资源简介

广东省河源市龙川第一实验学校2025年中考数学模拟试题
1．（2025·龙川模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·龙川模拟）在文档中插入的下列艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·龙川模拟）深度求索（）人工智能大语言模型横空出世，截止2025年2月12日，下载量突破万次，成为全球发展最快的AI软件之一．数据万用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙川模拟）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（　　）
A．与是对顶角 B．与是对顶角
C． D．
5．（2025·龙川模拟）在下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·龙川模拟）若在中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（　　）
A． B．
C． D．对角线互相垂直
7．（2025·龙川模拟）一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·龙川模拟）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·龙川模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　）
A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞
10．（2025·龙川模拟）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（　　）
A．5 B．1 C．3 D．2
11．（2025·龙川模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（2025·龙川模拟）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为　 　．
13．（2025·龙川模拟）计算的结果等于　 　．
14．（2025·龙川模拟）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是　 　．
15．（2025·龙川模拟）如图，在四边形中，，为上一点，连接、，使，若为的中点，连接，则的长为　 　．
16．（2025·龙川模拟）计算：．
17．（2025·龙川模拟）如图，点E是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
18．（2025·龙川模拟）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（）
19．（2025·龙川模拟）某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
20．（2025·龙川模拟）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为．
（1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润．
21．（2025·龙川模拟）如图①，为的直径，是上异于、的任意一点，连接、，过点作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
（2）若在点的运动过程中，始终有，连接，如图②，当与相切时，求的长．
22．（2025·龙川模拟）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
（1）问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值．
23．（2025·龙川模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
（1）分别求抛物线和的表达式；
（2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；
（3）如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】
根据有理数的乘法运算，先确定积的符号，再将两数的绝对值相乘，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；解答即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万．
故答案为：C．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，其中n比原数位数少1；解答即可．
4．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B不符合题意；
∵，，
∴，即C符合题意；
∵，
∴，即D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项，逐一判断即可解答．
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（-x3y）2=x6y2，正确；
B、x3·x3=x6，错误；
C、x2+x2=2x2，错误；
D、2x6÷x2=2x4，错误。
故答案为：A.
【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（2）同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
（3）合并同类项时，只需要将系数相加减字母和字母的指数不变.
（4）同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、添加后，为菱形，故A不符合题意；
B、由可得，又，可得到，所以为矩形；故B符合题意；
C、添加后无法证明矩形，故C不符合题意；
D、添加对角线互相垂直后，为菱形，故D不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】
根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角，解答即可．
7．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：设印刷不清的分母为，
由题意得，，
解得：，
A、当时，，故A符合题意；
B、当时，，故B不符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可解答．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-=-1，
∵点A（n，y1），B（1-n，y2），C（-1，y3）在二次函数y=ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3，
∴a＞0，1-n≠-1，
∴二次函数图象在x＜-1上y随x增大而减小，在x≥-1上y随x增大而增大．
∵点A（n，y1），B（1-n，y2）都在二次函数y=ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2，
∴|-1-n|＞|-1-1+n|，
解得：n＞且n≠2．
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=-1，由二次函数的增减性可推出二次项系数大于0，即可找出增减性的x的范围，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可解答．
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，解得： ；
故答案为 ．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】89
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得89出现的次数最多，
∴众数为89，
故答案为：89
【分析】根据众数的定义结合题意得到89出现的次数最多，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】分式的加减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】
根据利用同分母的分式相加减的运算法则：先通分得再用同分母分式加减运算法则最后化简即可解答．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程，即没有实数根，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根得判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根；根据题干方程没有实数根，列出一元一次不等式，计算即可解答．
15．【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，取的中点，连接，
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴
∴
∴
∴
∵为的中点，为的中点
∴，
∴
∴在中，，
故答案为：．
【分析】
过点作于点，取的中点，连接，利用邻边相等的矩形是平行四边形可证明四边形是正方形，进而利用HL证明，得出，可利用线段的和差计算得，根据中位线的性质可得，然后用勾股定理计算，即可解答．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据有理数的乘方 ，，计算零指数幂， 再算特殊角的三角函数值，最后进行加减计算即可解答．
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，再根据边之间的关系可得，由平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
18．【答案】解： 由图1可知，，
由图2可知， ，
解得：，
答：遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；正切的概念
【解析】【分析】根据题目的已知条件并结合图形列出等式， ，解答即可求解.
19．【答案】（1）20，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D.
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，再列式计算求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）利用中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比，列式计算即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
20．【答案】（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）解：设销售利润为，根据题意得出∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）代入到函数关系式中求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解；
（2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可解答．
（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）设销售利润为，根据题意得出
∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
21．【答案】解：（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，连接．
∵在中，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴，
在中，，
∴在中，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合，得到．利用平行线得性质可得，结合， 得到，从而通过平行线的判定得到，即可证明四边形是平行四边形，解答即可；（2）连接．根据特殊的三角函数，得到，，由切线性质得到，．利用同角的余角相等得到，即可知．利用得30直角的性质到，再解直角三角形和运用勾股定理即可求解．
22．【答案】（1）
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1），，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（3）如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或；
故答案为：或.
【分析】
（1）根据有两边相等且夹角为60的三角形是等边三角形得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答；
（2）由 ， 可判定得为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， 当时，可得，当重合时，最小即最小；解直角三角形即可解答；
（3）分类讨论： 当在上方时，连接，延长交于点，则， 根据30直角三角形的性质可设，则；再结合条件证明 四边形为矩形， 利用矩形的性质在直角三角形中利用勾股定理得到EM，再计算AD，即可求得m的值； 当点落在下方时，过点作交于点， 同理可求解得到m的值；解答即可.
（1）解：，，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
23．【答案】（1）解：设对称轴与x轴交于点G，
由题意得，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将A、B、C分别代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，顶点为
∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线，
∴抛物线的，顶点为，
∴的表达式为：，即
（2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，
∴，
∵，
∴直线为直线，
∵轴，
∴，
对于抛物线，令，则，
∴，
∵点D与点关于直线对称，
∴点，
∵轴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
当点三点共线时，取得最小值，
而，
∴的最小值为；
（3）存在，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）当点P在直线右侧抛物线上时，如图：
∵抛物线，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H关于直线的对称点，则点在直线上，
∵点的坐标为，直线：，
∴，
设直线的表达式为：，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
联立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由点
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
设直线表达式为：，
代入点N，E，
得：，
解得：
∴直线表达式为：，
联立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
综上所述，或．
【分析】
（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解；
（2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，利用勾股定理计算即可求解；
（3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故，逐一计算即可解答．
（1）解：设对称轴与x轴交于点G，
由题意得，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将A、B、C分别代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，顶点为
∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线，
∴抛物线的，顶点为，
∴的表达式为：，即
（2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，
∴，
∵，
∴直线为直线，
∵轴，
∴，
对于抛物线，令，则，
∴，
∵点D与点关于直线对称，
∴点，
∵轴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
当点三点共线时，取得最小值，
而，
∴的最小值为；
（3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图：
∵抛物线，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H关于直线的对称点，则点在直线上，
∵点的坐标为，直线：，
∴，
设直线的表达式为：，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
联立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由点
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
设直线表达式为：，
代入点N，E，
得：，
解得：
∴直线表达式为：，
联立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
综上所述，或．
1 / 1广东省河源市龙川第一实验学校2025年中考数学模拟试题
1．（2025·龙川模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】
根据有理数的乘法运算，先确定积的符号，再将两数的绝对值相乘，即可求解．
2．（2025·龙川模拟）在文档中插入的下列艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；解答即可．
3．（2025·龙川模拟）深度求索（）人工智能大语言模型横空出世，截止2025年2月12日，下载量突破万次，成为全球发展最快的AI软件之一．数据万用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万．
故答案为：C．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，其中n比原数位数少1；解答即可．
4．（2025·龙川模拟）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（　　）
A．与是对顶角 B．与是对顶角
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B不符合题意；
∵，，
∴，即C符合题意；
∵，
∴，即D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项，逐一判断即可解答．
5．（2025·龙川模拟）在下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（-x3y）2=x6y2，正确；
B、x3·x3=x6，错误；
C、x2+x2=2x2，错误；
D、2x6÷x2=2x4，错误。
故答案为：A.
【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（2）同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
（3）合并同类项时，只需要将系数相加减字母和字母的指数不变.
（4）同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
6．（2025·龙川模拟）若在中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（　　）
A． B．
C． D．对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、添加后，为菱形，故A不符合题意；
B、由可得，又，可得到，所以为矩形；故B符合题意；
C、添加后无法证明矩形，故C不符合题意；
D、添加对角线互相垂直后，为菱形，故D不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】
根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角，解答即可．
7．（2025·龙川模拟）一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
8．（2025·龙川模拟）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：设印刷不清的分母为，
由题意得，，
解得：，
A、当时，，故A符合题意；
B、当时，，故B不符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可解答．
9．（2025·龙川模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　）
A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-=-1，
∵点A（n，y1），B（1-n，y2），C（-1，y3）在二次函数y=ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3，
∴a＞0，1-n≠-1，
∴二次函数图象在x＜-1上y随x增大而减小，在x≥-1上y随x增大而增大．
∵点A（n，y1），B（1-n，y2）都在二次函数y=ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2，
∴|-1-n|＞|-1-1+n|，
解得：n＞且n≠2．
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=-1，由二次函数的增减性可推出二次项系数大于0，即可找出增减性的x的范围，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可解答．
10．（2025·龙川模拟）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（　　）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
11．（2025·龙川模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，解得： ；
故答案为 ．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2025·龙川模拟）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为　 　．
【答案】89
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得89出现的次数最多，
∴众数为89，
故答案为：89
【分析】根据众数的定义结合题意得到89出现的次数最多，进而即可求解。
13．（2025·龙川模拟）计算的结果等于　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】
根据利用同分母的分式相加减的运算法则：先通分得再用同分母分式加减运算法则最后化简即可解答．
14．（2025·龙川模拟）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程，即没有实数根，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根得判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根；根据题干方程没有实数根，列出一元一次不等式，计算即可解答．
15．（2025·龙川模拟）如图，在四边形中，，为上一点，连接、，使，若为的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，取的中点，连接，
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴
∴
∴
∴
∵为的中点，为的中点
∴，
∴
∴在中，，
故答案为：．
【分析】
过点作于点，取的中点，连接，利用邻边相等的矩形是平行四边形可证明四边形是正方形，进而利用HL证明，得出，可利用线段的和差计算得，根据中位线的性质可得，然后用勾股定理计算，即可解答．
16．（2025·龙川模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据有理数的乘方 ，，计算零指数幂， 再算特殊角的三角函数值，最后进行加减计算即可解答．
17．（2025·龙川模拟）如图，点E是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，再根据边之间的关系可得，由平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
18．（2025·龙川模拟）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（）
【答案】解： 由图1可知，，
由图2可知， ，
解得：，
答：遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；正切的概念
【解析】【分析】根据题目的已知条件并结合图形列出等式， ，解答即可求解.
19．（2025·龙川模拟）某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1）20，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D.
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，再列式计算求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）利用中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比，列式计算即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
20．（2025·龙川模拟）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为．
（1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润．
【答案】（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）解：设销售利润为，根据题意得出∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）代入到函数关系式中求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解；
（2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可解答．
（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）设销售利润为，根据题意得出
∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
21．（2025·龙川模拟）如图①，为的直径，是上异于、的任意一点，连接、，过点作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
（2）若在点的运动过程中，始终有，连接，如图②，当与相切时，求的长．
【答案】解：（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，连接．
∵在中，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴，
在中，，
∴在中，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合，得到．利用平行线得性质可得，结合， 得到，从而通过平行线的判定得到，即可证明四边形是平行四边形，解答即可；（2）连接．根据特殊的三角函数，得到，，由切线性质得到，．利用同角的余角相等得到，即可知．利用得30直角的性质到，再解直角三角形和运用勾股定理即可求解．
22．（2025·龙川模拟）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
（1）问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1），，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（3）如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或；
故答案为：或.
【分析】
（1）根据有两边相等且夹角为60的三角形是等边三角形得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答；
（2）由 ， 可判定得为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， 当时，可得，当重合时，最小即最小；解直角三角形即可解答；
（3）分类讨论： 当在上方时，连接，延长交于点，则， 根据30直角三角形的性质可设，则；再结合条件证明 四边形为矩形， 利用矩形的性质在直角三角形中利用勾股定理得到EM，再计算AD，即可求得m的值； 当点落在下方时，过点作交于点， 同理可求解得到m的值；解答即可.
（1）解：，，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
23．（2025·龙川模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
（1）分别求抛物线和的表达式；
（2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；
（3）如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设对称轴与x轴交于点G，
由题意得，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将A、B、C分别代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，顶点为
∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线，
∴抛物线的，顶点为，
∴的表达式为：，即
（2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，
∴，
∵，
∴直线为直线，
∵轴，
∴，
对于抛物线，令，则，
∴，
∵点D与点关于直线对称，
∴点，
∵轴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
当点三点共线时，取得最小值，
而，
∴的最小值为；
（3）存在，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）当点P在直线右侧抛物线上时，如图：
∵抛物线，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H关于直线的对称点，则点在直线上，
∵点的坐标为，直线：，
∴，
设直线的表达式为：，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
联立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由点
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
设直线表达式为：，
代入点N，E，
得：，
解得：
∴直线表达式为：，
联立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
综上所述，或．
【分析】
（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解；
（2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，利用勾股定理计算即可求解；
（3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故，逐一计算即可解答．
（1）解：设对称轴与x轴交于点G，
由题意得，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将A、B、C分别代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，顶点为
∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线，
∴抛物线的，顶点为，
∴的表达式为：，即
（2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，
∴，
∵，
∴直线为直线，
∵轴，
∴，
对于抛物线，令，则，
∴，
∵点D与点关于直线对称，
∴点，
∵轴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
当点三点共线时，取得最小值，
而，
∴的最小值为；
（3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图：
∵抛物线，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H关于直线的对称点，则点在直线上，
∵点的坐标为，直线：，
∴，
设直线的表达式为：，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
联立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由点
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
设直线表达式为：，
代入点N，E，
得：，
解得：
∴直线表达式为：，
联立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
综上所述，或．
1 / 1

展开更多......

收起↑