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2024-2025高二3月份数学测试题
考试时间：100分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分）
1．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数= ,则（ ）
A.f(a)=f(b) B.f(a)f(b) D.f(a),f(b) 的大小关系不确定
5．已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．6 B．12 C．24 D．12或24
7．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，全部选对得全部分值，部分选对得部分分值，有错误选项不得分）
9．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．极大值点仅有一个
C．无最大值，有最小值
D．当时，关于的方程共有3个实根
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，则
B．若，则函数在上单调递增
C．若，则函数在上的最小值为
D．若，则
11．函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是上的函数，则为上的函数
B．，是上的函数
C．是上的函数，则
D．命题“是上的函数”的一个必要条件为“”
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分）
12．设一个四位数的个位数、十位数、百位数、千位数分别为a，b，c，d，当时，称这个四位数为“和对称四位数”，且为这个“和对称四位数”的对称和，例如8440是一个“和对称四位数”，其对称和为8，则对称和不大于4的“和对称四位数”的个数为 ．
13．已知函数，若对0，则实数的取值范围为 ．
14．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
四、解答题
15．（13分）已知函数在处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
16．（15分）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围．
17．（15分）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值；
(2)讨论的零点个数．
18．（17分）已知函数．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．
19．（17分）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)判断的单调性，并说明理由；
(3)证明：.（证明时可使用下列结论：当时，成立）.
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C D C A A BC BCD
题号 11
答案 ABD
12．40
13．
14．/
15．（1）由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
16．因为，所以，
若在上存在单调递增区间，
则当时，有解，即有解，
，即，故的取值范围是．
17．（1）由题意可得，则，解得．
（2）令，解得或．
设函数．
当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点．
当时，易证是R上的增函数，
因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点．
当时，．
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故．
当时，，所以没有零点，则有唯一的零点；
当时，，所以有一个零点，则有两个零点；
当时，，
因为，，
所以有两个小于0的零点，则有三个零点．
综上，当时，有唯一的零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
18．（1）由，则可得不等式，
由，则，令，
求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得.
（2）由，则，令，
求导可得在上恒成立，
则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由是函数的极值点，则，即，
由，则，
所以.
19．（1），
，
令，等号不同时取，
所以当时，在上单调递增， .
①若，即在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，
此时，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，
使得，且当时，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是；
（2），令，
则，即
，
所以在上单调递增，
即当时，，所以在内单调递增.
（3）由（2）得，当时，，
所以当时，.
又当时，成立，
所以当时，，
即.
所以当时，.
答案第1页，共2页

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