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广西壮族自治区玉林市2025年中考三模数学试题
1．（2025·玉林模拟）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．（2025·玉林模拟）随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·玉林模拟）截至2025年5月5日，国产动画电影《哪吒2》在全球范围内热映，票房表现强劲．据官方统计，其全球总票房突破元．这一成绩使其成为中国影史票房排名前列的电影之一、将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·玉林模拟）如图，直线，直线分别与，相交，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·玉林模拟）在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料瓶的个数分别为5，6，7，8，7，这组数据的众数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2025·玉林模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·玉林模拟）如图，数轴上表示不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·玉林模拟）如图，将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·玉林模拟）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·玉林模拟）某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·玉林模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（　　）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
12．（2025·玉林模拟）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在反比例函数（为常数，）的图象上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在该函数图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·玉林模拟）比较大小：　 　（填“”“”或“”）．
14．（2025·玉林模拟）一个不透明的袋子里装有1个红球、1个白球和1个绿球，这些球除颜色外完全相同．小明随机从袋中摸出1个球，恰好摸到白球的概率是　 　．
15．（2025·玉林模拟）已知一次函数的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为　 　．
16．（2025·玉林模拟）如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为　 　．
17．（2025·玉林模拟）（1）已知，计算的值；
（2）在（1）的条件下，先化简，后求值：．
18．（2025·玉林模拟）如图，在中，，已知点是线段的中点．
（1）尺规作图：过点作的平行线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
19．（2025·玉林模拟）为落实“阳光体育”活动要求，某校随机抽取20名学生，调查他们每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟），锻炼时间在范围内的数据：35，40，50，45，50，30，45，55，40，50．结合以下统计表（图）信息回答下列问题：
不完整的统计表
锻炼时间（分钟） 等级 人数
A 2
B b
C 10
D
（1）统计表中___________，___________；
（2）统计图中等级对应扇形圆心角为___________度；
（3）若全校共有1200名学生，估计锻炼时间达到等级及以上的学生人数有多少人？
20．（2025·玉林模拟）综合与实践
为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
参数类型 燃油汽车 新能源汽车
能源类型 燃油 电能
能源容量 油箱容积：升 电池电量：千瓦时
能源价格 油价：元/升 电价：元/千瓦时
续航里程 千米 千米
据调查，燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，燃油汽车和新能源汽车每年的其它费用分别为元和元．
请按要求完成下列任务：
（1）用含的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用；
（2）分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
（3）每年行驶里程满足什么条件时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
21．（2025·玉林模拟）如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）当平分时，若，求的长．
22．（2025·玉林模拟）【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成．
【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，．
【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为．
【任务】
（1）求的值；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度．
23．（2025·玉林模拟）【思考探究】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，连接，于点．求证：四边形是正方形．
【实践探究】
（2）小慧受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2在正方形中，是边上一点，连接于点交的延长线于点于点，并交延长线于点．猜想线段的数量关系，并说明理由．
【拓展迁移】
（3）小贤深入研究小慧提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，连接交延长线于点，点在上，且，连接，，若，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项A的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
B、选项B的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意；
C、选项C的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
D、选项D的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．根据科学记数法的定义计算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵直线，直线分别与，相交，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等，结合图形求解即可.
5．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中出现次数最多的是数据7，
所以这组数据的众数为7．
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据众数的定义求解即可.
6．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2a和4不是同类项，不能合并，所以答案A错误；
B、a2×a3=a2+3=a5，所以B正确；
C、(2a)2=22×a2=4a2，所以答案C错误；
D、a3÷a3=a3-3=1，所以答案D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；用积的乘方的法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可判断X选项.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解∶数轴上表示不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】观察所给数轴，起始点是，方向向右且是实心点求出即可作答.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减求出，再求解即可.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：、相交于点，
是烛焰的高，是实像的高，
，
，
蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出AC//DB，再证明，最后利用相似三角形的性质计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
由题意得，
故答案为：C．
【分析】先求出单独处理数据的时间小时，再找出等量关系列方程求解即可.
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设寸，
，AB是直径，
寸，
，
，
，
（寸）．
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理求出寸，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可.
12．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可.
13．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据正数大于一切负数比较大小求解即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共3个球，小明随机从袋中摸出1个球，恰好摸到白球的概率是，
故答案为：．
【分析】理解题意，直接利用概率公式计算求解即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意将和，代入，得
解得：，
所以一次函数解析式为，
故答案为：．
【分析】先理解题意，再利用待定系数法求函数解析式即可.
16．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，点在以为圆心为半径的圆上运动，当共线时时，此时的值最小，
根据折叠的性质，，
， ，
∵是边的中点，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2）原式，
由（1）知，
∴当时，原式.

【知识点】零指数幂；利用整式的混合运算化简求值；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【分析】（1）利用绝对值，零指数幂和算术平方根，计算求解即可；
（2）先去括号，再合并同类项化简代数式，最后将a=1代入计算求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，为所求作．（方法1：作的中点连接，方法2：作一个角等于已知角）
（2）解：如图，连接，由（1）知，
点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
点是线段的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，
∴.

【知识点】含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角；三角形的中位线定理；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）方法1：作的中点连接，方法2：作一个角等于已知角；
（2）根据线段的中点求出，再根据三角形的中位线求出是的中位线，最后根据含30°角的直角三角形的性质计算求解即可.
（1）解：解：如图，为所求作．（方法1：作的中点连接，方法2：作一个角等于已知角）
（2）连接，由（1）知，
点是线段的中点，
∴
∴
∴
点是线段的中点，
是的中位线
在中，
∴
19．【答案】（1）5，3
（2）180
（3）解：（人），
答：锻炼时间达到等级及以上的学生人数有人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，
；
故答案为：5；3.
（2）解：由题意可得：统计图中等级对应扇形圆心角为；
故答案为：180.
【分析】（1）结合统计表和扇形统计图中的数据计算求解即可；
（2）用乘以统计图中等级所占的比例计算求解即可；
（3）根据全校共有1200名学生，列式计算求解即可.
（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：由题意可得：统计图中等级对应扇形圆心角为；
（3）解：（人），
故估计锻炼时间达到等级及以上的学生人数有人．
20．【答案】（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：（元）.
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元.
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据电池电量：千瓦时，电价：元/千瓦时，续航里程千米，列式计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再解方程计算求解即可；
（3）根据题意找出不等关系求出，再解不等式计算求解即可.
（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
连接，
平分，
是的直径
，
中，
．

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，最后根据切线的判定定理证明求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用勾股定理等计算求解即可.
（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
连接，
平分，
是的直径
，
中，
．
22．【答案】（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）根据题意先求出抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，再求函数表达式即可；
（3）根据题意先求出OD=8m，再求出ON=5m，最后求解即可.
（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
于点，于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
矩形是正方形，
；
∴；
（3）2
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：连接，如图，
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
∵
∴．
【分析】（1）根据矩形的性质求出，再利用AAS证明，最后根据正方形的判定方法证明求解即可；
（2）根据矩形的判定方法求出四边形是矩形，再利用AAS证明，最后根据正方形的判定方法和性质求解即可；
（3）根据正方形的性质求出，再根据等腰直角三角形的判定方法求出是等腰直角三角形，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可.
1 / 1广西壮族自治区玉林市2025年中考三模数学试题
1．（2025·玉林模拟）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．（2025·玉林模拟）随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项A的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
B、选项B的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意；
C、选项C的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
D、选项D的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．（2025·玉林模拟）截至2025年5月5日，国产动画电影《哪吒2》在全球范围内热映，票房表现强劲．据官方统计，其全球总票房突破元．这一成绩使其成为中国影史票房排名前列的电影之一、将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．根据科学记数法的定义计算求解即可.
4．（2025·玉林模拟）如图，直线，直线分别与，相交，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵直线，直线分别与，相交，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等，结合图形求解即可.
5．（2025·玉林模拟）在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料瓶的个数分别为5，6，7，8，7，这组数据的众数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中出现次数最多的是数据7，
所以这组数据的众数为7．
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据众数的定义求解即可.
6．（2025·玉林模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2a和4不是同类项，不能合并，所以答案A错误；
B、a2×a3=a2+3=a5，所以B正确；
C、(2a)2=22×a2=4a2，所以答案C错误；
D、a3÷a3=a3-3=1，所以答案D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；用积的乘方的法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可判断X选项.
7．（2025·玉林模拟）如图，数轴上表示不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解∶数轴上表示不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】观察所给数轴，起始点是，方向向右且是实心点求出即可作答.
8．（2025·玉林模拟）如图，将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减求出，再求解即可.
9．（2025·玉林模拟）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：、相交于点，
是烛焰的高，是实像的高，
，
，
蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出AC//DB，再证明，最后利用相似三角形的性质计算求解即可.
10．（2025·玉林模拟）某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
由题意得，
故答案为：C．
【分析】先求出单独处理数据的时间小时，再找出等量关系列方程求解即可.
11．（2025·玉林模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（　　）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设寸，
，AB是直径，
寸，
，
，
，
（寸）．
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理求出寸，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可.
12．（2025·玉林模拟）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在反比例函数（为常数，）的图象上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在该函数图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可.
13．（2025·玉林模拟）比较大小：　 　（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据正数大于一切负数比较大小求解即可.
14．（2025·玉林模拟）一个不透明的袋子里装有1个红球、1个白球和1个绿球，这些球除颜色外完全相同．小明随机从袋中摸出1个球，恰好摸到白球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共3个球，小明随机从袋中摸出1个球，恰好摸到白球的概率是，
故答案为：．
【分析】理解题意，直接利用概率公式计算求解即可.
15．（2025·玉林模拟）已知一次函数的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意将和，代入，得
解得：，
所以一次函数解析式为，
故答案为：．
【分析】先理解题意，再利用待定系数法求函数解析式即可.
16．（2025·玉林模拟）如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，点在以为圆心为半径的圆上运动，当共线时时，此时的值最小，
根据折叠的性质，，
， ，
∵是边的中点，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
17．（2025·玉林模拟）（1）已知，计算的值；
（2）在（1）的条件下，先化简，后求值：．
【答案】解：（1）
；
（2）原式，
由（1）知，
∴当时，原式.

【知识点】零指数幂；利用整式的混合运算化简求值；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【分析】（1）利用绝对值，零指数幂和算术平方根，计算求解即可；
（2）先去括号，再合并同类项化简代数式，最后将a=1代入计算求解即可.
18．（2025·玉林模拟）如图，在中，，已知点是线段的中点．
（1）尺规作图：过点作的平行线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】（1）解：如图，为所求作．（方法1：作的中点连接，方法2：作一个角等于已知角）
（2）解：如图，连接，由（1）知，
点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
点是线段的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，
∴.

【知识点】含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角；三角形的中位线定理；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）方法1：作的中点连接，方法2：作一个角等于已知角；
（2）根据线段的中点求出，再根据三角形的中位线求出是的中位线，最后根据含30°角的直角三角形的性质计算求解即可.
（1）解：解：如图，为所求作．（方法1：作的中点连接，方法2：作一个角等于已知角）
（2）连接，由（1）知，
点是线段的中点，
∴
∴
∴
点是线段的中点，
是的中位线
在中，
∴
19．（2025·玉林模拟）为落实“阳光体育”活动要求，某校随机抽取20名学生，调查他们每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟），锻炼时间在范围内的数据：35，40，50，45，50，30，45，55，40，50．结合以下统计表（图）信息回答下列问题：
不完整的统计表
锻炼时间（分钟） 等级 人数
A 2
B b
C 10
D
（1）统计表中___________，___________；
（2）统计图中等级对应扇形圆心角为___________度；
（3）若全校共有1200名学生，估计锻炼时间达到等级及以上的学生人数有多少人？
【答案】（1）5，3
（2）180
（3）解：（人），
答：锻炼时间达到等级及以上的学生人数有人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，
；
故答案为：5；3.
（2）解：由题意可得：统计图中等级对应扇形圆心角为；
故答案为：180.
【分析】（1）结合统计表和扇形统计图中的数据计算求解即可；
（2）用乘以统计图中等级所占的比例计算求解即可；
（3）根据全校共有1200名学生，列式计算求解即可.
（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：由题意可得：统计图中等级对应扇形圆心角为；
（3）解：（人），
故估计锻炼时间达到等级及以上的学生人数有人．
20．（2025·玉林模拟）综合与实践
为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
参数类型 燃油汽车 新能源汽车
能源类型 燃油 电能
能源容量 油箱容积：升 电池电量：千瓦时
能源价格 油价：元/升 电价：元/千瓦时
续航里程 千米 千米
据调查，燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，燃油汽车和新能源汽车每年的其它费用分别为元和元．
请按要求完成下列任务：
（1）用含的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用；
（2）分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
（3）每年行驶里程满足什么条件时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：（元）.
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元.
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据电池电量：千瓦时，电价：元/千瓦时，续航里程千米，列式计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再解方程计算求解即可；
（3）根据题意找出不等关系求出，再解不等式计算求解即可.
（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
21．（2025·玉林模拟）如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）当平分时，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
连接，
平分，
是的直径
，
中，
．

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，最后根据切线的判定定理证明求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用勾股定理等计算求解即可.
（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
连接，
平分，
是的直径
，
中，
．
22．（2025·玉林模拟）【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成．
【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，．
【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为．
【任务】
（1）求的值；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度．
【答案】（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）根据题意先求出抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，再求函数表达式即可；
（3）根据题意先求出OD=8m，再求出ON=5m，最后求解即可.
（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
23．（2025·玉林模拟）【思考探究】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，连接，于点．求证：四边形是正方形．
【实践探究】
（2）小慧受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2在正方形中，是边上一点，连接于点交的延长线于点于点，并交延长线于点．猜想线段的数量关系，并说明理由．
【拓展迁移】
（3）小贤深入研究小慧提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，连接交延长线于点，点在上，且，连接，，若，请直接写出的长度．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
于点，于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
矩形是正方形，
；
∴；
（3）2
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：连接，如图，
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
∵
∴．
【分析】（1）根据矩形的性质求出，再利用AAS证明，最后根据正方形的判定方法证明求解即可；
（2）根据矩形的判定方法求出四边形是矩形，再利用AAS证明，最后根据正方形的判定方法和性质求解即可；
（3）根据正方形的性质求出，再根据等腰直角三角形的判定方法求出是等腰直角三角形，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可.
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