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河南省鹤壁市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列有理式中，是分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．上海中心大厦建筑高度为632米，是中国目前第一高楼，也是世界第三高楼．强风来袭，摩天大楼会晃动，“上海慧眼”（如图），是上海中心大厦的建筑设施，类似巨型复摆，功能为阻尼器，可以削减高层晃动，帮助超高层建筑保持楼体稳定和安全．这是一个重达1000吨的风阻尼器，距离地面583米，是目前世界上最重的阻尼器，重量约占大厦的．用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
4．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　）
A． B．且
C． D．且
5．如图所示，已知于点于点，下列说法错误的是（　　）
A．
B．两点间的距离就是线段的长度
C．
D．与两线之间的距离就是线段的长度
6．我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马公里的比赛并跑完全程，其行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（　　）
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了千米；③乙比甲先到达终点；④两人都跑了公里．

A．①②③④ B．①③ C．②④ D．③④
7．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过点 B．图象在第一、三象限
C．随的增大而增大 D．当时，
8．学校气象社的同学们对当地的日最高气温进行了连续14天的测量，统计结果(精确到个位)如下表：
日最高气温() 26 28 29 30 31
天数 3 3 4 2 2
这14天中，当地日最高气温的众数和中位数分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．函数的取值范围是 ．
12．某品牌糖果的单价为28元/千克，沙琪玛的单价25元/千克，则该品牌千克的糖果和千克的沙琪玛混合后的单价应为 元/千克．
13．一组数据的中位数为8，则这组数据的平均数等于 ．
14．如图所示，已知正方形的面积为2，点、在对角线上且，若四边形的面积为1，则 ．
15．一位同学在玩折纸时发现如下现象：如图所示，在矩形中，点、分别是边、上的点，将按如图所示的方式向内翻折，为折痕，点恰好都落在同一点上．如果，则的度数为 °，的长度为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．如图所示，在四边形中，，点、为对角线上的两点，，．连结．求证：四边形是平行四边形．
18．一次函数的图象交轴于点，点在轴上，且到原点的距离是2个单位长度，求直线的函数解析式．
19．如图所示，点、分别在反比例函数和的图象上，且轴，过点作轴的垂线，垂足为点，连结，求的面积．
20．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如．
解决下列问题：
(1)下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号）
；；；．
(2)将假分式化为带分式的形式．
21．在2025年全国两会上，健康中国三期战略作为政府工作报告中备受瞩目的议题，正引领着中国迈向全民健康的新时代．为了让同学们了解自己的运动能力水平，提高体能素质锻炼意识，八（3）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，该班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
（3）班体育模拟测试成绩分析表
平均分（分） 方差（分）2 中位数（分） 众数（分）
男生 ___________ 2.0275 7.5 7
女生 7.92 1.9936 ___________ 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这个班共有男生 人，共有女生 人；
(2)补全八（3）班体育模拟测试成绩分析表；
(3)你认为在这次体育测试中，3班的男生队、女生队哪个表现更优秀一些？并写出一条支持你的看法的理由．
22．某农业合作社积极利用智能化农业设备，计划引进无人机田间喷洒农药技术．无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量比常规喷药壶用药量少毫升，无人机用药毫升喷洒的面积与常规喷药壶用药毫升喷洒的农田面积相同．
(1)求无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量．
(2)该合作社计划购进两种型号的喷药无人机共台，已知型号机每台万元，型号机每台万元，现要求采购型号机的数量不高于型号机数量的．请计算该合作社应采购两种型号的无人机各多少台时，所需费用最少？并求出此时的最少费用．
23．如图1所示，四边形是正方形，点在边上，是边的中点，平分．
(1)的等量关系是 ．
(2)是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图2所示，若四边形是长与宽不相等的矩形，其它条件不变，那么上述问题（1）（2）中的结论是否依然成立？请分别给出判断，不必证明．
参考答案
1．C
解：：分母为（含字母），是分式．
：分母为（不含字母），是整式．
：分母为（含字母），是分式．
：分母为（含字母和），是分式．
：分母为（含字母和），是分式．
：分母为（不含字母），是整式．
综上，分式共有、、、共4个．
故选：C．
2．B
解：；
故选B．
3．C
点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y），
所以点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），
故选C．
4．D
解：原方程两边同乘，得，解得，
分式方程的解为非负数，
，，
又分母不为0，
，即，
，
综上可知，且．
故选：D．
5．D
解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故本选项正确；
B、∵是线段，
∴A、B两点间距离就是线段的长度，故本选项正确；
C、∵于点E，于点G，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故本选项正确；
D、∵于点E，
∴与两平行线间的距离就是线段的长度，故本选项错误．
故选：D．
6．D
解：起跑后1小时内，乙已经超过甲在，故①错误；
在1小时的时候乙跑了千米, 甲不到千米,故②错误；
在2小时处乙跑在甲前面，从函数图象可知，短时间内甲不可能超过乙，由此可估计乙比甲先跑到达终点，故③正确；
甲、乙两选手参加了半马公里的比赛并跑完全程，可知两人都跑了公里，故④正确，
故选：D．
7．C
解：A：当时，，故图象经过点，正确；
B：因，反比例函数图象位于第一、三象限，正确；
C：当时，函数在每一象限内随的增大而减小，因此，选项C中“随的增大而增大”的结论错误；
D：当时，的值趋近于0且小于1（如时），故，正确；
故选：C．
8．B
解：由表可知，出现4天，天数最多，故众数为．
将14天的气温按升序排列：26，26，26，28，28，28，29，29，29，29，30，30，31，31，
总数据数为偶数，中位数为第7和第8个数的平均值．
第7和第8个数均为，故中位数为
综上，众数和中位数均为．
故选：B．
9．B
解：∵四边形是平行四边形，顶点的坐标分别为，
∴，
∴，
∴，
∴将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，平移后点的对应点的坐标是，即，
故选：B．
10．A
解：由题意可得：点到轴，轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，
一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当一次函数的图象在直线与直线之间时，一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当最小时，一次函数图象过点，
由题意可得：，
解得：，即的最小值为．
当最大时，一次函数与图象过点，
由题意可得：
则有，
解得：，
即的最大值为2．
．
故选：A．
11．
解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
12．
解：由题意得，该品牌千克的糖果和千克的沙琪玛混合后的单价应为千克，
故答案为：．
13．
解：∵一组数据的中位数为8，且，
∴，
∴，
∴这组数据的平均数为，
故答案为；7．
14．
解：设正方形的对角线交于点，
则：，，，
∴正方形的面积，
∴（负值舍去）；
∵，，
∴，
∴，互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴四边形的面积，
∴；
故答案为：1．
15．
解：根据，，恰好都落在同一点上及折叠的性质，
有，，，
，，，，
∵，
∴，
，
，，
，
，
故答案为：，．
16．（）；（）．
解：（）原式
；
（）原式
．
17．见解析．
证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
18．或
解：设直线的解析式为．
一次函数的图象交轴于点，
令，得，解得．
点的坐标为．
点在轴上且到原点的距离为2个单位长度，
点的坐标为或．
①当点为时，与点同时代入中，得
解得
直线的解析式为．
②当点为时，与点同时代入中，同理可得直线的解析式为．
综上所述，直线的解析式为或．
19．
解：∵轴，
∴点的横坐标相同，
设点的横坐标，
将代入中，得，
将代入，得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
根据题意，轴，轴，
∴为直角三角形，
∴．
20．(1)；
(2)．
（1）解：由“假分式”定义可知：属于“假分式”，
故选：；
（2）解：
．
21．(1)20，25
(2)，8；
(3)女生队更优秀些，因为女生队平均分7.92分高于男生队平均分7.85分，因此女生队更优秀
（1）解：这个班男生人数：（人），
女生人数：（人），
故答案为：20、25；
（2）解：男生的平均分为，
由扇形统计图可知，女生的中位数为8，
故答案为：，8；
（3）解：女生队表现更突出．
理由：女生队的平均分、中位数、众数高于男生队，且女生队的方差小于男生队.
所以女生队表现更突出．（答案不唯一）
22．(1)无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升；
(2)应采购型号机台，型号机台时所需费用最少，最少费用为万元．
（1）解：（1）设无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升，则常规喷药壶单位用药为毫升，
根据题意，得，
解得，
经检验，是该方程的解，且，符合题意，
答：无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升；
（2）解：设采购型号机台，则型号机为台，
根据题意，得，
解得，
设总费用为万元，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，，
则，
答：应采购型号机台，型号机台时所需费用最少，最少费用为万元．
23．(1)
(2)成立，见解析
(3)（1）中结论成立，（2）中结论不成立
（1）解：延长，交于点，如图
四边形是正方形，
，．
．
是边的中点，
．
．
，．
平分，
．
．
．
，
．
（2）解：成立，
延长至N，使，连接．
四边形是正方形，
，，．
．
，．
平分，
．
．
，，
．
，
．
．
．
，
．
（3）解：（1）中结论成立．
延长，交于点P，如图
四边形是矩形，
，．
．
是边的中点，
．
．
．
平分，
．
．
．
，
．
（2）结论不成立
证明∶假设成立．过点A作，交的延长线于点G，如图所示．
四边形是矩形，
，．
，
．
，，
．
，，
．
，
．
平分，
．
，，，
．
，，
．
．
，，
．
，，
．
．
四边形是长与宽不相等的矩形，
假设不成立．即不成立．

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