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14.2三角形全等的判定
第2课时(ASA,AAS)
人教版数学八年级上册
第十四章 全等三角形
1.掌握三角形全等“ASA”和“AAS”的条件．
2.能运用“ASA”和“AAS”条件判定两个三角形全等．
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
上节课我们学习了什么方法可以判定两个三角形全等？
除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？我们继续探索三角形全等的条件.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.
复习引入
(1) 三个角
(2) 两边一角
(3) 两角一边
不能

当两个三角形满足六个条件中的三个条件时，有四种情况:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
复习引入
(4) 三条边

这节课我们一起来探究满足两角一边时，能否判定两个三角形全等呢？
（2）两角及一角的对边
（1）两角及其夹边
新知探究
探究 如图,直观上， AB,∠A,∠B的大 小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也 就是说，在△A'B'C'与△ABC 中，如果A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗
新知探究
结论：有两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
如图,由 A'B'=AB可知，如果使点A'与点A 重合，点B'在射线AB 上，那么点B'与点B 重合.再由∠A'=∠A,∠B'=∠B, 可知射线A'C '与射线AC 重合，射 线B'C '与射线BC 重合，于是射线A'C',B'C '的交点C' 与射线AC,BC的交点C 重合.这样，△A'B'C'的三个顶点 与△ABC 的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC 能够完 全重合，因而△A'B'C'≌△ABC.
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.
全等三角形的判定方法三：
符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
新知探究
例1.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A （公共角），
AC=AB，
∠C=∠B，
∴△ACD≌△ABE（ASA）.
∴AD=AE.
D
E
B
C
A
典例精析
思考
如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，那么这两个 三角形全等吗
根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们 的另一个角也相等.这样，由两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相 等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用“角边 角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等.如图在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.请你按照上述思路证 明△ABC≌△A'B'C'.
如图在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，
在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得∠C和∠C'之间的关系呢？
最后，通过转化来构造“ASA”的判定条件来证明.
典例精析
证明：在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴∠C=180°-∠A-∠B，∠C'=180°-∠A'-∠B'，
即∠C=∠C'.
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
∠C=∠C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.
探究新知
如图在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.
全等三角形的判定方法四：
符号语言表示：
证明：在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
∠B=∠E，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
A
B
E
D
C
F
新知探究
1.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1，2，3，4的四块)，你认为将其中的哪块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃？应该带(　　)
A．第1块
B．第2块
C．第3块
D．第4块
B
随堂检测
2.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，OE＝OF，则图中全等的三角形有(　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
3.如图，AB∥CD，且AB=CD，AC与BD相交于点E，则△ABE≌△CDE的根据是（ ）
A. 只能用ASA B. 只能用SSS
C. 只能用AAS D. 用ASA或AAS
B
A
B
D
C
E
D
随堂检测
4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
A
B
C
D
1
2
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC，
∴∠ACB=∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2，
AC=AC（公共边），
∠ACB=∠ACD，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， ∴AB=AD.
随堂检测
5.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.求证：△ABC≌△DCB．
证明：在△ABC 和△DCB 中，
∠ABC＝∠DCB (已知)，
BC＝CB (公共边)，
∠ACB＝∠DBC (已知)，
∴△ABC≌△DCB (ASA ).
B
C
A
D
随堂检测
6.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C
D
F
E
┐
┐
解：由题可知：AB⊥BC，ED⊥DC，则∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC，
BC=DC，
∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）.
∴AB=ED，则DE的长就是AB的长.
随堂检测
1.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：△BDA≌△AEC；
解:∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
能力提升
2.直线AN绕A点旋转到如下图的位置，则DE，BD，CE会有怎样的关系，DE=BD-CE还成立吗
解:DE=BD-CE不成立，则有DE=CE-BD.
∵∠BAC=90°，CE⊥AN，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠1=90°，
∴∠2=∠3，
∵BD⊥AN，CE⊥AN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD=AE,AD=CE
∵DE=AD-AE
∴DE=CE-BD
能力提升
1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
判定两个三角形全等的基本方法：
课堂小结
1.如图所示，∠CAB＝∠DBA，∠C＝∠D，AC，BD相交于点E，下列结论不正确的是( )
A．∠DAE＝∠CBE
B．△DEA与△CEB不全等
C．CE＝DE
D．EA＝EB
B
课后作业
2.如图，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE.求证：△ABE≌△ACD.
证明:∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠EAD=∠CAE-∠EAD，
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS).
课后作业

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