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14.3第1课时角平分线的性质
人教版数学八年级上册
第十四章 全等三角形
情境引入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
1.尺规作角平分线
探究新知
探究：
如图, OC是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M,N 分别是OA,OB上的点，我们 研究 PM 与 PN 的关系.
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一 些特殊情况.在图中，当OM 与ON 满足什么 关系时，PM=PN
探究新知
在图中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠P
ON.如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS),就有PM=PN.
反过来，如图，M,N分别是∠AOB 的 边OA,OB上 的点，OM
=ON，点P在∠AOB的内部，连接OP，可以证明△OPM≌
△OPN(SSS),所以∠AOP=∠BOP.即点P在∠AOB的角平分线上.
思 考：
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗
探究新知
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图之一,大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当
长为半径画弧，交OA于
点M，交OB于点N.
（2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
探究新知
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
A
B
O
C
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
探究新知
2.角平分线的性质
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
方法归纳
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知），
∴ = ,
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
1.如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是(　　)
A. OD>OE B．OD＝OE
C. ODB
练一练
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
典例精析
2.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取
OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.
求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，
又∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，
∴PM＝PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
练一练
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
典例精析
A
B
C
P
3.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
提示：存在一条垂线段——构造应用.
练一练
A
B
C
P
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m， AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；
D
m
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14.
（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；
D
（3）求△PDB的周长.
AB·PD=7m.
由角平分线的性质，可知，PD=PC=m，
=
由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD.
1.应用角平分线的性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线的性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
1.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分
∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
B
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°–∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，∵M是BC的中点，
∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°.
N
中考链接
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结

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