资源简介

(共19张PPT)
14.3第2课时角平分线的判定
人教版数学八年级上册
第十四章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质 (第2课时)
理解角平分线的判定定理.
掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
复习旧知
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF= °，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
2. 角的平分线的性质，写出推理形式。
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等：
三条件：1.角的平分线；
2.点在该平分线上；
3.垂直线段长度距.
归纳知识
B
A
D
O
P
E
C
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，
情景引入
思考：类比平行线的判定与性质，怎样判定一个点在角的平分线上？
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明：几何命题证明要经过那些步骤 ？
新知探究
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
两相条件：1.位置关系：点在角的内部；
2.数量关系：该点到角两边的距离相等
定理作用：判断点是否在角平分线上
归纳知识
B
A
D
O
P
E
C
∵ PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，
PD = PE.
∴ OP 是∠AOB的平分线，
典例讲解
例1.如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵ DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴ DE＝DF.
又 ∵ DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴ AD平分∠BAC.
例2.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD=PE.
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
归纳知识
在△ABC的中，角平分线BM，CN相交于点P
∵ PD⊥AB 于D, PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∴ PD=PE=PF，
D
E
F
A
B
C
P
N
M
针对练习
1.如图，△ABC
求作：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线
AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H.
∵ BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点 P在BD上，
∴ PG＝PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等)．
同理PF＝PH，
∴ PG＝PH＝PF，
即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等．
例2 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.
求证：点P到 三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
课堂小结
角平分线的
判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等
课堂练习
1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(　　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
A
2. 如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
3. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________.
4 ∶ 5 ∶6
4. 已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.

展开更多......

收起↑