，6，
故中位数为：，
6出现2次，其他各数都出现一次，故众数为：6.
故答案为：D.
【分析】中位数指的是一组数按照从小到大的顺序排列后，最中间的数或最中间的两个数的平均数；众数指的是一组数中出现次数最多的数；根据众数和中位数的定义进行计算并判断即可.
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：求证：假设原命题的结论不成立，
则∠B≥90°.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的解题步骤解答即可；第一步要假设原命题不成立.
7．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形书架的侧边和上、下底都垂直，
∴该平行四边形是矩形.
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴用绳子分别测量两条对角线，两条绳子长相等，即可得垂直.
故答案为：B.
【分析】根据题意判断平行四边形是矩形，再根据矩形的判定定理判断即可.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：AD⊥OC，BC⊥OD，
∴∠DAO=∠DAC=∠CBD=∠CBO=90°，
∴∠ADB+∠DEB=90°，∠ADB+∠O=90°，∠BCO+∠CEA=90°，∠BCO+∠O=90°，
∴∠DEB=∠O=∠CEA.
故答案为：A.
【分析】根据垂线的定义和直角三角形的性质可得∠ADB+∠DEB=90°，∠ADB+∠O=90°，∠BCO+∠CEA=90°，∠BCO+∠O=90°，继而可得∠DEB=∠O=∠CEA，答案可得.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解： O，A，B三个点在直角坐标系中如图所示：
故点C的位置可以是C(3，﹣2)，或D(﹣3，2)，或E(5，2).
故答案为：C.
【分析】分别过点A，B，O三点作对边的平行线，三条平行线相交于点C，D，E，则这三个点中的任意一个和A，B，O三点都可构成平行四边形.在平面直角坐标系中更容易得到点C的坐标.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设每个直角三角形的直角边长分别为a，b，长边为a，短边为b，由题意可得：
，①
a－b=1，②
由②得：，即，
∴2ab=6.
∵ 菱形沿对角线分成的四个全等的直角三角形，
∴菱形的两条对角线的长分别为2a，2b，
故菱形的面积为：.
故答案为：A.
【分析】设每个直角三角形的直角边长分别为a，b，长边为a，短边为b，由图2可得，①，由图3可得a－b=1，②，利用完全平方公式可得2ab=6.再利用菱形的面积公式，即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为，，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为，，则，.
13．【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：∠α是正五边形的一个外角，
∴.
故答案为：72°.
【分析】根据题意得∠α是正五边形的一个外角，再根据正多边形的外角和为360°，即可得每个外角的度数.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵，，
∴BC=2AB=4，
∴.
∵四边形AEFC是矩形，
∴∠F=∠E=90°，AE=CF，.
∵设BE=x，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ 矩形的面积为.
故答案为：8.
【分析】先利用矩形的性质和勾股定理求得AC的长，再利用矩形的性质得∠F=∠E=90°，AE=CF，EF=AC.设BE=x，表示出BF的长，利用勾股定理得，代入数据求出x的值，继而可得AE长，最后再利用矩形的面积公式计算即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，BD，相较于点O，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图所示：
由题意得：AD//BC，DC//AB，DM=DN=2，AC=4cm，BD=3cm，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DM·AB=DN·BC，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OA=OB=2cm，cm，AC⊥BD，
∴cm.
故答案为：.
【分析】连接AC，BD，相较于点O，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，证明四边形ABCD是菱形，可得OA=OB=2cm，cm，AC⊥BD，再利用勾股定理，即可得到AB的长.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：．
a=1，b=﹣2，c=﹣1.
∴，
，
【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先对括号里面化简二次根式并合并，再把除法变成乘法，再计算即可.
（2）可以利用求根公式法解这样一元二次方程.
18．【答案】（1）解：对于 一元二次方程，
a=1，b=2m+1，c=m，
∴，
∴ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当方程的一个根是1时，代入可得：
1+2m+1+m=0，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解答；
（2）把x=1代入方程，即可得m的值.
19．【答案】（1）证明：在BA延长线上标字母M，在BC延长线上标字母N，如图所示：
则由作图可得：∠MAD=∠ABC，∠ABC=∠DCN，
∴AD//BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：如图所示：
以点A为圆心，BC为半径画弧；再点C为圆心，AB为半径画弧；两弧相交于点D，则四边形ABCD即为所求作的平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据作图可得∠MAD=∠ABC，∠ABC=∠DCN，利用“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC，AB//DC，再根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）以点A为圆心，BC为半径画弧；再点C为圆心，AB为半径画弧；两弧相交于点D，可得AB=CD，AD=BC，再根据平行线的判定定理即可得到结论.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=ABC=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴DE=AF.
（2）解：由（1）得△ABF≌△DAE，
∴∠DEA=∠AFB，
∵∠DEA+∠DEB=180°，
∴∠DEB+ ∠AFB=180°，
∵∠B+∠DEB+∠EGF+∠AFB=180°×（4－2）=360°，∠B=90°，
∴∠EGF=90°.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠DAB=ABC=90°，进而可利用SAS证明△ABF≌△DAE，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得∠DEA=∠AFB，再结合平角的性质可得∠DEB+ ∠AFB=180°， 根据多边形的内角和定理，即可计算得答案.
21．【答案】（1）20；3
（2）解：由（1）得，女生人数有20人，其中“关注指数”为：，
∵该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，
∴该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”为65%－5%=60%，
故该班的男生人数为(人).
∴该班级男生有25人
（3）解：女生收看“两会”的方差较小，故女生的波动情况更小，数据更稳定.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；中位数；分析数据的波动程度；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）女生人数：2+5+6+5+2=20（人）；
由统计图，第10和第11人的收看次数都是3次，故中位数为：；
故答案为：20；3.
【分析】把女生各个次数的人数相加，即可得到总人数；根据总人数找到第10和第11人的收看次数，再根据中位数的计算公式，即可确定答案；
（2）计算出女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得男生对“两会”新闻的“关注指数”，再利用低于3次的人数÷对应的百分百，即可得该班的男生人数.
（3）根据方差的性质，数据越小波动情况越小越稳定.
22．【答案】（1）解：设2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，由题意得：
2(1+x)2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍)
故2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为20%.
（2）解：设每碗售价定为m元时，店家才能实现每天净利润600元，由题意得：
解得：m1=18，m2=22，
∵ 物价局规定每碗售价不得超过20元，
∴m=18，
故每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，由题意列方程并求解，即可得到答案；
（2）设每碗售价定为m元时，根据题意得等量关系“单件的利润×销售件数－其他各种费用=净利润”，据此列方程并求解即可.
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵G、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理：，
∴，
又∵，
∴；
（2）是等腰三角形
（3）解：取的中点G，连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）是等腰三角形；
证明：如图，取的中点H，连接、，
∵E、F分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【分析】（1）连接，根据中位线定理得到，，即可得到结论；
（2）取的中点H，连接、，根据三角形的中位线定理得到，即可得到，再根据平行得到，根据等角对等表解答即可；
（3）取的中点G，连接，根据三角形的中位线定理求出，然后利用股定理解答即可.
24．【答案】（1）解：时，四边形ABCP是平行四边形，
∵a//b，即AB//CP，
当t=3时，CP=2×3=6cm，AB=6cm，
∴AB=CP，
∴四边形ABCP是平行四边形，此时平行四边形和面积相等，
∵点Q的运动速度=点P的运动速度，都是2cm/s，
∴t=3时，DQ=2×3=6cm=AB，
∴四边形ABQD也是平行四边形，
记a和b之间的距离为h，则S平行四边形ABQD=S平行四边形ABQD=AB·h=6h.
（2）解：不存在，理由如下：
∵AB=AD=6cm，∠ADC=60°，
∴DQ=AD时，三角形ADQ是等边三角形，
此时AQ=DQ=AB=6cm，
∴t=6÷2=3s，
此时DQ=CP=6×2=12cm，
∵PQ=CD－CP－DQ=20－12=8≠AB，
∴当AB=AQ时四边形ABPQ不是平行四边形，更不是菱形，
∴ 不存在的值，使四边形为菱形.
设点的速度为v时，在某一时刻四边形ABPQ是菱形，
∴AQ=QP=AB=6cm，
∵AB=AD=6cm，∠ADC=60°，
∴AD=AQ，
∴△ADQ是等边三角形，
∴DQ=AD=6cm，
设点P的速度为vcm/s，点D的速度为2cm/s，
∴t s时，，，
∴，2t=6，
∴t=3，
∴当P的速度为cm/s时，四边形在t=3时为菱形.
（3）解：∵四边形ABPQ是菱形，
∴AQ=AB=AD=6，
可得△AOQ是等边三角形，
∴∠DQA=∠ADQ=60°，
∴∠QAB=∠DQA=60°，
∵将菱形绕点逆时针旋转得到菱形AB'P'Q'时，点B'在对角线AP上.
∴∠Q'AB'=∠QAB=60°，∠OAB=∠Q'AQ=30°，
∴∠MAQ=∠Q'AB'+∠PAB=90°，即AM⊥AB，
∵a//b，
∴∠AMQ=90°，
∴
∴.
∵MQ//AB，
∴四边形ABQM是梯形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】 【分析】（1）利用“一组对比平行且相等的四边形是平行四边形”可得CP=2t=6时，四边形ABCP是平行四边形，同理证明四边形ABQD也是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，即可得到两个四边形的面积关系.
（2）证明AQ=AB=6cm时，PQ≠AB，可得此时四边形ABPQ不是菱形，即可得到结论；根据菱形的性质得AQ=QP=AB=6，此时可证明三角形ADQ是等边三角形，于是有QD=6cm，设设点P的速度为vcm/s，点D的速度为2cm/s，分别表示出DQ，PQ，建立方程求解，即可得到t和v的值，答案可得.
（3）利用菱形的性质可等边三角形的判定和性质可证明∠QAB=∠DQA=60°，利用旋转的性质得∠Q'AB'=∠QAB=60°，∠OAB=∠Q'AQ=30°，证明AM⊥AB，可利用含30°角的直角三角形的性质求得MQ和AM的长，再证明四边形ABQM是梯形，即可利用梯形的面积公式计算得答案.
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