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14.2第5课时三角形全等的判定(HL)
人教版数学八年级上册
第十四章 全等三角形
1.理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容.
2.熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等.
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
三条边分别相等的三角形全等（SSS）．
上节课我们学习了什么方法可以判定两个三角形全等？
除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？我们继续探索三角形全等的条件.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）
复习引入
思考：两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？
（1）一边一锐角分别相等的两个直角三角形全等．
（2）两直角边分别相等的两个直角三角形全等．
如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
（利用“ASA”或“AAS”）
（利用“SAS”）
复习引入
探究 ：如图，在△ABC和△A′B′C′中，使∠C=∠C′=90°，A′B′=AB，B′C′=BC.这两个三角形全等吗？
新知探究
如图,由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C 与 点C 重合，并且使射线C'A '与射线CA 重合，那么射线C'B'与射线CB 重合 . 再由 B'C'=BC, 可知点B'与点B 重合 .
为了判断点A'与点A 是否重合，我们讨论射线 CA 上除点C,A外的点与点B 的连线和边AB的大小关系.
设点M 在直角边AC (不包括端点)上，连接BM, 则∠BMA
>∠C,∠BMA 是钝角 . 若过点M 且垂直于BM 的直线与线段AB 相交于点M',则有AB>BM'>BM.
设点N 在线段CA 的延长线上，连接BN, 同理可得BN>AB. 因此，在射 线 CA 上，与点B 的连线长度等于AB 的点只有一个 .再由点A '在射线CA 上 ，A'B'=AB,可知点A'与点 A 重合 . 这样，△A'B'C'的三个顶点与 △ABC 的三个顶点分别重合，△A'B'C '与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC.
归纳：一般地，有如下判定直角三角形全等的方法：
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直 角边”或 “HL”).
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（可以简写成“斜边、直角边”或者“HL”）.
符号语言：
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AC=A′C′，
BC=B′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.
A
B
C
B′
A′
┐
┐
C′
提醒：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”.
全等三角形的判定方法五：
新知探究
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
∴BC=AD.
D
A
B
C
典例精析
1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A．SSS　 B．ASA
C．SSA　 D．HL
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
D
C
随堂检测
3.下列条件：
①两条直角边对应相等；
②斜边和一锐角对应相等；
③斜边和一直角边对应相等;
④直角边和一锐角对应相等.
以上能判定两直角三角形全等的个数有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
随堂检测
4.如图，∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD还
需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并
在后面相应括号内填上判定它们全等的理由：
（1）______________ ( ) ；
（2）______________ ( ) ；
（3）______________ ( ) ；
（4）______________ ( ) ．
AC＝BD
AD＝BC
∠ABC＝∠BAD
AAS
AAS
HL
HL
∠BAC＝∠ABD
A
B
C
D
随堂检测
5.已知：如图，AB=CD，D、B到AC的距离DE=BF.求证：AB//CD．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，
DE=BF
AB=CD
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)，
∴∠DCE=∠BAF，
∴AB//CD．
随堂检测
6.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC=∠D=90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中
AC=BC
AE=CD ,
∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)，
∴CE=BD=2，CD=AE=7，
∴DE=CD-CE=7-2=5，
随堂检测
1.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
能力提升
2.如图，已知 AD，AF分别是钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC＝AE，
AD＝AF，
∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴CD＝EF.
在Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
AB＝AB，
AD＝AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
∴BD＝BF.
能力提升
“斜边、直角边”
内 容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
课堂小结
1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
(3)一个锐角和斜边对应相等；（ ）
(4)两直角边对应相等；（ ）
(5)一条直角边和斜边对应等．（ ）
HL
AAS或ASA
SAS
AAS
AAS
课后作业
2.如图，已知，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，AC=CE.
求证：AC⊥CE.
证明：AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中,
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)，
∴∠A=∠ECD，
∵∠A+∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
即AC⊥CE.
课后作业

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