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浙江省绍兴市城关中学联盟“六校联考”2025年九年级中考三模数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·绍兴三模）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·绍兴三模）下列几何体中，有一个几何体的主视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·绍兴三模）某种芯片每个探针单元的面积为 ，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·绍兴三模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·绍兴三模）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（　　）去.
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·绍兴三模）不等式组 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·绍兴三模）如图，直线a//b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
8．（2025·绍兴三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则∠ADC的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·绍兴三模）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案，小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）.已知AB=40cm，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·绍兴三模）如图，矩形ABCD的边，，，E为AB上一点，且，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题有6小题,每小题3分，共18分.）
11．（2025·绍兴三模）因式分解： =　 　．
12．（2025·绍兴三模）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　 　.
13．（2025·绍兴三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛。则大桶可盛酒　 　斛.
14．（2025·绍兴三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-2（1+2c）=　 　.
15．（2025·绍兴三模）已知反比例函数的图像过点，，，且，x2=2x1，则n=　 　.
16．（2025·绍兴三模）如图，点C是AB为直径的半圆上一点（O为圆心），以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，点P是DF的中点.若OP=5，AB=8，则多边形ABGFDE
的面积是　 　.
三、解答题（本大题有8小题，第17~21小题每小题8分，第22，23小题每小题10分，第24小题12分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·绍兴三模）计算：
18．（2025·绍兴三模）解方程：
19．（2025·绍兴三模）在Rt中，，点E是BC的中点，，垂足为点D.已知AC=9，.
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值.
20．（2025·绍兴三模）为迎接2025年全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模：C：科幻绘画：D：信息学：E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加入数绘制成如图两幅不完整的统计图，
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 ▲ 名：并把条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（3）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率.
21．（2025·绍兴三模）已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点.
求作：在边AB上作一点E，使得DE//BC.
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点D为圆心，BC为半径画弧，再以点B为圆心，CD长为半径画弧，两弧在BC上方交于点F，作直线DF交AB于点E.
小亦：如图2，先作∠ACB的平分线CM，然后……
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由，
（2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明，
22．（2025·绍兴三模）A，B两地之间有一条长为600千米的公路，甲、乙两车都从A地匀速开往B地，乙车先出发，然后甲车再出发，两车分别到达目的地后停止，已知甲、乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间×（时）之间的函数关系如图所示，
（1）甲的速度为　 　千米/时，乙的速度为　 　千米/时.
（2）求直线RS的函数表达式.
（3）当甲车与乙车相距的路程为80千米时，求此时乙车行驶的时间。
23．（2025·绍兴三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2ax+c（a>0），
（1）当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标.
②将抛物线向下平移m个单位（m>0），若平移后的抛物线过点（0，-8），且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值.
（2）已知点M（2，2n+1），N（-1，3n+2）在抛物线上，且c<2，求n的取值范围.
24．（2025·绍兴三模）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连结AC、BD交于点E
（1）求证：ABE~△DCE
（2）若AB=AC，BC=2CD
①求证.
②当时，求的值
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C.
【分析】根据乘积互为1的两个数互为倒数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义，可知从正面观察：ABC得到的图形形状一样，D与其他三个选项的不一样，
故答案为：D.
【分析】根据简单组合体的三视图，结合主视图的定义，从正面观察各个选项的几何体，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164=1.64×10-6，
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、 ，此选项错误；
B、 ，此选项错误；
C、 ，此选项错误；
D、 ，此选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均分看，乙丙的平均分一样，甲丁的平均分一样，且乙丙的平均分比甲丁的高，
从方差看，甲丙的方差一样，乙丁的方差一样，且甲丙的方差比乙丁的大，
∴应选择乙去参加数学竞赛，
故答案为：B.
【分析】根据平均数以及方差的意义，结合表格数据即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解不等式①得：
x≤2
解不等式②得：
x＞－2
∴不等式组的解集为：－2＜x≤2
不等式组的解集在数轴上表示为：
故答案为：C
【分析】分别解出两个不等式的解集并确定不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”将解集表示在数轴上即可.
7．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠2=∠B，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°，
∵∠1=50°，
∴∠2=90°-50°=40°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得∠2=∠B，由垂直的定义求出∠BAC=90°，从而可求出∠2=90°-∠1的度数.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求余弦值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=3，
∴
∵∠ADC=∠ABC，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的值，然后根据圆周角定理得∠ADC=∠ABC，最后根据余弦的定义即可求解.
9．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设EG=FG=x，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：C.
【分析】设EG=FG=x，利用勾股定理求出EF的值，根据题意可列出关于x的方程，解方程得EG=FG的值，从而得HG的值，进而即可求出阴影部分面积.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EHG=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵是等腰直角三角形，
∴∠FEG=90°，EF=EG，
∴∠AEF+∠GEH=90°，
∴∠AFE=∠GEH，
在和中，
，
∴，
∵AE=1，
∴HG=AE=1，AF=EH，
∴G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，
∴当点F与点D重合时，CG取得最小值，
∵BC=3，四边形ABCD是矩形，
∴AF=EH=AD=BC=3，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，结合矩形以及等腰直角三角形的性质，利用“一线三垂直”全等模型推出，得HG=AE=1，AF=EH，从而得G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，进而得当点F与点D重合时，CG取得最小值，然后根据矩形的性质得AF=EH=AD=BC=3，最后利用勾股定理求出的值即可.
11．【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．【答案】140°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠DCE=90°，∠DCB=65°，
∴∠MCE=90°-65°=25°，
∵∠E=45°，
∴∠DMB=∠CME=180°-25°-45°=110°，
∵∠B=30°，α=∠DMB+∠B，
∴α=110°+30°=140°，
故答案为：140°.
【分析】先求出∠MCE=25°，从而根据对顶角相等的性质以及结合三角形内角和定理得∠DMB=∠CME=110°，进而利用三角形外角的性质求出α的值.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设1个大桶可盛酒x斛，1个小桶可盛酒y斛，
根据题意，得，
解得：，
∴大桶可盛酒斛，
故答案为：.
【分析】设1个大桶可盛酒x斛，1个小桶可盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解.
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得，代入进行求解即可.
15．【答案】5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像过点，，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5.
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式得的值，结合条件求出，从而求出，进而求出的值.
16．【答案】82
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；梯形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BF，
设BC=a，AC=b，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE、BCFG是正方形，
∴∠ACD=∠BCF=90°，∠ADC=∠CBF=45°，CD=AC=b，CF=BC=a，
∴∠ACB+∠BCF=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴点B，C，D三点共线，点A，C，F三点共线，
∴∠DCF=∠ACB=90°，
∵∠ADC=∠CBF=45°，
∴AD∥BF，
∵点P是DF的中点，OA=OB，
∴PO是梯形ABFD的中位线，
∴AD+BF=2OP，
又∵四边形ACDE、BCFG是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴a+b=10，
∴，
∵AB=8，，
∴，
∴2ab=100-64=36，
∴ab=18，
∴多边形ABGFDE的面积为：，
故答案为：82.
【分析】连接AD，BF，设BC=a，AC=b，根据直径所对的圆周角是直角以及正方形的性质推出点B，C，D三点共线，点A，C，F三点共线，∠ADC=∠CBF=45°，由平行线的判定得AD∥BF，然后根据梯形的中位线定理得AD+BF=2OP，根据等腰直角三角形的性质得，于是可求出a+b=10，接下来利用完全平方公式以及勾股定理求出，ab=18，最后利用三角形面积公式求的值即可.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，然后进行加减乘运算即可.
18．【答案】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】利用去分母法解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验解即可.
19．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【分析】（1）在中，解直角三角形得的值，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得的值；
（2）先求出，然后在中，解直角三角形得的值，从而得的值，进而得的值，最后根据正切的定义进行求解.
20．【答案】（1）解：根据题意，得本次参加比赛的学生人数为：18÷22.5%=80（名），
∴参加D项比赛人数为：80-16-18-20-8=18（名），
∴条形统计图补充完整如下图：
故答案为：80；
（2）解：扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数为 ；
（3）解：画树状图如下：
∴共有9个等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）用参加B项比赛的人数除以其所占百分比得到本次参加比赛的学生人数，从而求出参加D项比赛人数，进而补充条形统计图即可；
（2）用360°乘以参加机器人比赛的人数所占比即可求解；
（3）先画树状图得到所有的等可能结果数，从而得所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，进而利用概率公式进行求解.
21．【答案】（1）解：小成作法正确，理由如下：
由作图可知：DF=BC，BF=CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴DE//BC；
（2）解：如图，直线DE即为所求，证明如下：
由作图可知：CM平分∠ACB，DC=DN，
∴∠ACM=∠BCM， ∠ACM=∠DNC，
∴∠DNC=∠BCM，
∴DE//BC.
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据作图步骤得DF=BC，BF=CD，从而推出四边形BCDF是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得DE//BC；
（2）在小亦作图的基础上，再作DN=DC，然后根据角平分线的定义以及等腰三角形“等边对等角”的性质，进行等量代换得∠DNC=∠BCM，最后根据平行线的判定得DE//BC.
22．【答案】（1）80；；60；
（2）解：根据题意，可知点R表示甲车到达B地，乙车行驶时间为8.5小时，
∴当x=8.5时，乙车的行驶路程为60×8.5=510（千米），
∴m=600-510=90（千米），
∴R（8.5，90），
∵点S表示乙车到达B地，
∴n=600÷60=10（小时），
∴S（10，0），
设直线RS的函数表达式为y=kx+b，
将R（8.5，90），S（10，0）代入表达式，得，
解得：，
∴直线RS的函数表达式为y=-60x+600；
（3）解：设直线QR的函数表达式为y=ax+c，
将Q（4，0），R（8.5，90）代入表达式，得，
解得：，
∴直线QR的函数表达式为y=20x-80，
由（2）得直线RS的函数表达式为y=-60x+600，
∵甲车与乙车相距的路程为80千米，
∴当y=80时，有20x-80=80或-60x+600=80，
解得：x=8或，
∴当甲车与乙车相距的路程为80千米时，此时乙车行驶的时间为8小时或小时.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得甲车的速度为（千米/小时），
∴乙车的速度为（千米/小时），
故答案为：80，60.
【分析】（1）结合函数图象可知，乙车出发1小时后甲车出发，乙车出发8.5小时甲车从A地到达B地，从而可求出甲车的速度，然后由函数图象可知乙车出发4小时甲乙两车相遇，进而可求出乙车的速度；
（2）根据函数图象可知点R表示甲车到达B地，乙车行驶时间为8.5小时，从而求出此时乙车的行驶路程，进而得m的值，于是得点R坐标，由点S表示乙车到达B地直接求出n的值，即可得点S坐标，然后利用待定系数法求出直线RS的函数表达式；
（3）结合题意可知当甲车与乙车相距的路程为80千米时，分两种情况：甲乙两车相遇后或甲车到达B地后，然后利用待定系数法求出直线QR的函数表达式，由（2）得直线RS的函数表达式，再求出y=80时x的值，即可求解.
23．【答案】（1）解：①当时，有，
∴抛物线的顶点坐标为；
②∵ 将抛物线向下平移个单位，
∴平移后的抛物线为，
∵平移后的抛物线过点，
∴，
∴，
∴，
设平移后的抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
∴，
两个交点坐标之间的距离为，
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
将，代入，得，
解得：，
∵，，
∴，
解得：，
∴的取值范围是.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①将代入抛物线中化成顶点式，即可求出抛物线顶点坐标；
②先求出平移后的抛物线解析式，将点代入解析式求出，从而得平移后的抛物线解析式，然后设平移后的抛物线与轴的两个交点坐标分别为，利用一元二次方程根与系数的关系以及坐标系中两点距离公式求出，的值进而得关于的方程，解方程即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴，从而得点关于对称轴对称的点的坐标为，然后将，代入抛物线解析式得关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，接下来由，得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围.
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得：，
∴.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，，于是由相似三角形的判定得证结论；
（2）①先求出，设，则，由圆周角定理得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，从而得，即可得证结论；
②连接并延长交于，设，则，根据垂径定理得，，利用勾股定理得，然后证出，根据相似三角形的性质得，从而求出的值，进而得的值，由（1）得，利用相似三角形的性质可求出的值，最后求比即可.
1 / 1浙江省绍兴市城关中学联盟“六校联考”2025年九年级中考三模数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·绍兴三模）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C.
【分析】根据乘积互为1的两个数互为倒数解答即可．
2．（2025·绍兴三模）下列几何体中，有一个几何体的主视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义，可知从正面观察：ABC得到的图形形状一样，D与其他三个选项的不一样，
故答案为：D.
【分析】根据简单组合体的三视图，结合主视图的定义，从正面观察各个选项的几何体，即可得到答案.
3．（2025·绍兴三模）某种芯片每个探针单元的面积为 ，0.00000164用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164=1.64×10-6，
故答案为：B.
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
4．（2025·绍兴三模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、 ，此选项错误；
B、 ，此选项错误；
C、 ，此选项错误；
D、 ，此选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得.
5．（2025·绍兴三模）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（　　）去.
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均分看，乙丙的平均分一样，甲丁的平均分一样，且乙丙的平均分比甲丁的高，
从方差看，甲丙的方差一样，乙丁的方差一样，且甲丙的方差比乙丁的大，
∴应选择乙去参加数学竞赛，
故答案为：B.
【分析】根据平均数以及方差的意义，结合表格数据即可得到答案.
6．（2025·绍兴三模）不等式组 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解不等式①得：
x≤2
解不等式②得：
x＞－2
∴不等式组的解集为：－2＜x≤2
不等式组的解集在数轴上表示为：
故答案为：C
【分析】分别解出两个不等式的解集并确定不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”将解集表示在数轴上即可.
7．（2025·绍兴三模）如图，直线a//b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠2=∠B，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°，
∵∠1=50°，
∴∠2=90°-50°=40°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得∠2=∠B，由垂直的定义求出∠BAC=90°，从而可求出∠2=90°-∠1的度数.
8．（2025·绍兴三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则∠ADC的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求余弦值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=3，
∴
∵∠ADC=∠ABC，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的值，然后根据圆周角定理得∠ADC=∠ABC，最后根据余弦的定义即可求解.
9．（2025·绍兴三模）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案，小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）.已知AB=40cm，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设EG=FG=x，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：C.
【分析】设EG=FG=x，利用勾股定理求出EF的值，根据题意可列出关于x的方程，解方程得EG=FG的值，从而得HG的值，进而即可求出阴影部分面积.
10．（2025·绍兴三模）如图，矩形ABCD的边，，，E为AB上一点，且，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EHG=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵是等腰直角三角形，
∴∠FEG=90°，EF=EG，
∴∠AEF+∠GEH=90°，
∴∠AFE=∠GEH，
在和中，
，
∴，
∵AE=1，
∴HG=AE=1，AF=EH，
∴G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，
∴当点F与点D重合时，CG取得最小值，
∵BC=3，四边形ABCD是矩形，
∴AF=EH=AD=BC=3，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，结合矩形以及等腰直角三角形的性质，利用“一线三垂直”全等模型推出，得HG=AE=1，AF=EH，从而得G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上，进而得当点F与点D重合时，CG取得最小值，然后根据矩形的性质得AF=EH=AD=BC=3，最后利用勾股定理求出的值即可.
二、填空题（本大题有6小题,每小题3分，共18分.）
11．（2025·绍兴三模）因式分解： =　 　．
【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．（2025·绍兴三模）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　 　.
【答案】140°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠DCE=90°，∠DCB=65°，
∴∠MCE=90°-65°=25°，
∵∠E=45°，
∴∠DMB=∠CME=180°-25°-45°=110°，
∵∠B=30°，α=∠DMB+∠B，
∴α=110°+30°=140°，
故答案为：140°.
【分析】先求出∠MCE=25°，从而根据对顶角相等的性质以及结合三角形内角和定理得∠DMB=∠CME=110°，进而利用三角形外角的性质求出α的值.
13．（2025·绍兴三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛。则大桶可盛酒　 　斛.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设1个大桶可盛酒x斛，1个小桶可盛酒y斛，
根据题意，得，
解得：，
∴大桶可盛酒斛，
故答案为：.
【分析】设1个大桶可盛酒x斛，1个小桶可盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解.
14．（2025·绍兴三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-2（1+2c）=　 　.
【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得，代入进行求解即可.
15．（2025·绍兴三模）已知反比例函数的图像过点，，，且，x2=2x1，则n=　 　.
【答案】5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像过点，，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5.
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式得的值，结合条件求出，从而求出，进而求出的值.
16．（2025·绍兴三模）如图，点C是AB为直径的半圆上一点（O为圆心），以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，点P是DF的中点.若OP=5，AB=8，则多边形ABGFDE
的面积是　 　.
【答案】82
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；梯形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BF，
设BC=a，AC=b，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE、BCFG是正方形，
∴∠ACD=∠BCF=90°，∠ADC=∠CBF=45°，CD=AC=b，CF=BC=a，
∴∠ACB+∠BCF=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴点B，C，D三点共线，点A，C，F三点共线，
∴∠DCF=∠ACB=90°，
∵∠ADC=∠CBF=45°，
∴AD∥BF，
∵点P是DF的中点，OA=OB，
∴PO是梯形ABFD的中位线，
∴AD+BF=2OP，
又∵四边形ACDE、BCFG是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴a+b=10，
∴，
∵AB=8，，
∴，
∴2ab=100-64=36，
∴ab=18，
∴多边形ABGFDE的面积为：，
故答案为：82.
【分析】连接AD，BF，设BC=a，AC=b，根据直径所对的圆周角是直角以及正方形的性质推出点B，C，D三点共线，点A，C，F三点共线，∠ADC=∠CBF=45°，由平行线的判定得AD∥BF，然后根据梯形的中位线定理得AD+BF=2OP，根据等腰直角三角形的性质得，于是可求出a+b=10，接下来利用完全平方公式以及勾股定理求出，ab=18，最后利用三角形面积公式求的值即可.
三、解答题（本大题有8小题，第17~21小题每小题8分，第22，23小题每小题10分，第24小题12分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·绍兴三模）计算：
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，然后进行加减乘运算即可.
18．（2025·绍兴三模）解方程：
【答案】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】利用去分母法解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验解即可.
19．（2025·绍兴三模）在Rt中，，点E是BC的中点，，垂足为点D.已知AC=9，.
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值.
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【分析】（1）在中，解直角三角形得的值，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得的值；
（2）先求出，然后在中，解直角三角形得的值，从而得的值，进而得的值，最后根据正切的定义进行求解.
20．（2025·绍兴三模）为迎接2025年全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模：C：科幻绘画：D：信息学：E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加入数绘制成如图两幅不完整的统计图，
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 ▲ 名：并把条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（3）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率.
【答案】（1）解：根据题意，得本次参加比赛的学生人数为：18÷22.5%=80（名），
∴参加D项比赛人数为：80-16-18-20-8=18（名），
∴条形统计图补充完整如下图：
故答案为：80；
（2）解：扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数为 ；
（3）解：画树状图如下：
∴共有9个等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）用参加B项比赛的人数除以其所占百分比得到本次参加比赛的学生人数，从而求出参加D项比赛人数，进而补充条形统计图即可；
（2）用360°乘以参加机器人比赛的人数所占比即可求解；
（3）先画树状图得到所有的等可能结果数，从而得所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，进而利用概率公式进行求解.
21．（2025·绍兴三模）已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点.
求作：在边AB上作一点E，使得DE//BC.
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点D为圆心，BC为半径画弧，再以点B为圆心，CD长为半径画弧，两弧在BC上方交于点F，作直线DF交AB于点E.
小亦：如图2，先作∠ACB的平分线CM，然后……
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由，
（2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明，
【答案】（1）解：小成作法正确，理由如下：
由作图可知：DF=BC，BF=CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴DE//BC；
（2）解：如图，直线DE即为所求，证明如下：
由作图可知：CM平分∠ACB，DC=DN，
∴∠ACM=∠BCM， ∠ACM=∠DNC，
∴∠DNC=∠BCM，
∴DE//BC.
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据作图步骤得DF=BC，BF=CD，从而推出四边形BCDF是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得DE//BC；
（2）在小亦作图的基础上，再作DN=DC，然后根据角平分线的定义以及等腰三角形“等边对等角”的性质，进行等量代换得∠DNC=∠BCM，最后根据平行线的判定得DE//BC.
22．（2025·绍兴三模）A，B两地之间有一条长为600千米的公路，甲、乙两车都从A地匀速开往B地，乙车先出发，然后甲车再出发，两车分别到达目的地后停止，已知甲、乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间×（时）之间的函数关系如图所示，
（1）甲的速度为　 　千米/时，乙的速度为　 　千米/时.
（2）求直线RS的函数表达式.
（3）当甲车与乙车相距的路程为80千米时，求此时乙车行驶的时间。
【答案】（1）80；；60；
（2）解：根据题意，可知点R表示甲车到达B地，乙车行驶时间为8.5小时，
∴当x=8.5时，乙车的行驶路程为60×8.5=510（千米），
∴m=600-510=90（千米），
∴R（8.5，90），
∵点S表示乙车到达B地，
∴n=600÷60=10（小时），
∴S（10，0），
设直线RS的函数表达式为y=kx+b，
将R（8.5，90），S（10，0）代入表达式，得，
解得：，
∴直线RS的函数表达式为y=-60x+600；
（3）解：设直线QR的函数表达式为y=ax+c，
将Q（4，0），R（8.5，90）代入表达式，得，
解得：，
∴直线QR的函数表达式为y=20x-80，
由（2）得直线RS的函数表达式为y=-60x+600，
∵甲车与乙车相距的路程为80千米，
∴当y=80时，有20x-80=80或-60x+600=80，
解得：x=8或，
∴当甲车与乙车相距的路程为80千米时，此时乙车行驶的时间为8小时或小时.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得甲车的速度为（千米/小时），
∴乙车的速度为（千米/小时），
故答案为：80，60.
【分析】（1）结合函数图象可知，乙车出发1小时后甲车出发，乙车出发8.5小时甲车从A地到达B地，从而可求出甲车的速度，然后由函数图象可知乙车出发4小时甲乙两车相遇，进而可求出乙车的速度；
（2）根据函数图象可知点R表示甲车到达B地，乙车行驶时间为8.5小时，从而求出此时乙车的行驶路程，进而得m的值，于是得点R坐标，由点S表示乙车到达B地直接求出n的值，即可得点S坐标，然后利用待定系数法求出直线RS的函数表达式；
（3）结合题意可知当甲车与乙车相距的路程为80千米时，分两种情况：甲乙两车相遇后或甲车到达B地后，然后利用待定系数法求出直线QR的函数表达式，由（2）得直线RS的函数表达式，再求出y=80时x的值，即可求解.
23．（2025·绍兴三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2ax+c（a>0），
（1）当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标.
②将抛物线向下平移m个单位（m>0），若平移后的抛物线过点（0，-8），且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值.
（2）已知点M（2，2n+1），N（-1，3n+2）在抛物线上，且c<2，求n的取值范围.
【答案】（1）解：①当时，有，
∴抛物线的顶点坐标为；
②∵ 将抛物线向下平移个单位，
∴平移后的抛物线为，
∵平移后的抛物线过点，
∴，
∴，
∴，
设平移后的抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
∴，
两个交点坐标之间的距离为，
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
将，代入，得，
解得：，
∵，，
∴，
解得：，
∴的取值范围是.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①将代入抛物线中化成顶点式，即可求出抛物线顶点坐标；
②先求出平移后的抛物线解析式，将点代入解析式求出，从而得平移后的抛物线解析式，然后设平移后的抛物线与轴的两个交点坐标分别为，利用一元二次方程根与系数的关系以及坐标系中两点距离公式求出，的值进而得关于的方程，解方程即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴，从而得点关于对称轴对称的点的坐标为，然后将，代入抛物线解析式得关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，接下来由，得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围.
24．（2025·绍兴三模）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连结AC、BD交于点E
（1）求证：ABE~△DCE
（2）若AB=AC，BC=2CD
①求证.
②当时，求的值
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得：，
∴.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，，于是由相似三角形的判定得证结论；
（2）①先求出，设，则，由圆周角定理得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，从而得，即可得证结论；
②连接并延长交于，设，则，根据垂径定理得，，利用勾股定理得，然后证出，根据相似三角形的性质得，从而求出的值，进而得的值，由（1）得，利用相似三角形的性质可求出的值，最后求比即可.
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