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2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第三高级中学期末质量检测卷
高二 数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项.
1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
5．若随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
6．已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）
9．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ）
A．线段是异面直线与的公垂线段
B．异面直线与的距离为
C．点到直线的距离为
D．点到平面的距离为
10．下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为
B．函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数
C．曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是
D．直线上的点到曲线距离的最小值为
11．已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．增加两个样本点后的平均数为1.2
C． D．在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2
三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分）
12．已知直线与曲线相切，则 .
13．若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为 .
14．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 .
四、简答题：本大题共5小题，共77分,解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）求角A的取值范围；
（ⅱ）设，求面积的取值范围．
．
16.（17分）．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接.
(1)证明：平面；
(2)若，证明：平面；
(3)若二面角的正弦值为，求的长.
17.(15分)抛物线C：与直线：相切．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程．
18.(15分)继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表：
训练营 A B C D E F G H
参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48
(1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值；
(2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立．
（i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率；
（ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
19.（17分）已知函数，．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A B C D D ACD BC
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．
15.（1）因为，
所以，
所以，
而，从而，所以，
又因为，所以；
（2）（ⅰ）显然是锐角，
需满足，解得，
故角A的取值范围为；
（ⅱ）因为，，所以，
由正弦定理有，所以，
所以，
因为角A的取值范围为，
所以的取值范围为，的取值范围为，
的取值范围为，的取值范围为，
故.
16.（1）
如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且,
又因为，且，所以且,
故四边形为平行四边形，故,平面,平面,
所以平面.
（2）
如图，找的中点G，连接, 则,
因为,所以，又因为，，
所以四边形为正方形，所以,且,
在三角形中，,在三角形中，
因为,故, 又因为底面，底面,所以,
又因为且平面,所以平面.
（3）
如图，作交于M,作交于点N，连接,
由，，所以,所以,
又因为底面，且底面,所以,
又,且平面，所以平面,
因为平面,所以，又，且,平面，所以平面,
因为平面，所以,又，平面，所以平面,
所以二面角的平面角为,所以,
设，在三角形中，利用等面积法得，
在三角形中，，利用等面积法得，所以，
整理得：，即，
故或（舍），所以
17.（1）由题意得，参与人数超过30人的共有5个，未超过30人的共有3个，则随机变量的可能取值为
，
.
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
则随机变量的均值为
（2）（i）设甲学员单轮测试“优秀”的事件为，
则
（ii）设理论上至少需测试轮，
记甲学员在测试中获得“优秀”的次数为，则
则
又因为，所以的最小值是6.
所以理论上至少需要测试6轮.
18（1）联立，可得，
因为直线与相切，
所以，
抛物线C的方程为.
（2）由（1）可知，
设，
联立可得，
设，可得
∵，∴
因为,，所以，
则，
所以
即
所以，即，
解得，
，
即.
19．（1）对函数求导：，
①当时，，所以在R单调递增；
②当时，
由可得：，由可得：，
所以在单调递减，在单调递增，
综上所述，当时，在R单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增；
（2）令，
求导得：，，
令，
因，由，
可得（即）在上单调递增，
当时，在上恒成立，
故得在上单调递增，则，
即有，符合题意；
当时，，
令，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，又在上单调递增，且，
故，使得，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，不符合题意；
综上所述，实数a的取值范围是.

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