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第十章 排列、组合和二项式定理
1.分类计数原理和分步计数原理
（1）分类相加原理：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中又有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中又有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N= m1+ m2+……+mn种不同的方法。
（2）分步相乘原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，在第n类方法中又有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N= m1× m2×……×mn种不同的方法。
分类原理和分步原理的比较

分类
分步
相同点
目的是为了计算完成一件事的方法数
不同点
①每一类方法中的任一方法使出，任务即完成（一招使出即致敌死命）；
②各类方法相互独立；
③完成这件事的方法数为各类数的总和。
①一步完成，任务没法完成（功力不足，一招无法致敌死命）；
②各步骤相互联系，所有步骤完成任务才完成；
③完成这件事的方法数为各步骤的积。
在解具体题目时，要明确:任务是什么?有什么要求？在这个要求下，任务是一步完成还是分步？从而确定是加法原理还是乘法原理。
例（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有______种。（答：任务是投放5封信。一封信一封信地放，每一封信都有3种放法，所有信放完，任务结束。故共有3×3×3×3×3=35种）；
（2）从4台甲型和3台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有_____种。（答：任务是选3台电视，要求甲乙至少各有一台，故只有两类取法，甲2乙1或者甲1乙2，故共有×+×=30，若是甲乙先各取一台，然后从剩下的那堆电视机中任选一台，故共有4×3×5=60，是30的2倍，这种做法是错的。错因：第一步甲乙各一台的时候，如取的是1A，第二步任取一台取的是B，就和第一步取的是1B第二步取的是A重复，也就是说每一种取法都重复了一次。）；
（3）从集合A={1，2，3}和B={1，4，5，6}中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是______（答：任务是确定x、y值，构造不同点的坐标。构成点的x、y有两种来源；①x从A中取，y从B中取，不同的点有3×4=12个，② x从中B取，y从A中取，有4×3=12个，相当于交换x、y坐标，但注意到（1，1）交换x、y位置后仍然不变，故总数为3×4+4×3﹣1=23个）。
2.排列
（1）排列定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如从1，2，3，4中取出1，2两个数，然后按从小到大排成一排，即为12.
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个的排列数，用符号表示。
（2）排列数公式 =n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)= （m，n∈N*，且m≤n）
把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时排列数为
= n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！
注：n！就是正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘，规定0！=1
3.组合
（1）组合定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个的组合数，用符号表示。
（2）组合数公式 （m，n∈N*，且m≤n）
（3）组合数的性质
性质１　　 性质2
4.主要解题方法
（1）优限法：受限元素或者受限位置优先安排。
例：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的六种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有______种。（答：6种材料4个位置，办公室不用1号石材，所以先从其余5种选出一种装饰办公室，再从包括1号的剩下的5种中选出3种装饰另外3处地方，共有5=300）。
（2）插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入。
例：① 3人坐在一排八个座位上，若每人的左右两边都有空位，则不同的坐法种数有______种（答：三个人要坐3把椅子，将没人坐的5把椅子摆成一排，因为椅子没区别，故不能排列，然后三个人搬着他们的椅子插入到中间4个空隙中，○^○^○^○^○，有种；② 某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入种数为_______（答：问插入种数，故原来的排法数不能算进来。5个节目产生6个空隙，节目插进来时又分两类，相邻——内部还有先后，有；不相邻有，共有42种，或者用连续插入的办法，先插入第一个节目，有六个空隙，种方法，第一个节目插进去之后，有７个空隙，第二个节目有种方法，共与＝４２种）。③ 4个男生3个女生排成一排，要求女生不相邻，则有____种不同排法（答：^○^◎^□^回^。
（3）捆绑法：对于某几个元素要求相邻的问题，可把需要相连的元素捆绑在一起，看成一个大元素，和其余元素排好之后松绑，内部再排。
例：①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为________.(答：把女生捆在一起和4个男生全排是，然后女生再排，是，共有=2880)； ②某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰有3枪连在一起的情况的不同种数为_________.(答：不中的4枪都一样，是相同元素，它们隔出5个空隙，把中的3枪捆在一起看成一个元素，与另一次打中的不能相邻，问题就成了把2个元素插入到5个位置中，^○^○^○^○^，有种)。
（4）隔板法；相同元素分组问题用隔板法，就是在n个相同元素间的(n-1)个空中插入若干个（b）隔板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
例：①10个相同的球分给3个人，每人至少一个，有多少种分法？每人至少两个呢？（答：在10个球之间的空隙插入两块隔板即可把球分成3堆，每堆至少一个，○|○|○|○|○|○|○|○|○|○，故共有=36种；若要求至少2个，则三个人先取走了6个，问题成了剩下四个球如何分给甲乙丙三人，仍然用隔板法。一.两个隔板放置在不同位置：^○^○^○^○^，种。二.两个隔板放置在同一位置：种。故共有15种。有穷举法：甲0乙0丙4；甲0乙1丙3；甲0乙2丙2；甲0乙3丙1；甲0乙4丙0；甲1乙0丙3；甲1乙1丙2；甲1乙2丙1；甲1乙3丙0；甲2乙0丙2；甲2乙1丙1；甲2乙20丙； 甲3乙0丙1；甲3乙1丙0；甲4乙0丙0.共15种）。
（5）排除法，反面明了，用总数减去不符合要求的。
例：在平面直角坐标系中，由六个点O(0,0)、A(1,2)、B(2,4)、C(6,3)、D(-1,-2)、E(-2,-1)可以确定多少个三角形？（答：注意到OABD共线，OCE也共线，故共有种）。
（6）无序问题－退序法。
例：①有相同的5个红球和4个白球排成一列，有多少种不同的排法？
（答：若不考虑红球、白球内部的顺序，把红、白9个球全排列有种，由于红球、白球是相同的，所以红球、白球之间不需要有顺序关系，所以必须退序，即除以它们各自的全排列数，有）.
②7个人站成一排，甲乙丙所排次序固定不变（这三人可相邻也可不相邻），有多少种不同排法？（答：不考虑限制条件有，然后甲乙丙退序，有）
③４个苹果分给２个人，每人２个，有多少种分法？若是分成两堆，每堆２个，有多少种分法？（答：第一个问题中，先给第一个人２个，再把剩下２个给第二个人，有种。第二个问题与第一个问题不同，只要分成２堆，是没有顺序的，如第一次拿出的是ＡＢ，剩下ＣＤ做一堆，与第一次拿出的是ＣＤ，剩下ＡＢ一堆重复，故分好后要退序，总数为。
（7）分类法，互斥问题用分类法。例：某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽一辆车，则不同的抽法有多少种？（答：每个车队先各抽一辆车，剩下3辆车从7个车队抽出，分三类，来自1个车队有；来自2个车队有2；来自3个车队有，共有+2+=84种）
小结：在解排列组合问题时，一般来讲，特殊元素、特殊位置优先考虑，这就是从元素和位置两个角度分别考虑列式，叫元素分析法和位置分析法。这两种方法可以在同一道题中都用到。
例如，某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止。则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况数是_____(答：本题次品被发现的情况，故实质上是要排好前面5个位置，后面的5个不用管。先选出一只次品放在第五次的位置，其余三只放在前四个位置中的三个，余下一个位置放一只正品。____ ____ ____ ____ __5__, ).
本题先考虑的是元素（次品），然后考虑位置（前面5个位置中最后剩下的一个）。
4.二项式定理(a+b)n=
特别地：(1+x)n=
(1+1)n==2n
(1)二项展开式通项作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与某项的系数；
（2）二项式系数性质：对称性，；中间项最大，n为偶数，中间项只有一项，n为奇数，中间项是，和
二项式定理的应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。

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