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广东省深圳市2025年中考数学模拟冲刺试卷
1．（2025·深圳模拟）将“祖国繁荣昌盛”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是(　　)
A．繁 B．荣 C．昌 D．盛
2．（2025·深圳模拟）下列判断正确的是(　　)
A．掷一次骰子，向上一面的点数是属于必然事件
B．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
C．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
D．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
3．（2025·深圳模拟）春节假期陕西全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间共接待游客约万人次，数据万用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）下列幂的运算，其中结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟）如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为(　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2025·深圳模拟）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）为发展乡村经济，某农业合作社有土地亩，计划将其中的土地开辟为樱桃园，其余的土地种植有机蔬菜和粮食，已知种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的倍少亩，问种植有机蔬菜和种植粮食的面积各多少亩？设种植有机蔬菜的面积为亩，种植粮食的面积为亩，可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
9．（2025·深圳模拟）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明”在一个不透明的盒子中装了张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为　 　．
10．（2025·深圳模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
11．（2025·深圳模拟）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为6，，则的面积为　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数图象上，则的值为　 　．
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，，，正方形的边长为，它的顶点，，分别在的边上，则的长为　 　．
14．（2025·深圳模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
15．（2025·深圳模拟）阅读理解材料：已知实数，满足，，且．
根据材料求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，
．
解决以下问题：
（1）方程的两个实数根为，，则　 　，　 　．
（2）已知实数，满足，，且，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
16．（2025·深圳模拟）某校从九年级甲班和乙班中，各随机抽取名同学进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把分钟跳绳完成个数用表示，并分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
甲班分钟跳绳个数的扇形统计图；
乙班分钟跳绳个数频数分布统计表；
分组
频数
乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，，；
甲班和乙班分钟跳绳个数的平均数、中位数、等级所占百分比如下表：
班级 平均数 中位数 等级所占百分比
甲班
乙班
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）已知该校九年级共有名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于为优秀，请估计参加此次测试中分钟跳绳优秀的学生有多少人？
17．（2025·深圳模拟）如图，已知是的角平分线，是斜边上的动点，以点为圆心，的长为半径的经过点，与相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
18．（2025·深圳模拟）【回归教材】
我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线，垂足为，且，是上的任意一点．
求证：．
（1）【定理证明】
请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程；
（2）【定理应用】
如图，中，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，的周长为，，求长；
（3）如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长．
19．（2025·深圳模拟）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止两点同时出发，设运动时间为秒，过点作于点的面积为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过
20．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点是直线上的动点，连接，，当最大时，求出此时的坐标及的最大值；
（3）如图，点的坐标，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，满足，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：“繁”字与“国”字相邻，因此不可能是相对面。
“荣”字与“国”字相邻，因此也不可能是相对面。
“盛”字与“国”字相邻，因此也不可能是相对面。
综上所述，“国”字所在面的相对面.上的汉字是“昌”
故答案为：C .
【分析】理解正方体表面展开图的特点：在正方体的展开图中，相对的面在折叠后不会相邻；根据题目中的展开图，我们可以看到“国” 字位于中间一行的左侧，解答即可.
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；中心对称图形
【解析】【解答】
解：A、骰子出现6的概率为1/6，是随机事件，非必然事件，故A错误；
B、一般平行四边形仅为中心对称图形，非轴对称图形，故B错误；
C、空气质量检测需抽样调查，无法全面调查，故C错误；
D、方差越小数据越稳定，甲方差较小，身高更整齐，故D正确；
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此可判断A；根据平行四边形是中心对称图形，可判断B；根据调查的特点空气质量检测适合抽样调查，可判断C；根据方差越小数据越稳定，可判断D；逐一判断即可解答.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万=22830000=
故答案为：D .
【分析】科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1≤Ia| < 10，n为整数，当表示的数为大于10的数时，n比原位数少1，由此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、a2.a3=a5，故A该选项错误；
B、 (a2)3= a5，故B该选项错误；
C、 (ab)2 = a2b2，故C该选项正确；
D、a6a3 =a3，故D该选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得a2.a3=a5，可判断A；根据幂的乘方可得 (a2)3= a5，可判断B；根据积的乘方可得 (ab)2 = a2b2，可判断C；根据同底数幂的除法法则可得 a6a3 =a3，可判断D；逐一判断即可解答.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，∠ACB=90°，∠BAC=，AB=6米，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=sina=
∴BC=6sina米.
故答案为：A .
【分析】由题意可得，∠ACB=90°，∠BAC=a， AB=6米，然后由正弦函数的定义，即可解答.
6．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB=
=
在Rt△ABD中，
AD=
=
由题意得：AE=AD=
则OE=OA-EA
=2-
∵点E在原点的左边，
∴点E表示的数为-（2-）
即：-2+
故选：B
【分析】根据勾股定理求出AB，AD的长，然后根据同圆的半径相等，得到AE=AB，最后根据OE=OA-EA可得。
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设种植有机蔬菜的面积为x亩，种植粮食的面积为y亩；
剩余土地面积为500x (1- 10%)，
∵其余的土地种植有机蔬菜和粮食，
∴x+ y= 500x (1- 10%)，
∵种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的倍少亩，
∴x= 2y- 30，
故答案为：D .
【分析】设种植有机蔬菜的面积为x亩，种植粮食的面积为y亩，根据题意其余的土地种植有机蔬菜和粮食；种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的倍少亩；列出方程即可解答.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在矩形中：，
∵ ，
∴AE=ABtan30=，BE==
由折叠的性质可知：BF=AB=2；EF=AE=；；
∵平分，
∴，
过F点作FH，
∵；
∴
∵FB=2
∴HB=，FH=1
∵，
∴CH=1
∴AD=BC=1+
∴DE=AD-AE=1+-=1+
故答案为：B .
【分析】先根据 ，，解直角三角形得到，AE，BE的值；由折叠的性质可知：BF=AB=2；EF=AE=；；由平分，得，过F点作FH，由得HB，FH，由得CH=1，进而求得AD=BC=1+，再用线段的和差运算即可解答.
9．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵盒子中装了张关于“二十四节气”的卡片，
∴恰好是“谷雨”的有：8-4-1=3（张）
∴P=
故答案为： .
【分析】根据题目，盒子中总共有8张卡片，其中3张是“谷雨”，4张是“立夏”，1张是“小满”；卡片除了画面内容外其他都相同，因此每张卡片被摸出的概率是相等的；随机摸出一张卡片恰好是“谷雨”的概率P可以通过“谷雨”卡片的数量除以总卡片数量来计算，计算即可解答.
10．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为：a＜3且a≠﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可．
11．【答案】或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【解答】解：当E在AB的延长线上时，如图：
∵的边长为，，
∴BE=6，AC=6，BC=6，，
∴，
∵，
∴，
∴EC=，
∵ED=EC，
∴DE=EC=6，，
∵，
∴，
∴，
∴的面积=；
当E在BA的延长线上时，如图：过E作EHBD
∵的边长为，，
∴BE=18，BC=6，，
∵EHBD，
∴由勾股定理得：BH=9，EH=9，
∴CH=BH-BC=3
∵，EHBD，
∴DH=CH=3
∴BD=12
∴的面积=；
综上所述：的面积为或；
故答案为：或
故答案为：或 .
【分析】当E在AB的延长线上时，如图，根据等边三角形得性质和已知条件得出BE=6，AC=6，BC=6，，利用角度得和差关系可得到，即可用勾股定理求出EC，再利用角度得和差运算得到，即可利用面积公式求解即可解答；
当E在BA的延长线上时，如图：过E作EHBD，由已知条件得到BE=18，BC=6，，即可根据勾股定理求出BH=9，EH=9，结合已知条件利用等腰三角形三线合一得性质得到DH=CH=3，进而求得BD，即可利用面积公式求解即可解答.
12．【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，
由旋转的性质知OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，
∵A'是OB中点，
∴AA'=OB=OA'=OA，
∴AOA'是等边三角形，
∴∠AOB= 60°，
∴OB=2OA=2，∠A'OB'= 60° ，
∴OB'=2，∠ B'OE= 60°，
∴OE=OB'=1，
∴B'E=OE=，
∴B'(1，)
∵B'在反比例函数y=(k>0，x>0) 的图象上，
∴k=1x=.
故答案为： .
【分析】连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，由旋转得性质得到OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，由直角三角形斜边的中线的性质得到AA'=OB=OA'=OA，即可判定AOA'是等边三角形，利用等边三角形的性质计算可得B'(1，)，利用待定系数法把B'代入解析式即可解得k的值，求解即可解答.
13．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC，则AHG=GHD=90，
∴DGH+HDG=90.
∵ACB= 90，AC= BC =5
∴AB=5， A= B=45，
∴AGH=45=A，
∴ AH=HG.设AH= HG=x，
则CH=AC-AH=5-x.
∵四边形 DEFG 是正方形，
∴DG=DE，∠GDE=90°，
∴∠HDG+∠ CDE= 90，
∴ ∠HGD= ∠ CDE.
∵∠C=∠ GHD=90，
∴ GHDDCE，
∴ CD= GH=x，
∴ DH= CH-CD=5-2x
在Rt△GHD中，由勾股定理，得GD2=DH2+GH2，
()2 =(5-2x)2+x2 ，整理得x2-4x+4=0，
∴ (x-2)2=0，
∴ x=2，
∴的长为2，
故答案为：2.
【分析】如图，过点G作GH⊥AC，则AHG=GHD=90，借助已知条件ACB= 90，AC= BC =5可得AB=5， A= B=45，设AH= HG=x，根据正方形的性质利用一线三垂直模型证明 GHDDCE，根据全等三角形的性质即可表示出CD= GH=x， DH= CH-CD=5-2x在Rt△GHD中，利用勾股定理建立方程，求解x即可得CD的长，解答即可.
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；求正切值
【解析】【分析】（1）先化简，计算0指数幂，在计算特殊的三角函数；在计算负指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）先因式分解a2-2a+1；同时通分计算，最后计算乘除，即可解答.
15．【答案】（1）4；-3
（2）解：，，且，
、可看作方程的两根，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
即，
、可看作方程的两根，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：（1）∵a=1，b=-4，c=-3
∴， ；
故答案为：4；-3；
【分析】(1)根据根与系数的公式： ， ，计算即可解答；
（2）由，可得、可看作方程的两根，即可根据根与系数的公式，，将式子变形为，代入值计算即可解答.
16．【答案】（1）14；197；15
（2）解：利用样本估计总体的方法计算可得：
(人，
答：参加此次测试中分钟跳绳优秀的学生约有人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）a=40-2-4-20=16；b=；m%=；
故答案为：14，197，15
【分析】(1) 根据抽取名的同学，可计算得到a的值；再把乙班的数据由小到大排列后取最中间两个数的平均数可得中位数b的值；利用A圆心角度数54除以总数360即可得到m的值；
(2)根据样本估计总体可得：利用总数1600乘以样本百分比即可解答.
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
由条件可知，
又，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，，
∽，
，即，
解得，
，
由条件可知四边形为矩形，
，
由勾股定理得，
，
，即，
解得．
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质得，结合已知条件得到，由此即可判定，利用平行线得判定可得到，由切线的判定定理即可证明结论，解答即可；
（2）先根据已知条件证明∽，利用相似三角形的性质建立比例关系可得BE，OB的值，根据矩形的性质得，再由勾股定理计算可得BF得值；即可根据平行得到，建立比例关系，即可解答.
18．【答案】（1）证明：
，
，，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等．
（2）解：垂直平分，
，
，，
，
，
的周长为，
，
，
，
，
；
（3）解：矩形中，是的中点，，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，
则，
在中，，
，
垂直平分，
，
，
解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得到，结合已知条件利用SAS可证明≌，利用全等三角形的性质，解答即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，由线段垂直平分线的判定可得到，即可根据的周长为，利用线段的和差运算得到DC的值，解答即可；
(3)根据矩形的性质先利用ASA判定≌，设，利用全等三角形的性质可表示出BF，再由勾股定理表示出EG，EF；再由线段垂直平分线的性质得到，由此建立方程，求出x的值，即可解答.
19．【答案】（1）解：在中，，，，
，
当时，，，
；
当时，如图，过作于，
，
∽，
，
，
，
，
；
综上所述，，
，
，
∽，
，
，
，，
的周长为，
的周长，
；
（2）解：如图所示；
性质：当时，随的增大而增大；
（3）解：由图象知，当时，的取值范围为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；通过函数图象获取信息；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到AC的值；分类讨论：当时，利用面积公式求得；当时，如图，过作于，借助平行先证明∽，利用相似的性质建立比例关系得到，利用面积公式求得；由得到∽，利用相似的性质建立比例关系得到，，即可表示出的周长为，结合的周长可表示出；解答即可.
(2)先画出函数、图象，再根据图像写出一条性质，即可解答.
(3)结合图像，写出当时，x的近似取值范围，即可解答.
20．【答案】（1）解：∵，抛物线对称轴为直线 ，
∴，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，
作轴于，交于，
，对称轴是直线，
，
，
直线的解析式为：，，
，
，
设，，
，
当时，，即最大，
，
，
点关于直线的对称点，
，
；
（3）解：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）如图2，
抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线的解析式为：，
，，
，
，
，
，
当点在下方时，
，
直线的解析式为：，
由得，
，舍去，
，
，
当点在上方时图中，
，
设直线与轴交点关于的对称点，
由和得，
，
（舍去，
，
直线的解析式为：，
由得，
舍去，
，
，
综上所述：或.
【分析】（1）根据已知条件，抛物线对称轴为直线 ，建立方程，计算即可解答；
（2）根据已知条件，抛物线对称轴为直线 ，利用对称性得出B（3，0）；利用待定系数法将BC坐标代入即可求解得到BC的直线解析式；从而得到，利用勾股定理得到，设，表示出计算得出；利用二次函数的性质可得当时，，即最大，从而求得P的坐标；利用对成性和两点之间的距离公式即可解答；
（3）根据平移先求出平移后新抛物线的解析式，结合已知条件得到，再根据正切的定义建立比例关系式得到，等量代换得到，分当点在下方时，当点在上方时图中，依次讨论计算即可解答.
1 / 1广东省深圳市2025年中考数学模拟冲刺试卷
1．（2025·深圳模拟）将“祖国繁荣昌盛”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是(　　)
A．繁 B．荣 C．昌 D．盛
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：“繁”字与“国”字相邻，因此不可能是相对面。
“荣”字与“国”字相邻，因此也不可能是相对面。
“盛”字与“国”字相邻，因此也不可能是相对面。
综上所述，“国”字所在面的相对面.上的汉字是“昌”
故答案为：C .
【分析】理解正方体表面展开图的特点：在正方体的展开图中，相对的面在折叠后不会相邻；根据题目中的展开图，我们可以看到“国” 字位于中间一行的左侧，解答即可.
2．（2025·深圳模拟）下列判断正确的是(　　)
A．掷一次骰子，向上一面的点数是属于必然事件
B．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
C．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
D．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；中心对称图形
【解析】【解答】
解：A、骰子出现6的概率为1/6，是随机事件，非必然事件，故A错误；
B、一般平行四边形仅为中心对称图形，非轴对称图形，故B错误；
C、空气质量检测需抽样调查，无法全面调查，故C错误；
D、方差越小数据越稳定，甲方差较小，身高更整齐，故D正确；
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此可判断A；根据平行四边形是中心对称图形，可判断B；根据调查的特点空气质量检测适合抽样调查，可判断C；根据方差越小数据越稳定，可判断D；逐一判断即可解答.
3．（2025·深圳模拟）春节假期陕西全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间共接待游客约万人次，数据万用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万=22830000=
故答案为：D .
【分析】科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1≤Ia| < 10，n为整数，当表示的数为大于10的数时，n比原位数少1，由此解答即可.
4．（2025·深圳模拟）下列幂的运算，其中结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、a2.a3=a5，故A该选项错误；
B、 (a2)3= a5，故B该选项错误；
C、 (ab)2 = a2b2，故C该选项正确；
D、a6a3 =a3，故D该选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得a2.a3=a5，可判断A；根据幂的乘方可得 (a2)3= a5，可判断B；根据积的乘方可得 (ab)2 = a2b2，可判断C；根据同底数幂的除法法则可得 a6a3 =a3，可判断D；逐一判断即可解答.
5．（2025·深圳模拟）如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为(　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，∠ACB=90°，∠BAC=，AB=6米，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=sina=
∴BC=6sina米.
故答案为：A .
【分析】由题意可得，∠ACB=90°，∠BAC=a， AB=6米，然后由正弦函数的定义，即可解答.
6．（2025·深圳模拟）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB=
=
在Rt△ABD中，
AD=
=
由题意得：AE=AD=
则OE=OA-EA
=2-
∵点E在原点的左边，
∴点E表示的数为-（2-）
即：-2+
故选：B
【分析】根据勾股定理求出AB，AD的长，然后根据同圆的半径相等，得到AE=AB，最后根据OE=OA-EA可得。
7．（2025·深圳模拟）为发展乡村经济，某农业合作社有土地亩，计划将其中的土地开辟为樱桃园，其余的土地种植有机蔬菜和粮食，已知种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的倍少亩，问种植有机蔬菜和种植粮食的面积各多少亩？设种植有机蔬菜的面积为亩，种植粮食的面积为亩，可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设种植有机蔬菜的面积为x亩，种植粮食的面积为y亩；
剩余土地面积为500x (1- 10%)，
∵其余的土地种植有机蔬菜和粮食，
∴x+ y= 500x (1- 10%)，
∵种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的倍少亩，
∴x= 2y- 30，
故答案为：D .
【分析】设种植有机蔬菜的面积为x亩，种植粮食的面积为y亩，根据题意其余的土地种植有机蔬菜和粮食；种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的倍少亩；列出方程即可解答.
8．（2025·深圳模拟）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在矩形中：，
∵ ，
∴AE=ABtan30=，BE==
由折叠的性质可知：BF=AB=2；EF=AE=；；
∵平分，
∴，
过F点作FH，
∵；
∴
∵FB=2
∴HB=，FH=1
∵，
∴CH=1
∴AD=BC=1+
∴DE=AD-AE=1+-=1+
故答案为：B .
【分析】先根据 ，，解直角三角形得到，AE，BE的值；由折叠的性质可知：BF=AB=2；EF=AE=；；由平分，得，过F点作FH，由得HB，FH，由得CH=1，进而求得AD=BC=1+，再用线段的和差运算即可解答.
9．（2025·深圳模拟）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明”在一个不透明的盒子中装了张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵盒子中装了张关于“二十四节气”的卡片，
∴恰好是“谷雨”的有：8-4-1=3（张）
∴P=
故答案为： .
【分析】根据题目，盒子中总共有8张卡片，其中3张是“谷雨”，4张是“立夏”，1张是“小满”；卡片除了画面内容外其他都相同，因此每张卡片被摸出的概率是相等的；随机摸出一张卡片恰好是“谷雨”的概率P可以通过“谷雨”卡片的数量除以总卡片数量来计算，计算即可解答.
10．（2025·深圳模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为：a＜3且a≠﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可．
11．（2025·深圳模拟）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为6，，则的面积为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【解答】解：当E在AB的延长线上时，如图：
∵的边长为，，
∴BE=6，AC=6，BC=6，，
∴，
∵，
∴，
∴EC=，
∵ED=EC，
∴DE=EC=6，，
∵，
∴，
∴，
∴的面积=；
当E在BA的延长线上时，如图：过E作EHBD
∵的边长为，，
∴BE=18，BC=6，，
∵EHBD，
∴由勾股定理得：BH=9，EH=9，
∴CH=BH-BC=3
∵，EHBD，
∴DH=CH=3
∴BD=12
∴的面积=；
综上所述：的面积为或；
故答案为：或
故答案为：或 .
【分析】当E在AB的延长线上时，如图，根据等边三角形得性质和已知条件得出BE=6，AC=6，BC=6，，利用角度得和差关系可得到，即可用勾股定理求出EC，再利用角度得和差运算得到，即可利用面积公式求解即可解答；
当E在BA的延长线上时，如图：过E作EHBD，由已知条件得到BE=18，BC=6，，即可根据勾股定理求出BH=9，EH=9，结合已知条件利用等腰三角形三线合一得性质得到DH=CH=3，进而求得BD，即可利用面积公式求解即可解答.
12．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数图象上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，
由旋转的性质知OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，
∵A'是OB中点，
∴AA'=OB=OA'=OA，
∴AOA'是等边三角形，
∴∠AOB= 60°，
∴OB=2OA=2，∠A'OB'= 60° ，
∴OB'=2，∠ B'OE= 60°，
∴OE=OB'=1，
∴B'E=OE=，
∴B'(1，)
∵B'在反比例函数y=(k>0，x>0) 的图象上，
∴k=1x=.
故答案为： .
【分析】连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，由旋转得性质得到OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，由直角三角形斜边的中线的性质得到AA'=OB=OA'=OA，即可判定AOA'是等边三角形，利用等边三角形的性质计算可得B'(1，)，利用待定系数法把B'代入解析式即可解得k的值，求解即可解答.
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，，，正方形的边长为，它的顶点，，分别在的边上，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC，则AHG=GHD=90，
∴DGH+HDG=90.
∵ACB= 90，AC= BC =5
∴AB=5， A= B=45，
∴AGH=45=A，
∴ AH=HG.设AH= HG=x，
则CH=AC-AH=5-x.
∵四边形 DEFG 是正方形，
∴DG=DE，∠GDE=90°，
∴∠HDG+∠ CDE= 90，
∴ ∠HGD= ∠ CDE.
∵∠C=∠ GHD=90，
∴ GHDDCE，
∴ CD= GH=x，
∴ DH= CH-CD=5-2x
在Rt△GHD中，由勾股定理，得GD2=DH2+GH2，
()2 =(5-2x)2+x2 ，整理得x2-4x+4=0，
∴ (x-2)2=0，
∴ x=2，
∴的长为2，
故答案为：2.
【分析】如图，过点G作GH⊥AC，则AHG=GHD=90，借助已知条件ACB= 90，AC= BC =5可得AB=5， A= B=45，设AH= HG=x，根据正方形的性质利用一线三垂直模型证明 GHDDCE，根据全等三角形的性质即可表示出CD= GH=x， DH= CH-CD=5-2x在Rt△GHD中，利用勾股定理建立方程，求解x即可得CD的长，解答即可.
14．（2025·深圳模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；求正切值
【解析】【分析】（1）先化简，计算0指数幂，在计算特殊的三角函数；在计算负指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）先因式分解a2-2a+1；同时通分计算，最后计算乘除，即可解答.
15．（2025·深圳模拟）阅读理解材料：已知实数，满足，，且．
根据材料求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，
．
解决以下问题：
（1）方程的两个实数根为，，则　 　，　 　．
（2）已知实数，满足，，且，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
【答案】（1）4；-3
（2）解：，，且，
、可看作方程的两根，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
即，
、可看作方程的两根，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：（1）∵a=1，b=-4，c=-3
∴， ；
故答案为：4；-3；
【分析】(1)根据根与系数的公式： ， ，计算即可解答；
（2）由，可得、可看作方程的两根，即可根据根与系数的公式，，将式子变形为，代入值计算即可解答.
16．（2025·深圳模拟）某校从九年级甲班和乙班中，各随机抽取名同学进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把分钟跳绳完成个数用表示，并分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
甲班分钟跳绳个数的扇形统计图；
乙班分钟跳绳个数频数分布统计表；
分组
频数
乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，，；
甲班和乙班分钟跳绳个数的平均数、中位数、等级所占百分比如下表：
班级 平均数 中位数 等级所占百分比
甲班
乙班
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）已知该校九年级共有名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于为优秀，请估计参加此次测试中分钟跳绳优秀的学生有多少人？
【答案】（1）14；197；15
（2）解：利用样本估计总体的方法计算可得：
(人，
答：参加此次测试中分钟跳绳优秀的学生约有人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）a=40-2-4-20=16；b=；m%=；
故答案为：14，197，15
【分析】(1) 根据抽取名的同学，可计算得到a的值；再把乙班的数据由小到大排列后取最中间两个数的平均数可得中位数b的值；利用A圆心角度数54除以总数360即可得到m的值；
(2)根据样本估计总体可得：利用总数1600乘以样本百分比即可解答.
17．（2025·深圳模拟）如图，已知是的角平分线，是斜边上的动点，以点为圆心，的长为半径的经过点，与相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
由条件可知，
又，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，，
∽，
，即，
解得，
，
由条件可知四边形为矩形，
，
由勾股定理得，
，
，即，
解得．
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质得，结合已知条件得到，由此即可判定，利用平行线得判定可得到，由切线的判定定理即可证明结论，解答即可；
（2）先根据已知条件证明∽，利用相似三角形的性质建立比例关系可得BE，OB的值，根据矩形的性质得，再由勾股定理计算可得BF得值；即可根据平行得到，建立比例关系，即可解答.
18．（2025·深圳模拟）【回归教材】
我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线，垂足为，且，是上的任意一点．
求证：．
（1）【定理证明】
请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程；
（2）【定理应用】
如图，中，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，的周长为，，求长；
（3）如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长．
【答案】（1）证明：
，
，，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等．
（2）解：垂直平分，
，
，，
，
，
的周长为，
，
，
，
，
；
（3）解：矩形中，是的中点，，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，
则，
在中，，
，
垂直平分，
，
，
解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得到，结合已知条件利用SAS可证明≌，利用全等三角形的性质，解答即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，由线段垂直平分线的判定可得到，即可根据的周长为，利用线段的和差运算得到DC的值，解答即可；
(3)根据矩形的性质先利用ASA判定≌，设，利用全等三角形的性质可表示出BF，再由勾股定理表示出EG，EF；再由线段垂直平分线的性质得到，由此建立方程，求出x的值，即可解答.
19．（2025·深圳模拟）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止两点同时出发，设运动时间为秒，过点作于点的面积为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过
【答案】（1）解：在中，，，，
，
当时，，，
；
当时，如图，过作于，
，
∽，
，
，
，
，
；
综上所述，，
，
，
∽，
，
，
，，
的周长为，
的周长，
；
（2）解：如图所示；
性质：当时，随的增大而增大；
（3）解：由图象知，当时，的取值范围为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；通过函数图象获取信息；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到AC的值；分类讨论：当时，利用面积公式求得；当时，如图，过作于，借助平行先证明∽，利用相似的性质建立比例关系得到，利用面积公式求得；由得到∽，利用相似的性质建立比例关系得到，，即可表示出的周长为，结合的周长可表示出；解答即可.
(2)先画出函数、图象，再根据图像写出一条性质，即可解答.
(3)结合图像，写出当时，x的近似取值范围，即可解答.
20．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点是直线上的动点，连接，，当最大时，求出此时的坐标及的最大值；
（3）如图，点的坐标，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，满足，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵，抛物线对称轴为直线 ，
∴，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，
作轴于，交于，
，对称轴是直线，
，
，
直线的解析式为：，，
，
，
设，，
，
当时，，即最大，
，
，
点关于直线的对称点，
，
；
（3）解：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）如图2，
抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线的解析式为：，
，，
，
，
，
，
当点在下方时，
，
直线的解析式为：，
由得，
，舍去，
，
，
当点在上方时图中，
，
设直线与轴交点关于的对称点，
由和得，
，
（舍去，
，
直线的解析式为：，
由得，
舍去，
，
，
综上所述：或.
【分析】（1）根据已知条件，抛物线对称轴为直线 ，建立方程，计算即可解答；
（2）根据已知条件，抛物线对称轴为直线 ，利用对称性得出B（3，0）；利用待定系数法将BC坐标代入即可求解得到BC的直线解析式；从而得到，利用勾股定理得到，设，表示出计算得出；利用二次函数的性质可得当时，，即最大，从而求得P的坐标；利用对成性和两点之间的距离公式即可解答；
（3）根据平移先求出平移后新抛物线的解析式，结合已知条件得到，再根据正切的定义建立比例关系式得到，等量代换得到，分当点在下方时，当点在上方时图中，依次讨论计算即可解答.
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