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阶段质量评价(四)　第五章　三角函数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.某学校大门口有一座钟楼,每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景,有一天因停电导致钟表慢10分钟,则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是 (　　)
A.- B.-
C. D.
2.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α等于 (　　)
A.- B.
C.- D.-
3.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于 (　　)
A. B.
C. D.1+
4.已知tan α和tan是方程ax2+bx+c=0的两根,则a,b,c的关系是 (　　)
A.b=a+c B.2b=a+c
C.c=a+b D.c=ab
5.已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数是 (　　)
A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为
6.一台“傻瓜”计算器只会做以下运算:1减去输入的数并将得到的差取倒数,然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器,如此不断地进行下去.若第一次输入的是cos2α,则第2 024次输出的是 (　　)
A.-tan2α B.-sin2α
C.cos2α D.
7.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为 (　　)
A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
8.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示,记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,若=5,则sin α+cos α的值为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.下列函数中,其图象关于点对称的是 (　　)
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=tan
10.下列代数式的值为的是 (　　)
A.cos275°-sin275° B.
C.sin 15°sin 105° D.2cos 20°cos 40°cos 80°
11.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx(ω>0)的相邻两条对称轴间的距离为,则下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的最小值为-
B.函数f(x)在上单调递减
C.函数f(x)的图象关于点中心对称
D.函数f(x)的图象是由函数g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度得到的
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　　;f=　　　　.
13.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载,是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期,折扇开始逐渐地成为主流.如图,该折扇扇面的外弧长为51,内弧长为21,且该扇面所在扇形的圆心角约为135°,则该扇面的面积约为　　　　.(π≈3)
14.已知x∈,函数f(x)=2sin2+sin+3m,若f(x)<2恒成立,则m的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求函数y=tan的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性,并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到.
16.(15分)设f(x)=6cos2x-sin 2x.
(1)求f(x)的最大值及最小正周期;
(2)若锐角α满足f(α)=3-2,求tanα的值.
17.(15分)某同学在研究函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象与性质时,采用“五点法”画简图列表:
x - x1 x2 x3
ωx+φ 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
(1)根据表中数据,求出ω,φ及x1,x2,x3的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
18.(17分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为,且函数f(x)图象的一个对称中心为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)确定f(x)在上的单调递增区间.
19.(17分)设函数f(x)=4sin ωxcos-1的最小正周期为π,其中ω>0.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+m在x∈上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围.
阶段质量评价(四)
1.选A　分针需要顺时针方向旋转60°,即弧度数为-.
2.选C　由题意得P(1,-),它与原点的距离为2,∴sin α=-.
3.选C　∵cos 75°=sin 15°,∴原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+×=.
4.选C　由根与系数的关系,得tan α+tan=-,tan αtan=,所以tan=tan===1,得c=a+b.
5.选D　由题意,知函数f(x)定义域为R,且f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.又f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2+,故最大值为.故选D.
6.选A　由已知可得第一次输出的是=,第二次输出的是=-tan2α,第三次输出的是=cos2α.于是,可知周期为3,又2 024=674×3+2,所以第2 024次输出的数和第二次输出的数相同,是-tan2α.故选A.
7.选B　将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度 ,得到函数y=2sin=2sin的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).
8.选A　设大正方形的边长为a,则直角三角形的两直角边分别为asin α,acos α,故S1=a2,S2=a2-4×asin α·acos α=a2(1-2sin αcos α),则==5,所以sin αcos α=.又α为锐角,则sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α==.故选A.
9.选BCD　当x=时,sin=sin≠0,A不是;当x=时,sin=0,B是;当x=时,cos=0,C是;当x=时,2×+=,正切值不存在,D是.故选BCD.
10.选CD　cos275°-sin275°=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-,故A不正确;=×=tan 45°=,故B不正确;sin 15°sin 105°=sin 15°sin(15°+90°)=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故C正确;2cos 20°cos 40°cos 80°=
===·=,故D正确.故选CD.
11.选ABC　因为f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx=sin 2ωx+=sin+,且相邻两条对称轴间的距离为,所以T==2×.解得ω=1,即f(x)=sin+,所以函数f(x)的最小值为-1+=-,故A正确;当≤x≤时,≤2x+≤,故f(x)=sin+单调递减,故B正确;当x=-时,f=0+=,所以函数关于中心对称,故C正确;由函数g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度得到y=sin+=sin+的图象,故D错误.
12.解析:依题意得f=A·-×=0,解得A=1,所以f(x)=sin x-cos x=2sin,所以f=2sin=-.
答案:1　-
13.解析:易知135°=,根据题意可知扇面的面积为S=××51-××21=×(30×72)≈480.
答案:480
14.解析:由题意,
得函数f(x)=2sin2+sin+3m=1-cos+cos 2x+3m=3m+1-2sin.
因为x∈,所以2x-∈,所以3m-1≤f(x)≤3m+1,因为f(x)<2恒成立,所以3m+1<2,解得m<.所以实数m的取值范围是.
答案:
15.解:要使函数有意义,则3x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z.所以函数的定义域为,值域为R,该函数的最小正周期为T=.因为函数的定义域不关于原点对称,所以该函数为非奇非偶函数.令-+kπ<3x-<+kπ,k∈Z,解得-+16.解:(1)因为函数f(x)=6cos2x-sin 2x=3+3cos 2x-sin 2x=2+3=2cos+3,所以函数f(x)的最大值为2+3,最小正周期T==π.
(2)因为锐角α满足f(α)=3-2,由(1)可知2cos+3=3-2,所以cos=-1.又因为0<α<,所以<2α+<.故2α+=π,解得α=.所以tanα=tan=.
17.解:(1)由表中数据知f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2,
∴f=sin=0,
∴-+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<,∴φ=.
由2x1+=,解得x1=;
由2x2+=,解得x2=;
由2x3+=2π,解得x3=.
(2)由(1)知f(x)=sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
∴f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
18.解:(1)设函数f(x)的周期为T,由题设得= T=π ω=2.又∵为f(x)图象的一个对称中心,∴f=0 sin=0.又∵|φ|<,∴φ=.故f(x)=sin.
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴f(x)在(k∈Z)上单调递增.当k=0时,f(x)在上单调递增,
又∵∩=,
∴f(x)在上的单调递增区间为.
19.解:(1)由题意,得f(x)=4sin ωxcos-1=2sin ωx·cos ωx+2sin2ωx-1=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.∵f(x)的最小正周期为π,且ω>0,∴=π,解得ω=1.∴f(x)=2sin.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin,当x∈时,u=2x-∈.令F(u)=2sin u,则F=F=1.∵F(u)=2sin u在上单调递增,在上单调递减,
∴F(u)max=F=2.∵函数g(x)=f(x)+m在x∈上有两个不同的零点,∴函数y=f(x)与y=-m两图象在x∈上有两个不同的交点.∴函数y=F(u)与y=-m两图象在u∈上有两个不同的交点.∴1≤-m<2,解得-2

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