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11.1.4同底数幂的除法
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
同底数幂的除法教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述同底数幂除法的运算法则，透彻理解其推导过程；熟练运用同底数幂除法法则进行计算，涵盖底数为数字、单项式、多项式等多种形式；能够运用该法则解决整式除法相关问题，以及在实际情境中涉及同底数幂除法的数学问题。
过程与方法目标：通过类比同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的学习方法，引导学生经历观察、猜想、验证、归纳同底数幂除法法则的过程，培养学生的知识迁移能力和逻辑推理能力；在运用法则解决问题的过程中，提升学生的运算能力和思维的严谨性，体会类比、从特殊到一般等数学思想方法在知识探究中的应用。
情感态度与价值观目标：激发学生对同底数幂除法知识的学习兴趣，感受数学知识的内在联系和系统性；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极向上的学习氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握同底数幂除法的运算法则，能够准确运用法则进行各类同底数幂除法运算；清晰区分同底数幂除法与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算规则，这是本节课的核心知识，对后续学习整式除法、分式等内容至关重要。
教学难点：理解同底数幂除法法则中底数不能为\(0\)以及指数的取值范围；在底数和指数形式较为复杂时，准确运用法则进行计算和变形；在综合运算中，正确选择和灵活运用同底数幂的各种运算法则，避免运算错误，这对学生的抽象思维和综合运用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解同底数幂除法的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过与同底数幂乘法等已学知识进行类比，引导学生自主探究同底数幂除法的规律，培养学生的自主学习能力和探究精神，加深对新知识的理解和记忆。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示同底数幂除法法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨同底数幂除法运算中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾旧知：提问学生同底数幂乘法法则（\(a^m a^n = a^{m + n}\)，\(m\)、\(n\)为正整数）、幂的乘方法则（\((a^m)^n = a^{mn}\)，\(m\)、\(n\)为正整数）和积的乘方法则（\((ab)^n = a^nb^n\)，\(n\)为正整数），让学生举例说明，并阐述法则的推导过程，强化学生对这些幂运算知识的理解和记忆。
计算热身：让学生进行简单的同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方计算练习，如\((2x)^3\)、\((a^2)^4\)、\(3^3 3^2\)等，回顾运算方法，为学习同底数幂除法做好知识铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了多种幂的运算，那如果是同底数幂相除，比如\(a^m ·a^n\)（\(a 0\)），会有怎样的运算规律呢？这就是我们今天要一起探究的同底数幂的除法。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
同底数幂除法法则的探究（15 分钟）
计算观察：让学生计算以下算式：
① \(2^5 ·2^3 = \frac{2 2 2 2 2}{2 2 2} = 2 2 = 2^2\)；
② \(a^7 ·a^4 = \frac{a a a a a a a}{a a a a} = a a a = a^3\)（\(a 0\)）。
引导学生观察计算结果，思考等式左右两边底数和指数的变化规律，重点关注指数之间的运算关系。
猜想归纳：请学生分享自己的发现，引导学生猜想：对于同底数幂\(a^m ·a^n\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)），结果可能是\(a^{m - n}\)。然后组织学生进行小组讨论，通过更多的例子验证猜想，如计算\(5^6 ·5^2\)、\(x^8 ·x^5\)等。
推导法则：教师引导学生进行一般性推导，根据除法是乘法的逆运算以及同底数幂乘法法则，因为\(a^{m - n} a^n = a^{(m - n) + n} = a^m\)，所以\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)）。由此得出同底数幂除法的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)）。
拓展延伸：教师进一步引导学生思考当\(m = n\)和\(m < n\)时的情况，引入零指数幂和负整数指数幂的概念。当\(m = n\)时，\(a^m ·a^n = a^m ·a^m = 1\)（\(a 0\)），规定\(a^0 = 1\)（\(a 0\)）；当\(m < n\)时，\(a^m ·a^n = \frac{1}{a^{n - m}}\)（\(a 0\)），规定\(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\)（\(a 0\)，\(p\)为正整数），拓展学生对同底数幂除法法则的应用范围的认识。
同底数幂除法法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \(10^7 ·10^4\)；② \(x^9 ·x^3\)；③ \((-a)^6 ·(-a)^2\)。
分析：教师引导学生根据同底数幂除法法则进行计算，强调底数不变，指数相减。对于①，\(10^7 ·10^4 = 10^{7 - 4} = 10^3\)；对于②，\(x^9 ·x^3 = x^{9 - 3} = x^6\)；对于③，先确定符号，负数的偶次幂为正，再计算，\((-a)^6 ·(-a)^2 = (-a)^{6 - 2} = (-a)^4 = a^4\)。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和符号处理。
例 2：计算
① \((2x^2y)^4 ·(2x^2y)^2\)；② \((x - y)^5 ·(y - x)^3\)。
分析：对于①，把\(2x^2y\)看作一个整体作为底数，根据同底数幂除法法则计算，\((2x^2y)^4 ·(2x^2y)^2 = (2x^2y)^{4 - 2} = (2x^2y)^2 = 4x^4y^2\)。对于②，先将底数化为相同形式，\((y - x)^3 = - (x - y)^3\)，则\((x - y)^5 ·(y - x)^3 = (x - y)^5 ·[ - (x - y)^3] = - (x - y)^{5 - 3} = - (x - y)^2\)。通过这两个例题，让学生理解同底数幂除法法则在更复杂形式下的应用。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\(3^8 ·3^5\)，\(y^{12} ·y^6\)，\((-m)^8 ·(-m)^3\)。
② 计算\((3ab^2)^5 ·(3ab^2)^3\)，\((a + b)^7 ·(b + a)^4\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如底数的确定、指数的运算、符号的处理以及底数为多项式时的变形等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\(a^5 ·a = a^5\)；
\(x^6 ·x^3 = x^2\)；
\((-a)^3 ·(-a)^2 = a\)；
\(m^3 ·m^3 = 0\)。
计算：
\(5^{12} ·5^6\)；
\((-2x^3)^4 ·(-2x^3)^2\)；
\((2a - 3b)^6 ·(3b - 2a)^3\)；
已知\(a^m = 8\)，\(a^n = 2\)，求\(a^{m - n}\)的值。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对同底数幂除法法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调同底数幂除法的运算法则 “同底数幂相除，底数不变，指数相减”，明确法则的适用条件和范围，包括底数不能为\(0\)以及零指数幂和负整数指数幂的规定；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如与其他幂运算法则的混淆、底数和指数的运算错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握同底数幂除法运算，为后续学习整式的混合运算、分式等知识打好基础。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固同底数幂除法的基础知识和运算技能。
选做题：已知\(3^m = 6\)，\(3^n = 2\)，求\(3^{2m - 3n}\)的值；若\((x - 2)^0\)有意义，求\(x\)的取值范围。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕同底数幂除法设计教学流程。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们一起优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．理解并掌握同底数幂的除法的运算法则；
2．熟练运用同底数幂的除法法则去计算；
温故知新
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m，n都是正整数)
反向运用
am · an =am+n、
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？
（1.1×1012）÷（2.2×1010）
思考：该如何计算这一式子呢？
知识点一 同底数幂的除法
用你熟悉的方法计算：
（1）25÷22=___________________；
（2）107÷103=____________________________________；
（2·2·2·2·2）÷（2·2）
=2·2·2
=23
（10·10·10·10·10·10·10）÷（10·10·10）
=10·10·10·10
=104
=5-2
=7-3
探究发现
（3）a7÷a3=______________________ （a≠0）；
（a·a·a·a·a·a·a）÷（a·a·a）
=a·a·a·a
=a4
=7-3
你是怎样计算的？从这些计算结果中你能发现什么？
（2）107÷103=___________；
（3）a7÷a3=____________（a≠0）；
（1）25÷22=__________；
由上面的计算，我们发现：
23=25-2
104=107-3
a4=a7-3
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
知识要点
同底数幂的除法
根据除法的意义推导同底数幂的除法法则
前面我们通过一些计算，归纳、探索出同底数幂的除法法则.下面我们根据除法的意义来推导同底数幂的除法法则：
因为除法是乘法的逆运算，计算am÷an（m、n都是正整数，且m＞n，a≠0）实际上是要求一个式子，使
an·（ ）=am.
假设这个式子是ak（k是正整数，待定），即应有
an · ak =am，
即
an+k =am，
所以
n+k =m
得
k =m-n.
因此，要求的式子应是am-n.
由同底数幂的乘法法则，可知
an · am-n =an+（m -n）=am，
所以am-n 满足要求，从而有
am÷an=am-n
（ m、n都是正整数，且m＞n，a≠0 ）.
典例精析
【例1】若3a÷9b=27，则a-2b的值为（　　）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
【详解】解：∵3a÷9b=27，
∴3a÷32b=33，
则3a-2b=33，
∴a-2b=3．
故选A．
【例2】若2024m=10，2024n=5，则2024m-n的结果是 ．
【详解】解：∵2024m=10，2024n=5，
∴2024m÷2024n=10÷5，
∴2024m-n=2，
故答案是：2．
练一练
1．计算：
(1)(-a3)4÷(-a4)3； (2)(a2·a3)2÷a7×(-a)2．
【详解】（1）解：原式=a12÷(-a12)=-1；
（2）解：原式=(a5)2÷a7·a2=a10-7+2=a5．
1．若xa÷x=x5,则a的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【详解】解：∵xa÷x=x5，
∴a-1=5，
∴a=6，
故选：D．
1. 墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，
则覆盖的是( )
A. × B. C. D. -
2. 若 （★） ，则★为( )
A. B. C. D.
3. 已知， ，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 若，则
的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
5. 若，则 的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
√
√
返回
6. 掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震
级的定义，地震所释放出的能量与震级 的关系为
（其中 为大于0的常数），那么震级为6级的
地震所释放的能量是震级为4级的地震所释放能量的_____倍.
【点拨】
.
返回
7. 计算:
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8. ［2025泰州姜堰区月考］关于， 的方程组
的解满足，则 的值是
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
√
【点拨】 ，得
，即
， .
返回
9.［2025济宁模拟］已知，，则 __.
10. 若与 为同类项，
则 的值为____.
10
【点拨】因为
,与 为同类项，所以
.所以 .
返回
11.已知，，则， 的关系为_______.
【点拨】， ，
， .
返回
12.化简求值： ，其
中， .
【解】 ，当
，时，原式 .
返回
13. 探究应用：用“ ”“ ”定义两种新运算：
对于两个数,，规定, .
例如：； .
（1）求 的值.
【解】由题意得
.
（2）求 的值.
由题意得
.
（3）当为何值时，的值与 的值相等
由题意得 ,
.
因为的值与 的值相等，
所以.所以.所以 .
所以当时，的值与 的值相等.
返回
同底数幂的除法
法则
am ÷an=am-n(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减
同底数幂相除法则的逆用：
am-n=am÷an(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n）
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