资源简介

2024-2025学年高二下数学期末模拟试卷1
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
4．已知变量和的统计数据如下表：
1 2 3 4 5
0.9 1.3 1.8 2.4 3.1
若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ）
A．5.75 B．7.5 C．7.55 D．8
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
0 1 2
6．已知随机变量的分布列，则（ ）.
A． B． C． D．
7．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ）
A．144种 B．162种 C．216种 D．288种
8．已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（ ）
A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多
B．被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关不会受到被调查的男女生人数影响
D．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响
10．下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强
B．若一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2
C．若随机变量X服从正态分布，，则
D．若，，，则
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则的取值范围是
B．点为曲线的对称中心
C．若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D．若存在极值点，且，其中，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二项式的展开式的常数项是 .
13．已知直线是的切线，则切点坐标为 .
14．甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
痊愈 未痊愈
A药剂 75 25
B药剂 85 15
15．某医疗机构研发处治疗同一种疾病的两种药剂，为了解它们的临床效果，从已患该疾病的病例中随机抽取200例，随机平均分成两组，一组使用药剂治疗，另一组使用药剂治疗，经过一个疗程的治疗，得到如下数据（单位：例）
(1)根据上表，分别估计使用药剂经过一个疗程的治疗后被治愈的概率；
(2)能否有90%的把握认为药剂的治疗效果有差异？
附：，其中.
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16．已知函数.
(1)若是的极值点，求在上的最大值和最小值；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围.
17．科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理 化学 生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛 复赛，甲 乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)设随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
(2)求甲 乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.
生产线 抽取件数 平均误差 标准差
30 0.2 2.1
20 1.1
18．甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如右表：
(1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差；
(2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品．
（i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数；
（ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由．
附：若随机变量服从正态分布，则，．
参考数据：，．
19．已知函数，.
(1)若恒成立，求实数的取值范围.
(2)证明：当时，.2024-2025学年高二下数学期末模拟试卷1答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A D B A B BD BCD
题号 11
答案 BCD
1．A【分析】根据交集定义计算求解.
【详解】集合，集合，则集合.故选：A.
2．C【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故选：C
3．C【分析】结合简单的极限运算，根据导数的定义求解即可.
【详解】.故选：C
4．A【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入即可.
【详解】，，
所以，即，令，解得.故选：A.
5．D【分析】举反例和可得出.
【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到；
若，则满足，但不满足，故无法得到，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D
6．B【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解.
【详解】由分布列性质可知，，解得，.故选：B
7．A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.
【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，
第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，
剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；
第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，
分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，
从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.
故这三名同学选取图书的不同情况有种.故选：A.
8．B【分析】将变形为，借鉴“1”的妙用的处理方式，以及基本不等式求解即可.
【详解】
因为，
故；
当且仅当，且，也即，且时取得等号.
故的最小值为.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题处理的关键是能够观察到三者之间的关系，同时要熟练掌握“”的妙用的处理方式.
9．BD【分析】根据统计图，结合图中所提供的数据逐一判断即可.
【详解】因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能确定喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多，因此选项A不正确；
由统计图中可以确定被调查的男生中喜欢登山的人数的百分比为，所以被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多，因此选项B正确；
因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能由卡方公式进行计算判断，所以选项C不正确，选项D正确，故选：BD
10．BCD【分析】由相关系数的实际意义判断A；由方差性质判断B；根据正态分布对称性求概率判断C；应用全概率公式、条件概率公式求概率判断D.
【详解】A：相关系数r的绝对值越大，两变量的线性相关程度越强，错；
B：由，则，对；
C：由正态分布的对称性知：，对；
D：由，而，
所以，对.故选：BCD
11．BCD【分析】对于A ，求导可得对恒成立，可求以的取值范围判断A；对于B ，通过平移可得，令，可得为奇函数可判断B；对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可判断C；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案可判断D.
【详解】对于A，由，可得，
若在上单调递增，则对恒成立，所以对恒成立，
所以对恒成立，所以，所以的取值范围是，故A错误；
对于B，由，可得，
又，
所以，令，
又，所以关于原点对称，
所以点为曲线的对称中心，故B正确；
对于C ，因为，，
所以，所以，
设切点为，则切线的斜率，化简得，
由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根，
记，所以，
令，解得或，当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，当，，所以在上单调递增，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，因为，
所以，
当，在上单调递增；当，由，解得或，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因为存在极值点，所以，得，
令，所以，因为，于是，
又
，
所以化简得：，
因为，所以，于是，.所以，故选项D正确.故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查切线方程及函数对称性，关键是利用导数求得函数的单调性结合对称性解决D.
12．/【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项.
【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为：
，进一步化简得.
令，即.将代入通项公式得.故答案为：.
13．【分析】设切点为，，可写出切线方程，与题设切线方程对照进而求出切点.
【详解】设切点为，又，于是切线方程为，即.由得则切点为.
【点睛】理解切点，切线斜率以及曲线在切点处的导函数三者之间的关系是本题解题的关键.
14． 【分析】第一空：分析出情况的概率，结合事件的含义求解即可，第二空，列举出具体的样本点，结合二项分布求解即可.
【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以；
若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为
所以．故答案为：
15．(1)0.75，(2)有90%的把握认为A，B药剂的治疗效果有差异
【分析】（1）根据频率估计概率即可求解；（2）根据卡方公式计算，查表对照即可判断..
【详解】（1）由题表中数据可知，使用A药剂被治愈的频率为，故估计使用A药剂被治愈的概率为0.75，
使用B药剂被治愈的概率为，故估计使用B药剂被治愈的概率为0.85；
（2），因为，
所以有90%的把握认为A，B药剂的治疗效果有差异.
16．(1)最大值为，最小值为.(2)
【分析】（1）根据是的极值点求出，分析单调性即可求出最值；
（2）转化为在恒成立，即在恒成立，利用单调性求出在上的最小值即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，且，即，
∴，则，且.
令，得（舍）.
当时，，当时，，
即当时，的极小值.
又，
∴在上的最小值是，最大值是.
（2）因为在上是增函数，即在上恒成立，
∴在上为增函数，
当时，，即.
17．(1)分布列见解析， (2)
【分析】（1）根据已知描述的所有可能取值为，求出各情况概率，即可得到其分布列，再根据分布列计算得出其数学期望；
（2）甲 乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的情况为甲队得0分，乙队得15分或甲队得5分，乙队得10分，计算得出两种情况概率，由互斥事件概率的计算得出两概率之和即是答案.
【详解】（1）的所有可能取值为，
所以，
，
，
，
的分布列为：
0 5 10 15
所以.
（2）甲 乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的情况为甲队得0分，乙队得15分或甲队得5分，乙队得10分，
记“甲队得0分，乙队得15分”为事件，“甲队得5分，乙队得10分”为事件，
，
，
所以，
即甲 乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率为.
18．(1)平均数为0，标准差为1.79．
(2)（i）680件；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据已知条件和平均数和方差的公式求出平均数和方差，然后即可求得标准差.
（2）对于（i），根据正态分布的性质可求得零件是一等品的概率值，进而可得到一等品的件数；对于（ii），首先列出的表达式并化简，然后根据单调性确定其是否有最大值并求得的值.
【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为，方差为，则
，
，
所以．
所以这50件零件尺寸的误差的平均数为0，标准差为1.79．
（2）（i）由（1）得零件尺寸的误差服从正态分布，
则，
零件是一等品的概率估计为0.68，，
所以估计其中一等品的件数约为680件．
（ii）第次检测停止，即前次抽到3件二等品，第次抽到第4件二等品，
则当时，．
当时，由， 解得．
所以当时，单调递增；当时，单调递减．
综上，存在最大值.当时，取得最大值．
19．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）构建，分类讨论，利用单调判断原函数单调性，结合恒成立问题分析运算；
（2）由（1）分析可得：，进而可得，构建，利用导数证明，进而可得结果.
【详解】（1）构建，
原题意等价于恒成立，
可得的定义域为，且，
当时，且，则，可得恒成立，
则在上单调递减，且，不合题意；
当时，且，则有：
令，解得；令，解得；
可得在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围.
（2）由（1）取可得：，当且仅当时，等号成立，
则，即，当且仅当时，等号成立，
当时，则，可得，即，且，
所以，
即时，；
构建，
则，
因为，则，可得恒成立，
则在上单调递减，可得，
即；
所以当时，.

展开更多......

收起↑