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第 2 课时　分段函数—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画分段函数的图象．
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．
分段函数的概念和特点 在函数的定义域内，在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象
题型(一)　分段函数求值问题
[例1]　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．
|思|维|建|模|
1．分段函数求值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．求自变量的值的方法
已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求参数值的方法
若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　 )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
2．函数f(x)＝则f(7)＝______.
题型(二)　分段函数的图象及应用
[例2]　已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
听课记录：
[变式拓展]
　把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，如何求解．
|思|维|建|模|
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象．在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
题型(三)　分段函数的实际应用问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可享受的折扣优惠金额 折扣率
不超过400元的部分 10%
超过400元的部分 20%
若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[针对训练]
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　 )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
第2课时　分段函数
[题型(一)]
[例1]　解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
(2)因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－，即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
[变式拓展]
1．解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2即a＝－∈(－2,2)，符合题意；
当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，实数a的值为－或2.
2．解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，
则x∈ .综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
[针对训练]
1．选A　由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，f(a)＝2a，由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，f(a)＝a＋1，由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意．
2．解析：∵函数f(x)＝
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.
答案：8
[题型(二)]
[例2]　解：(1)当0≤x≤2时，
f(x)＝1＋＝1.
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[变式拓展]
解：(1)f(x)＝|x|－2＝
(2)函数的图象如图所示．
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
[针对训练]
3．解：(1)函数y＝x2的对称轴为x＝0，当x＝0时，y＝0；
当x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝1，故f(x)的图象如图所示．
(2)f(x)＝等价于　①
或　②或　③
解①得x＝±，②③的解集都为 .
所以当f(x)＝时，x＝±.
(3)由于f＝，结合此函数图象可知，
f(x)≥的x的取值范围是∪.
[题型(三)]
[例3]　解：设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元，
则y＝
当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40.
∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60.解得x＝1 000.
∴1 000－60＝940.故此人购物实际所付金额为940元．
[针对训练]
4．选A　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为
y＝
由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.(共57张PPT)
分段函数
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画分段函数的图象．
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．
分段 函数 的概 念和 特点 在函数的定义域内，在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　分段函数求值问题
题型(二)　分段函数的图象及应用
题型(三)　分段函数的实际应用问题
4
课时跟踪检测
题型(一)　分段函数求值问题
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
[变式拓展]
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．
解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，
则x∈ .综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
|思|维|建|模|
1．分段函数求值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．求自变量的值的方法
已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求参数值的方法
若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题．
√
针对训练
解析：由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，f(a)＝2a，
由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，f(a)＝a＋1，
由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意．
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题型(二)　分段函数的图象及应用
(2)画出f(x)的图象；
解：函数f(x)的图象如图所示．
(3)写出函数f(x)的值域．
解：由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[变式拓展]
把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，如何求解．
|思|维|建|模|
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象．在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
针对训练
解：函数y＝x2的对称轴为x＝0，
当x＝0时，y＝0；
当x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝1，
故f(x)的图象如图所示．
[例3]　某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
题型(三)　分段函数的实际应用问题
可享受的折扣优惠金额 折扣率
不超过400元的部分 10%
超过400元的部分 20%
若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额.
当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40.
∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60.
解得x＝1 000.∴1 000－60＝940.
故此人购物实际所付金额为940元．
|思|维|建|模|
利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　 )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
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针对训练
课时跟踪检测
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解析：∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数．∴D(D(x))＝1.
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解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当11
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5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　 )
A．f(f(－3))＝1
B．f(－1)＝3.5
C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3]
D．函数的值域是[1,5]
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解析：由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；由图象可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；由题图可得函数的值域为[1,5]，D正确．
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解析：f(3)＝－2×3＋3＝－3.
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解：因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
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(2)画出函数f(x)的图象．
解：f(x)的图象如图所示．
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10．(8分)如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
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1月份 4 m3 4元
2月份 25 m3 14元
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16．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析法表示φ(x)；
解：在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①所示．
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(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
解：由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1]．
16课时跟踪检测(二十)　分段函数
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．函数f(x)＝的图象是(　　)
2．已知著名的狄利克雷函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C. D.
3．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
4．已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．±1
C．0 D．1
5．(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　　)
A．f(f(－3))＝1
B．f(－1)＝3.5
C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3]
D．函数的值域是[1,5]
6．已知函数f(x)＝则f(3)＝________.
7．已知函数f(x)＝则不等式xf(x－1)≤1的解集为________．
8．已知函数f(x)＝若f＝－6，则f(4)＝________.
9．(8分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
10．(8分)如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
B级——重点培优
11．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
12．定义运算a b＝则函数f(x)＝(x2－3x) 4的部分图象大致是(　　)
13．已知f(x)＝若对任意x∈R，均有xf(x)≤g(x)，则函数g(x)可以是(　　)
A．g(x)＝ B．g(x)＝x
C．g(x)＝x2 D．g(x)＝|x|
14．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝
已知某家庭2024年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费
1月份 4 m3 4元
2月份 25 m3 14元
3月份 35 m3 19元
若4月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为__________元．
15．(10分)设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围．
16．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析法表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
课时跟踪检测(二十)
1．选C　函数f(x)＝＝故选C.
2．选B　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数．∴D(D(x))＝1.
3．选B　当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当14．选B　当a≥0时，f(a)＝a3＝1，则a＝1，
当a<0时，f(a)＝＝1，解得a＝－1.
综上a＝±1.
5．选AD　由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；由图象可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；由题图可得函数的值域为[1,5]，D正确．
6．解析：f(3)＝－2×3＋3＝－3.
答案：－3
7．解析：原不等式转化为或解得－1≤x≤1.
答案：[－1,1]
8．解析：由题意，得f＝3.所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，解得a＝－5.故f(4)＝42－5×4＝－4.
答案：－4
9．解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如图所示．
10．解：当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，
y＝×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，即4y＝×4×4＝8；
当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
11．选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；
当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，
当－1因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；
当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，
当－1当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．
12．选B　f(x)＝(x2－3x) 4
＝
其图象如图所示，故选B.
13．选D　g(x)＝，当x∈Q时，不妨取x＝2，则f(2)＝1，此时2≤不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，A错误；g(x)＝x，当x∈ RQ时，不妨取x＝－，则f(－)＝0，则0≤－不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，B错误；g(x)＝x2，不妨取x＝，则f＝1，此时≤不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，C错误；g(x)＝|x|，当x∈Q时，则f(x)＝1，此时x≤|x|恒成立，即xf(x)≤g(x)成立，当x∈ RQ时，则f(x)＝0，此时0≤|x|恒成立，即xf(x)≤g(x)成立，故对任意x∈R，均有xf(x)≤g(x)，D正确．故选D.
14．解析：根据1月份用气量4 m3，煤气费4元，
可知f(4)＝C＝4.又由2、3月份用气量和煤气费得
解得A＝5，B＝.
所以f(x)＝
所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5.
答案：11.5
15．解：因为x0∈A，所以0≤x0<，
且f(x0)＝x0＋，
又≤x0＋<1，所以x0＋∈B，
所以f(f(x0))＝2＝2.又f(f(x0))∈A，所以0≤2<，解得＜x0≤，又0≤x0＜，所以故x0的取值范围为.
16．解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①所示．
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②所示．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1]．

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