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广西壮族自治区 南宁十四中、天桃翠竹实验学校2025年毕业班5月素质测试数学试题
1．（2025·南宁模拟）﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．- D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣3|=3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
2．（2025·南宁模拟）2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．（2025·南宁模拟）下列调查中，适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某种食品的合格情况
B．调查某批灯泡的使用寿命
C．调查某班全体学生的视力情况
D．调查某市居民的防火意识
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查市场上某种食品的合格情况，适合抽样调查，故本选项错误；
B、调查某批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项错误；
C、调查某班全体学生的视力情况，适合全面调查，故本选项正确；
D、调查某市居民的防火意识，适合抽样调查，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
4．（2025·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项计算正确，符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用同底数幂的乘除法则、合并同类项法则、积的乘方运算法则计算求解即可.
5．（2025·南宁模拟）某班进行了一次英语听力测试，“善学”小组的5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．29，28 B．28，28 C．28.5，28 D．28，30
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：5名同学成绩从小到大排列为：22，28，28，29，30，处在中间位置的数是28，
∴这组数据的中位数是28，28出现了2次，出现次数最多，
∴众数是28，
故答案为：B．
【分析】根据中位数和众数的定义，结合题意，求解即可.
6．（2025·南宁模拟）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：C．
【分析】用除以正多边形的边数，计算求解即可.
7．（2025·南宁模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k=2，b=-3，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与其系数的关系可得答案。
8．（2025·南宁模拟）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是和，
∴
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可.
9．（2025·南宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（　　）
A．6π B．2π C．π D．π
【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出半径OB=3，再根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，最后根据弧长公式计算求解即可.
10．（2025·南宁模拟）如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积：（），
这个图案的总面积为：（），
故答案为：A．
【分析】利用菱形的面积公式求出菱形的面积为24cm2，再用两个菱形的面积再减去重叠部分计算求解即可.
11．（2025·南宁模拟）马拉松不仅是一项体育赛事，更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙30米，已知乙的平均配速为2.8米/秒，如果甲计划跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲接下来的平均配速为米/秒，
根据题意列出方程：．
故答案为：A．
【分析】根据甲跑300米用的时间等于乙跑270米用的时间相等列方程求解即可.
12．（2025·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，经过原点，轴，若反比例函数的图象经过点和边的中点，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，把代入，
得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在反比例函数上，把代入反比例函数，
得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
由，
解得（舍去）或，
当时，，
∴P点坐标为，
∵P点为的中点，
∴，
∵，轴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，反比例函数的解析式为，再求出点B的坐标，最后计算求解即可.
13．（2025·南宁模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
14．（2025·南宁模拟）某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是88分，90分，96分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是　 　分；
【答案】90.2
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小雨的最终成绩（分），
故答案为：90.2．
【分析】理解题意，根据加权平均数的计算方法计算求解即可．
15．（2025·南宁模拟）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为　 　；
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴的半径为．
故答案为：．
【分析】由垂径定理求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
16．（2025·南宁模拟）如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：正方形，正方形的边长为，
，，
，
，，
，
如图，取的中点，连接，连接交于点，
是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
垂直平分，
，
，即与重合时，的值最小，最小值为的长，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质求出，，再根据三角形的中位线求出，，最后根据平行四边形的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可.
17．（2025·南宁模拟）（）计算：；
（）解不等式：．
【答案】解：（）原式
；
（）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方以及有理数的运算法则计算求解即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤计算求解即可.
18．（2025·南宁模拟）如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1）尺规作图：以为边，为顶点作，交线段于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：尺规作图如下：
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据题意用尺规作图即可；
（2）根据矩形的性质求出，，再根据平行线的判定方法求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可.
（1）解：尺规作图如下：
（2）证：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
19．（2025·南宁模拟）为传承中华优秀传统文化、提升学生劳动实践能力，某校七年级（5）班围绕端午节精心策划了特色主题班会活动，活动设置三项非遗体验项目：．粽香传情—包粽子技艺研习，．艾草留芳—香囊缝制工艺，．龙舟竞渡—竹编船模制作，每位同学可以从中任选一个项目进行体验．
（1）小颖选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，
所以小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小颖的选择结果共有3种可能结果，其中选择粽香传情—包粽子技艺研习的结果只有一种，
则选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）理解题意，根据概率公式计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，最后求概率即可.
（1）解：小颖的选择结果共有3种可能结果，其中选择粽香传情—包粽子技艺研习的结果只有一种，
则选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，
所以小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率为．
20．（2025·南宁模拟）2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．
（1）小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？
（2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小丽这天已经从其他食品中摄入脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由．
食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
【答案】（1）解：设牛奶x盒，豆浆y盒，
根据题意，得，
解方程，得，
答：小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒．
（2）解：根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准，
故不超标．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意先设牛奶x盒，豆浆y盒，再找出等量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出吸收的脂肪量为，总脂肪量为，再求解即可.
（1）解：设牛奶x盒，豆浆y盒，
根据题意，得，
解方程，得，
答：小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒．
（2）解：根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准，
故不超标．
21．（2025·南宁模拟）如图，内接于，是的直径，点是上一点，过点作于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵内接于，是的直径，于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据切线的性质求出，再利用锐角三角函数求出，最后利用勾股定理等计算求解即可.
（1）证明：∵内接于，是的直径，于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∴．
22．（2025·南宁模拟）阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边．
如图1，当，时，，________
若，时，________，________．
【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长到点，使，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长．
【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边．
当，时，，
则，此时，，
则，；
当，时，，
则，此时，，
则，．
性质猜想：，，之间的数量关系为．
故答案为：2；1；；
任务2：如图2，延长到点，使．
．
．
，
．
又，
．
，
即．
，
即；
任务3：∵
∴，
∵，
∴，
∴是“倍角三角形”，
，
∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，设，
∴，，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
的长为6．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可．
性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系求解即可．
任务2：根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质求解即可.
任务3：根据等腰三角形的性质求出，再求出是“倍角三角形”，最后计算求解即可.
23．（2025·南宁模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知当时，函数值的取值范围是．
①求和的值；
②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：已知抛物线，
∴函数的对称轴是直线．
（2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
当时，，
当时，
在时，函数取得最小值，即，
∵，
∴在时，函数取得最大值，
即，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，，
，；
②根据①可得，
∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为．
则时，，
设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，
∵点，点，则点，
当点在点下方时，，
解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
；
当点在点上方时，，
解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
∴；
．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据函数的对称轴是直线，求解即可；
（2）①根据二次函数的性质，结合题意求解即可；
②先求出抛物线的表达式为：，顶点坐标为，再求出，最后求解即可.
（1）解：已知抛物线，
∴函数的对称轴是直线．
（2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
当时，，
当时，
在时，函数取得最小值，即，
∵，
∴在时，函数取得最大值，即，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，，
，；
②根据①可得，
∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为．
则时，，
设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，
∵点，点，则点，
当点在点下方时，，解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
；
当点在点上方时，，解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
∴；
．
1 / 1广西壮族自治区 南宁十四中、天桃翠竹实验学校2025年毕业班5月素质测试数学试题
1．（2025·南宁模拟）﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．- D．
2．（2025·南宁模拟）2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南宁模拟）下列调查中，适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某种食品的合格情况
B．调查某批灯泡的使用寿命
C．调查某班全体学生的视力情况
D．调查某市居民的防火意识
4．（2025·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南宁模拟）某班进行了一次英语听力测试，“善学”小组的5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．29，28 B．28，28 C．28.5，28 D．28，30
6．（2025·南宁模拟）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·南宁模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·南宁模拟）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（　　）
A．3 B．2 C． D．
9．（2025·南宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（　　）
A．6π B．2π C．π D．π
10．（2025·南宁模拟）如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·南宁模拟）马拉松不仅是一项体育赛事，更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙30米，已知乙的平均配速为2.8米/秒，如果甲计划跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，经过原点，轴，若反比例函数的图象经过点和边的中点，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．（2025·南宁模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025·南宁模拟）某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是88分，90分，96分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是　 　分；
15．（2025·南宁模拟）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为　 　；
16．（2025·南宁模拟）如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是　 　．
17．（2025·南宁模拟）（）计算：；
（）解不等式：．
18．（2025·南宁模拟）如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1）尺规作图：以为边，为顶点作，交线段于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）求证：四边形是平行四边形．
19．（2025·南宁模拟）为传承中华优秀传统文化、提升学生劳动实践能力，某校七年级（5）班围绕端午节精心策划了特色主题班会活动，活动设置三项非遗体验项目：．粽香传情—包粽子技艺研习，．艾草留芳—香囊缝制工艺，．龙舟竞渡—竹编船模制作，每位同学可以从中任选一个项目进行体验．
（1）小颖选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率．
20．（2025·南宁模拟）2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．
（1）小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？
（2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小丽这天已经从其他食品中摄入脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由．
食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
21．（2025·南宁模拟）如图，内接于，是的直径，点是上一点，过点作于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2025·南宁模拟）阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边．
如图1，当，时，，________
若，时，________，________．
【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长到点，使，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长．
23．（2025·南宁模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知当时，函数值的取值范围是．
①求和的值；
②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣3|=3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查市场上某种食品的合格情况，适合抽样调查，故本选项错误；
B、调查某批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项错误；
C、调查某班全体学生的视力情况，适合全面调查，故本选项正确；
D、调查某市居民的防火意识，适合抽样调查，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项计算正确，符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用同底数幂的乘除法则、合并同类项法则、积的乘方运算法则计算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：5名同学成绩从小到大排列为：22，28，28，29，30，处在中间位置的数是28，
∴这组数据的中位数是28，28出现了2次，出现次数最多，
∴众数是28，
故答案为：B．
【分析】根据中位数和众数的定义，结合题意，求解即可.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：C．
【分析】用除以正多边形的边数，计算求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k=2，b=-3，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与其系数的关系可得答案。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是和，
∴
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出半径OB=3，再根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，最后根据弧长公式计算求解即可.
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积：（），
这个图案的总面积为：（），
故答案为：A．
【分析】利用菱形的面积公式求出菱形的面积为24cm2，再用两个菱形的面积再减去重叠部分计算求解即可.
11．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲接下来的平均配速为米/秒，
根据题意列出方程：．
故答案为：A．
【分析】根据甲跑300米用的时间等于乙跑270米用的时间相等列方程求解即可.
12．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，把代入，
得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在反比例函数上，把代入反比例函数，
得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
由，
解得（舍去）或，
当时，，
∴P点坐标为，
∵P点为的中点，
∴，
∵，轴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，反比例函数的解析式为，再求出点B的坐标，最后计算求解即可.
13．【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
14．【答案】90.2
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小雨的最终成绩（分），
故答案为：90.2．
【分析】理解题意，根据加权平均数的计算方法计算求解即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴的半径为．
故答案为：．
【分析】由垂径定理求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：正方形，正方形的边长为，
，，
，
，，
，
如图，取的中点，连接，连接交于点，
是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
垂直平分，
，
，即与重合时，的值最小，最小值为的长，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质求出，，再根据三角形的中位线求出，，最后根据平行四边形的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可.
17．【答案】解：（）原式
；
（）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方以及有理数的运算法则计算求解即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤计算求解即可.
18．【答案】（1）解：尺规作图如下：
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据题意用尺规作图即可；
（2）根据矩形的性质求出，，再根据平行线的判定方法求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可.
（1）解：尺规作图如下：
（2）证：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
19．【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，
所以小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小颖的选择结果共有3种可能结果，其中选择粽香传情—包粽子技艺研习的结果只有一种，
则选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）理解题意，根据概率公式计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，最后求概率即可.
（1）解：小颖的选择结果共有3种可能结果，其中选择粽香传情—包粽子技艺研习的结果只有一种，
则选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，
所以小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率为．
20．【答案】（1）解：设牛奶x盒，豆浆y盒，
根据题意，得，
解方程，得，
答：小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒．
（2）解：根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准，
故不超标．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意先设牛奶x盒，豆浆y盒，再找出等量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出吸收的脂肪量为，总脂肪量为，再求解即可.
（1）解：设牛奶x盒，豆浆y盒，
根据题意，得，
解方程，得，
答：小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒．
（2）解：根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准，
故不超标．
21．【答案】（1）证明：∵内接于，是的直径，于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据切线的性质求出，再利用锐角三角函数求出，最后利用勾股定理等计算求解即可.
（1）证明：∵内接于，是的直径，于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∴．
22．【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边．
当，时，，
则，此时，，
则，；
当，时，，
则，此时，，
则，．
性质猜想：，，之间的数量关系为．
故答案为：2；1；；
任务2：如图2，延长到点，使．
．
．
，
．
又，
．
，
即．
，
即；
任务3：∵
∴，
∵，
∴，
∴是“倍角三角形”，
，
∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，设，
∴，，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
的长为6．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可．
性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系求解即可．
任务2：根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质求解即可.
任务3：根据等腰三角形的性质求出，再求出是“倍角三角形”，最后计算求解即可.
23．【答案】（1）解：已知抛物线，
∴函数的对称轴是直线．
（2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
当时，，
当时，
在时，函数取得最小值，即，
∵，
∴在时，函数取得最大值，
即，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，，
，；
②根据①可得，
∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为．
则时，，
设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，
∵点，点，则点，
当点在点下方时，，
解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
；
当点在点上方时，，
解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
∴；
．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据函数的对称轴是直线，求解即可；
（2）①根据二次函数的性质，结合题意求解即可；
②先求出抛物线的表达式为：，顶点坐标为，再求出，最后求解即可.
（1）解：已知抛物线，
∴函数的对称轴是直线．
（2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
当时，，
当时，
在时，函数取得最小值，即，
∵，
∴在时，函数取得最大值，即，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，，
，；
②根据①可得，
∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为．
则时，，
设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，
∵点，点，则点，
当点在点下方时，，解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
；
当点在点上方时，，解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
∴；
．
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