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2024－2025学年度第二学期教学质量检查
高一数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C B C A D
二、多项选择题（全部选对的得 6分，选对但不全的部分得分，有选错的得 0分）
题号 9 10 11
答案 BCD BC ACD
三、填空题
12 92 13 5
7 11
． ． 14． ，
5 4 6
四、解答题
15．解：（1）由正弦定理得 3sin BsinC sinC cosB 0，.............................................. 2分
因为C 0,π ，所以 sinC 0，..................................................................................................3分
所以 3sin B cosB 0，即 cosB 3sin B，......................................................................4分
因为 B 0,π ，所以 sinB 0，..................................................................................................5分
所以 tan B 3 ，............................................................................................................................ 6分
3
所以 B ．......................................................................................................................................7分
6
（2）方法 1：由余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB，得 a2 3a 4 0，............................. 9分
解得 a 4或 a 1（舍去），.................................................................................................... 11分
S 1 ac sin B 1 4 3 1所以 ABC 3．...................................................................... 13分2 2 2
3 1
方法 2：由正弦定理得 sinC csin B 21 2 ，........................................................ 8分
b 7 14

因为 c b，所以C B ，所以 cosC 1 sin2C 5 7 ，......................................... 9分6 14
所以 sin A sin(B C) sin BcosC cosBsinC 1 5 7 3 21 2 7 ，...... 11分
2 14 2 14 7
1 1 1
所以 S ABC ac sin B 4 3 3．...................................................................... 13分2 2 2
10a 10b 0.4
16．解：（1）由题意得 ，..............................................................2分
10(0.04 0.015 a) 0.6
a 0.005,
解得 ..............................................................................................................................4分
b 0.035.
所以考试成绩的众数的估计值为 75，.............................................................................................5分
平均数的估计值为55 0.05 65 0.35 75 0.4 85 0.15 95 0.05 73．..................7分
（2）记②组、④组的平均数与方差分别为 x 2 21, x2 , s1 , s2 ，
则 x1 64, x2 84, s
2
1 50, s
2
2 70，...................................................................................................8分
由题意得②组、④组分别有 14人、6人，...................................................................................10分
所以②组、④组学生成绩的平均数为 x 14 x 6 14 6 1 x2 64 84 70，.......... 12分20 20 20 20
所以②组、④组学生成绩的方差为
S 2 14 2 2 6 2 s1 x1 x 2 s2 x2 x .........................................................................13分20 20
7
50 64 70
2 3


70 84 70
2
，............................................................... 14分10 10
140，
所以②组和④组所有学生成绩的方差为 140. ..............................................................................15分
17．（1）证明：如图，连接 AC，................................................................................................1分
因为四边形 ABCD是正方形，所以点 E是 AC的中点，
又因为 F 是 AP的中点，
所以 EF是VACP的中位线，.........................................................................................................3分
所以 EF // PC，................................................................................................................................ 4分
又因为 EF 平面 PBC ，PC 平面 PBC ，.............................................................................6分
所以 EF //平面 PBC ．.................................................................................................................... 7分
（2）如图，连接 EP，由（1）得 E是 AC中点，
因为 PA PC，所以 EP AC，................................................................................................. 8分
又因为底面 ABCD是正方形，且 AC， BD为对角线，
所以 BD AC ，...............................................................................................................................9分
又因为 BD EP E ， BD， EP 平面 PBD，....................................................................10分
所以 AC 平面 PBD ......................................................................................................................11分
所以直线 PC与平面 PBD所成角为 CPE，........................................................................... 12分
因为在 RtVCPE中，CE 2 ，PC 2 2，....................................................................... 13分
所以 sin CPE CE 1 ，.........................................................................................................14分
PC 2

因为 CPE为锐角，所以 CPE ，所以直线 PC与平面 PBD所成角的大小为 ．15分
6 6
18．解：（1）①当 n 4时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间 1 { (1,1)，(1, 2)，(1,3)，(1, 4)，
(2,1)，(2, 2)，(2,3)，(2, 4)，(3,1)，(3, 2)，(3,3)，(3, 4)，(4,1)，(4, 2)，(4,3)，(4, 4)}，
所以 n( 1) 16，............................................................................................................................. 3分
记“游戏结果大于 5”为事件 A，则事件 A包含的样本点包括 (2,3)，(2, 4)，(3, 2)，(3,3)，(3, 4)，
(4, 2)， (4,3)， (4, 4)，所以 n(A) 8，.................................................................................... 4分
由古典概型得 P(A)
n(A) 8 1

n( ) 16 2 ，..................................................................................... 5分 1
1
同理“游戏结果小于 5”的概率也是 ，
2
所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的......................................................................... 6分
②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，
由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行 2次“点数游戏”，假设再进行 2次“点数游戏”，
则 2次“点数游戏”比赛结果的样本空间 2 {（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲
胜），（乙胜，乙胜）}，所以 n( 2 ) 4，...............................................................................8分
记“甲赢得比赛”为事件 B，则事件 B包含的样本点包括（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙
胜，甲胜），所以 n(B) 3，.........................................................................................................9分
由古典概型得 P(B)
n(B) 3

n( ) 4，.............................................................................................10分 2
所以“乙赢得比赛”的概率为 P(B) 1 P(B) 3 1 1 ，................................................ 11分
4 4
3
所以甲分配奖金100 75 1元，乙分配奖金100 25．................................................12分
4 4
（2）当 n 8时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间 3 { 1, 2,3, 4,5,6,7,8}，所以 n( 3 ) 8，
............................................................................................................................................................ 13分
构造事件M {1, 2,3, 4}， N {1, 2,3,5}，Q {1,6,7,8}，................................................ 14分
则MNQ {1}，MN {1, 2,3}，MQ {1}， NQ {1}，.....................................................15分
1 1 3
由 古 典 概 型 得 P(M ) P(N ) P(Q) ， P(MNQ) ， P(MN ) ，
2 8 8
P(MQ) P(NQ) 1 ，............................................................................................................... 16分
8
所 以 P(MNQ) P(M )P(N )P(Q) ， P(MN ) P(M )P(N ) ， P(MQ) P(M )P(Q) ，
P(NQ) P(N )P(Q)，满足题意．............................................................................................ 17分
1
19．解：（1）因为 S BCD BC CD 5，2
所以当三棱锥 A BCD的体积最大时，即点 A 到平面 BCD的距离最大，此时平面 A BD 平面
BCD，.................................................................................................................................................1分
如图，过 A 作 A H BD于H ，连接CH ，
因为平面 A BD 平面 BCD，且平面 A BD∩平面 BCD BD， A H 平面 A BD，
所以 A H 平面 BCD，.....................................................................................................................3分
因为在矩形 ABCD中， AB 5， AD 2 5，
2 5
所以在Rt BA D中， A B 5， A D 2 5， cos CBD ，
5
所以 BD 5， A H 2，故 BH 1，
2 2 2所以HC BC 2 5 BH 2 2BC BH cos CBD 2 5 12 2 2 5 1 13，5
故HC 13，
所以 A C A H 2 HC2 4 13 17 ，
2 2 2
cos A DC A D DC A C (2 5)
2 ( 5)2 ( 17)2 2
所以 ，
2 A D DC 2 2 5 5 5
所以 sin A DC 1 cos2 21 A DC ，
5
所以 A CD S 1的面积 A D DC sin A DC 1 2 5 5 21 21 ，............. 5分
2 2 5
设点 B到平面 A CD的距离为 d，
1 1
则由VB A CD VA BCD，得 S△A CD d S△BCD A H ，3 3

d S△BCD A H 5 2 10 21所以 ．................................................................................... 6分
S△A CD 21 21
（2）如图，在矩形 ABCD中作 A H 的对应线段 AH ，延长 AH 的交 BC于G，
1 1
在Rt BHG中，由 BH 1， tan DBC ，所以HG BG 5， ，2 2 2
如图，在三棱锥 A BCD中，
由 A H BD，GH BD，所以 A HG为二面角 A BD C 的平面角，即 A HG 120 ，
.............................................................................................................................................................. 8分
2
在△A HG中， A G2 A H 2 HG2 2 A H HG cos A HG 22 1 1 1 21 2 2 ( ) ，
2 2 2 4
............................................................................................................................................................ 10分
2
2 5 5 21 2 2
△A BG
2 2 4
在 中， cos A BG A B BG A G 1 ．.......................12分
2A B BG 5
2 5 5
2
cos cos cos
（3）结论： cos ．.................................................................................13分
sin sin
证明：如图，过 EF 上一点 P作 PM EF 交 EO于点M ，作 PN EF 交 EG于点 N ，连接
MN，则 MPN即二面角O EF G的平面角，
1 sin
方法一：设 PE 1 ,则在 MEP中，得ME ,MP ，
cos cos
1 sin
同理在 NEP中，得 NE ,NP cos cos
在 MEN 中，由余弦定理得MN 2 EM 2 EN 2 2EM EN cos
1 2
2
1 1 1 cos cos
2 cos ..................................................................... 15分
cos cos
MP2 NP2 MN 2
在 MPN 中，由余弦定理得 cos
2MP NP
sin2 sin2 ( 1 1 2cos )
cos
2 cos2 cos2 cos2 cos cos cos cos cos
sin sin .................... 17
分
2 sin sin
cos cos
方法二：在 MPN 中，由余弦定理得MN 2 MP2 NP2 2MP NP cos ，①
在 MEN 中，由余弦定理得MN 2 EM 2 EN 2 2EM EN cos ，②
② ①，得 (EM 2 MP2 ) (EN 2 NP2 ) 2EM EN cos 2MP NP cos 0，
则2EP2 2EM EN cos 2MP NP cos 0，
即EP2 EM EN cos MP NP cos 0，....................................................................... 15分
2
MP NP EP EM EN cos 两边同除以 ，得 cos 0，
MP NP MP NP
EM EN EP EP 1 1
所以 cos cos cos
1 1
，
MP NP MP NP sin sin tan tan
cos cos cos cos 所以 ，即 cos
cos cos cos
，得证.................. 17分
sin sin sin sin sin sin 2024一2025学年度第二学期教学质量检查
高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑，
1.已知复数z=
5
(i是虚数单位)，则z=
2-i
A.2-i
B.2+i
C.-2+i
D.-2-i
2.若{名，已}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是
A.{8,g+8}
B.{8+8,-8}
c.{6+6,-2g+26
D.{g-6,-2g+28}
3.投掷两枚硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚反面朝上”，则事件A与事
件B的关系为
A.相等
B.互斥
C互为对立
D.相互独立
4.在复平面内，O为坐标原点，复数-1+i,1-2i对应的向量分别是OA,OB,则AB对应
的复数为
A.-2+3i
B.i
C.2-3i
D.-i
5.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为3√10π，则该圆台的体积为
A.
7π
B.7π
π
3
C.3
D.2π
6.己知m,n是两条不重合的直线，α，B是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是
A.若m⊥a,m∥n,且a⊥B,则n∥B
B.若m⊥a,m⊥n,且a⊥B,则n⊥B
C.若m⊥a,n∥B,且a∥B,则m⊥n
D.若m∥a,n∥B,且a∥B,则m∥n
7.甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目
的概率为子，每轮对题目的概率为十醒活玉中，用、乙对与香互不，结果地
不影响则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为
A
B.3
c
D
.如图，欲测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,在C,
D两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，并测得∠BDC=120°，CD=30m,则塔
高AB为
A.15v3m
B.15m
C.30v2m
D.30m
高一数学第1页（共4页）
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答
题卡中的相应位置涂黑，
9.已知随机事件A与8，若P化=子P心)-子则下列结论正确的有
A.P(A)>P(B)
B.若A与B相互独立，则P(aB)=
12
C.若BEA,则PAUB)=3
4
D.若AUB=Q,则P(AB)=5
12
10.下列有关向量与复数的结论正确的有
A.若非零向量a,b,c满足a.b=a.c,则i=
B.若非零复数31，z2,23满足3122=z123,则22=z3
C.若非零向量a,6满足a-=a+列，则a.6=0
D.若非零复数，22满足名-2=名+z,则名2=0
11.在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=BB=2,则下列结论正确的有
A.若点D在线段BB,上，则DA+DC的最小值为25
B.该三棱柱可完全放入体积为6π的球中
C.表面积为π的球可以完全放入该三棱柱中
D.若动点P满足BP=√后，则动点P在侧面ACCA形成的轨迹长度为π
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12.从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87,85,83,90,92,93（单位：分），则
这6名同学数学成绩的第75百分位数为（单位：分）.
13.在长方形ABCD中，AB=2,AD=3,E为AB的中点，F为BC边上靠近C的三等分点，
AF与DE交于点M,则cOs∠EMF=_
14.已知正四棱柱ABCD-ABGD中，AA=2AB=2,在A8,BB,BC的中点各有一个孔O,
P,2若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为」
；若此四
棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为
高一数学第2页（共4页)

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