资源简介

3．2.2 奇偶性—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
　[课时目标]
1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．
2．会应用奇偶函数的图象的对称性及奇偶函数的定义解决简单问题．
函数的奇偶性
项目 偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且__________，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象 特征 关于______对称 关于______对称
|微|点|助|解|　
对函数奇偶性的理解
(1)奇、偶函数定义域的特点
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称，若奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.
(2)奇、偶函数的对应关系的特点
①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
(3)利用性质判断函数的奇偶性
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　 )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　 )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　 )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　 )
2．下列函数是偶函数的是(　 )
A．y＝x B．y＝3x2
C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1])
3．已知函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　 )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
4．下列图象表示的函数是奇函数的是______，是偶函数的是________．(填序号)
题型(一)　函数奇偶性的判断
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
听课记录：
|思|维|建|模|　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
题型(二)　奇、偶函数的图象及应用
[例2]　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
听课记录：
[变式拓展]
1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？
2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
|思|维|建|模|　巧用奇、偶函数的图象求解问题
依据 奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称
求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题
[针对训练]
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　 )
A．4 B．2
C．1 D．0
3．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
题型(三)　函数奇偶性的应用
题点1　利用函数的奇偶性求参数值
[例3]　已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
听课记录：
[例4]　若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
定义域含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数
解析式含参数 根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解
题点2　利用函数的奇偶性求函数解析式
[例5]　已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，函数f(x)的解析式为________.
听课记录：
[变式拓展]
　本例5中，若条件改为“f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1”，则函数f(x)的解析式为________．
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　
[针对训练]
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　 )
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．若函数f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f＝(　 )
A．1 B.
C. D．3
6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
3．2.2　奇偶性
?课前预知教材
f(－x)＝f(x)　f(－x)＝－f(x)　y轴　原点
[基础落实训练]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．B　3.C　4.②④　①③
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：(1)因为x∈R，所以－x∈R.
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1,1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)．
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，即有－1≤x≤1且x≠0，所以－1≤－x≤1，且－x≠0.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(4)易知f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
[针对训练]
1．解：(1)函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
[题型(二)]
[例2]　解：(1)由题意作出函数图象如图．
(2)据图可知，f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2[变式拓展]
1．解：结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1，0)．
2．解：(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)据图可知，f(x)的单调递增区间为(－1,1)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}．
[针对训练]
2．选D　因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的．故所有实根之和为0.
3．解：法一　∵函数f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，补全图象如图所示．由图象可知f(1)＜f(3)．
法二　由题图可知f(－1)＜f(－3)．
∵函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
[题型(三)]
[例3]　解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6.所以(－3)2＋a(－3)＝－6.解得a＝5.
答案：5
[例4]　解析：因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0.解得a＝.
所以f(x)＝x2＋(b－1)x＋1＋b.又f(－x)＝f(x)，所以x2－(b－1)x＋1＋b＝x2＋(b－1)x＋1＋b.由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.所以b＝1.所以a＋b＝＋1＝.
答案：
[例5]　解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2·(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.
综上可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
[变式拓展]
解析：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
[针对训练]
4．选A　因为当x>0时，f(x)＝x2＋，
所以f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
5．选D　∵f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)4－(a－2b)x＋a－1＝ax4＋(a－2b)x＋a－1，∴a－2b＝0，又定义域关于原点对称，∴2a－2＝a，∴a＝2，b＝1，∴f(x)＝2x4＋1，∴f＝f(1)＝3.
6．解析：由题意知
即解得
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案：0(共71张PPT)
3.2.2
奇偶性
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．
2．会应用奇偶函数的图象的对称性及奇偶函数的定义解决简单问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
函数的奇偶性
项目 偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于_____对称 关于_____对称
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
y轴
原点
|微|点|助|解|
对函数奇偶性的理解
(1)奇、偶函数定义域的特点
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称，若奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.
(3)利用性质判断函数的奇偶性
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数． (　 )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数． (　 )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　 )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　 )
基础落实训练
×
×
×
×
2．下列函数是偶函数的是(　 )
A．y＝x B．y＝3x2
C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1])
解析：选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．
√
3．已知函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　 )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
√
4．下列图象表示的函数是奇函数的是_______，是偶函数的是________．(填序号)
　
解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
②④
①③
课堂题点研究·迁移应用融通
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
题型(一)　函数奇偶性的判断
解：因为x∈R，所以－x∈R.
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
解：因为函数f(x)的定义域为{－1,1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)．
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
解：易知f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
|思|维|建|模|　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
解：函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
针对训练
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
解：函数f(x)的定义域是R.
∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
解：∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
[例2]　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

题型(二)　奇、偶函数的图象及应用
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
解：由题意作出函数图象如图．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
解：据图可知，f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
解：据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2[变式拓展]
1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？
解：结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)．
2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)据图可知，f(x)的单调递增区间为(－1,1)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为
{x|－22}．
|思|维|建|模|　巧用奇、偶函数的图象求解问题
依据 奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称
求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　 )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的．故所有实根之和为0.
√
针对训练
3．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解：法一　∵函数f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，补全图象如图所示．由图象可知f(1)＜f(3)．
法二　由题图可知f(－1)＜f(－3)．
∵函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
题点1　利用函数的奇偶性求参数值
[例3]　已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为_____．
题型(三)　函数奇偶性的应用
5
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6.所以(－3)2＋a(－3)＝－6.解得a＝5.
[例4]　若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝______.
|思|维|建|模|　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
定义域 含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数
解析式 含参数 根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解
题点2　利用函数的奇偶性求函数解析式
[例5]　已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，
函数f(x)的解析式为__________________________.
本例5中，若条件改为“f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ －2x2
＋3x＋1”，则函数f(x)的解析式为__________________________．
[变式拓展]
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
√
针对训练
√
0
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
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11
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13
14
15
2
√
A级——达标评价
1．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(　 )
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
解析：因为y＝f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)，故点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上．
1
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√
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2
√
3．(多选)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝3，f(1)＋g(－1)＝5，则(　 )
A．f(1)＝1 B．f(－1)＝1
C．g(1)＝4 D．g(－1)＝－4
解析：因f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(－1)＋g(1)＝3 －f(1)＋g(1)＝3，f(1)＋g(－1)＝5 f(1)＋g(1)＝5，解得f(1)＝1，g(1)＝4.即A、C都正确；而f(－1)＝－1，g(－1)＝4，即B、D都不正确．
√
1
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2
√
4.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是(　 )

A．[－3,0) B．(1,3]
C．[－3，－1)∪(1,3] D．(－3，－1]∪[1,3)
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解析：因为当01
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√
√
√
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2
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，因为函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
12
1
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－1
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2
8．设函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，则f(x)＝_________.(写出一个正确答案即可)
解析：因为函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，不妨取f(x)＝－x2＋1，二次函数f(x)＝－x2＋1的对称轴为y轴，该函数为偶函数，且f(x)＝－x2＋1≤1，即函数f(x)＝－x2＋1的值域为(－∞，1]，符合题意．
－x2＋1
1
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(2)判断f(x)的奇偶性．
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10．(9分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝－x＋1.　
(1)求f(0)，f(2)；
解：∵当x≤0时，f(x)＝－x＋1，∴f(0)＝1.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(2)＝f(－2)＝－(－2)＋1＝3，即f(2)＝3.
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(2)求函数f(x)的解析式．
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B级——重点培优
11．已知f(x)＝ax＋bx3＋2 024，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝(　 )
A．4 046 B．2 028
C．－4 046 D．－2 028
解析：令g(x)＝ax＋bx3，则g(－x)＝－ax－bx3＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．又g(x)＝f(x)－2 024，所以g(－2)＝f(－2)－2 024＝－2 022.因为g(2)＝－g(－2)＝2 022，所以f(2)＝g(2)＋2 024＝4 046.
√
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14．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
解：证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)．
又函数f(x)的定义域为R， x∈R，都有－x∈R，故f(x)是奇函数．
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(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：由(1)知f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.
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(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性；
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(3)解不等式f(x－1)＋f(x)<0.课时跟踪检测(二十三)　奇偶性
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
2．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝＋x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝－2x
3．(多选)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝3，f(1)＋g(－1)＝5，则(　　)
A．f(1)＝1 B．f(－1)＝1
C．g(1)＝4 D．g(－1)＝－4
4．已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是(　　)
A．[－3,0) B．(1,3]
C．[－3，－1)∪(1,3] D．(－3，－1]∪[1,3)
5．(多选)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m]，则(　　)
A．m＝3
B．n＝0
C．函数f(x)的定义域为
D．函数f(x)的最大值为
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
7．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
8．设函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，则f(x)＝__________.(写出一个正确答案即可)
9．(8分)已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
10．(9分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝－x＋1.　
(1)求f(0)，f(2)；
(2)求函数f(x)的解析式．
B级——重点培优
11．已知f(x)＝ax＋bx3＋2 024，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝(　　)
A．4 046 B．2 028
C．－4 046 D．－2 028
12．(多选)对于函数f(x)＝(x∈R)，下面几个结论正确的是(　　)
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的值域为(－1,1)
D．函数f(x)在R上是增函数
13．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
14．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
15．(13分)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足对任意的x，y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f，且当x∈(0,1)时，f(x)<0.
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性；
(3)解不等式f(x－1)＋f(x)<0.
课时跟踪检测(二十三)
1．选C　因为y＝f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)，故点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上．
2．选C　f(x)＝x3的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，故A错误；f(x)＝x＋定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，故f(x)＝x＋为奇函数，故B错误；f(x)＝x2的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故f(x)＝x2为偶函数，故C正确；f(x)＝－2x的定义域为R，且f(－x)＝2x＝－f(x)，故f(x)＝－2x为奇函数，故D错误．
3．选AC　因f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(－1)＋g(1)＝3 －f(1)＋g(1)＝3，f(1)＋g(－1)＝5 f(1)＋g(1)＝5，解得f(1)＝1，g(1)＝4.即A、C都正确；而f(－1)＝－1，g(－1)＝4，即B、D都不正确．
4．选C　因为当05．选BCD　因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称．又因为函数f(x)的定义域为[m－1,2m]，
所以m－1＋2m＝0，解得m＝.故A错误；又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝mx2－nx＋3m＋n＝f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.所以函数的解析式为f(x)＝x2＋1，定义域为，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，所以当x＝±时，f(x)取得最大值.故选BCD.
6．解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，因为函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
7．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a.故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
8．解析：因为函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，不妨取f(x)＝－x2＋1，二次函数f(x)＝－x2＋1的对称轴为y轴，该函数为偶函数，且f(x)＝－x2＋1≤1，即函数f(x)＝－x2＋1的值域为(－∞，1]，符合题意．
答案：－x2＋1
9．解：(1)因为函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)，所以f(2)＝1，即2－＝1.解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x－＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
10．解：(1)∵当x≤0时，f(x)＝－x＋1，
∴f(0)＝1.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(2)＝f(－2)＝－(－2)＋1＝3，即f(2)＝3.
(2)令x>0，则－x<0，从而f(－x)＝x＋1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝x＋1.
∴当x>0时，f(x)＝x＋1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
11．选A　令g(x)＝ax＋bx3，则g(－x)＝－ax－bx3＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．又g(x)＝f(x)－2 024，所以g(－2)＝f(－2)－2 024＝－2 022.因为g(2)＝－g(－2)＝2 022，所以f(2)＝g(2)＋2 024＝4 046.
12．选ACD　因为f(x)＝的定义域是R，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确，B错误；因为|f(x)|＝＜1，所以－1＜f(x)＜1，故C正确；因为函数f(x)在(0，＋∞)上可化为f(x)＝＝1－，所以奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在x＝0处f(x)连续，则f(x)在其定义域内是增函数，故D正确．
13．解析：f(x)＝＝1＋，则f(x)－1＝是奇函数，∴f(a)－1＋[f(－a)－1]＝0.又f(a)＝，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－＝.
答案：
14．解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)．又函数f(x)的定义域为R， x∈R，都有－x∈R，故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.
15．解：(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，即f(0)＝0，
任取x∈(－1,1)，则－x∈(－1,1)，
f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)在(－1,1)上为奇函数．
(2)判断函数f(x)在(－1,1)上单调递减．
任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f，因为－10，x2－x1>0，
所以1－x1x2－x2＋x1＝(1－x2)(1＋x1)>0，即1－x1x2>x2－x1，所以0<<1，所以f<0，
即f(x2)－f(x1)<0，得f(x2)所以函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减．
(3)f(x－1)＋f(x)<0，即f(x－1)<－f(x)＝f(－x)，因为函数单调递减，
所以需满足解得

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