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11.3.2两数和（差）的平方
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
两数和（差）的平方教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确推导并熟练掌握两数和（差）的平方公式，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)；能正确识别公式中的各项，熟练运用公式进行整式乘法运算、代数式化简及求值；能够运用两数和（差）的平方公式解决实际生活中的数学问题，如计算图形面积、物体表面积等。
过程与方法目标：通过多项式乘法法则推导两数和（差）的平方公式，培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力；在探究公式特征及应用的过程中，让学生经历观察、猜想、验证、归纳的数学思维过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学公式的探索兴趣，感受数学知识的内在规律和结构美；在公式推导与应用过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握两数和（差）的平方公式的结构特征，能够准确运用公式进行计算；能灵活运用公式解决整式乘法中的各类问题，这是后续学习因式分解、分式运算等知识的重要基础。
教学难点：理解两数和（差）的平方公式的推导过程，尤其是公式中中间项\(2ab\)（或\(-2ab\)）的由来；在实际应用中，能够根据式子的特点，正确运用公式进行计算，避免出现如\((a + b)^2 = a^2 + b^2\)等错误，这对学生的抽象思维和准确运用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解两数和（差）的平方公式的推导过程、结构特征和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
探究法：引导学生通过多项式乘法的具体计算，自主探究两数和（差）的平方公式的规律，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示两数和（差）的平方公式的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨两数和（差）的平方公式应用中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾平方差公式：提问学生平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，让学生回顾公式的推导过程、结构特征及应用实例，如计算\((3x + 2y)(3x - 2y)\)。通过复习，强化学生对平方差公式的理解和记忆，为学习两数和（差）的平方公式做好知识铺垫。
引发思考：教师提出问题：“我们已经学方差公式这种特殊形式的多项式乘法，那像\((a + b)^2\)、\((a - b)^2\)这样的两数和（差）的平方形式，它们的运算结果又有怎样的规律呢？今天我们就来一起探究两数和（差）的平方公式。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
两数和的平方公式的推导（15 分钟）
计算观察：让学生运用多项式乘法法则计算\((a + b)^2\)，即\((a + b)^2=(a + b)(a + b)=a^2 + ab + ba + b^2=a^2 + 2ab + b^2\) 。引导学生观察计算过程和结果，思考等式右边各项与左边\(a\)、\(b\)的关系。
猜想归纳：组织学生进行小组讨论，分享自己对计算结果的发现。引导学生猜想：对于两数和的平方\((a + b)^2\)，结果可能是\(a^2 + 2ab + b^2\) 。鼓励学生用更多的具体例子，如\((x + 3)^2\)、\((2m + n)^2\)等进行验证。
推导证明：教师再次强调推导过程，从多项式乘法的本质出发，解释每一步的运算依据，强化学生对公式推导的理解。同时，利用几何图形面积帮助学生直观理解公式。展示一个边长为\((a + b)\)的正方形，它可以分割为一个边长为\(a\)的正方形、两个长为\(a\)宽为\(b\)的长方形和一个边长为\(b\)的正方形，其面积分别为\(a^2\)、\(ab\)、\(ab\)、\(b^2\)，总面积为\(a^2 + 2ab + b^2\)，从而从几何角度验证两数和的平方公式的正确性。
总结特征：教师引导学生总结两数和的平方公式的结构特征：两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数乘积的\(2\)倍。
两数差的平方公式的推导（10 分钟）
类比推导：教师提问学生：“既然我们已经推导出了两数和的平方公式，那两数差的平方\((a - b)^2\)又该如何推导呢？” 引导学生类比两数和的平方公式的推导方法，运用多项式乘法法则计算\((a - b)^2=(a - b)(a - b)=a^2 - ab - ba + b^2=a^2 - 2ab + b^2\) 。
几何解释：同样可以通过几何图形进行解释，如用边长为\(a\)的大正方形减去两个长为\(a\)宽为\(b\)的长方形，再加上一个边长为\(b\)的小正方形，得到边长为\((a - b)\)的正方形的面积，从几何角度说明两数差的平方公式的合理性。
对比总结：将两数和的平方公式与两数差的平方公式进行对比，让学生明确它们的联系与区别，强调公式中各项的符号特征。
两数和（差）的平方公式的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((2x + 3)^2\)；② \((5 - y)^2\)。
分析：教师引导学生观察式子，确定公式中的\(a\)和\(b\)。对于①，\(a = 2x\)，\(b = 3\)，根据两数和的平方公式可得\((2x + 3)^2=(2x)^2 + 2 (2x) 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\)；对于②，\(a = 5\)，\(b = y\)，根据两数差的平方公式可得\((5 - y)^2=5^2 - 2 5 y + y^2 = 25 - 10y + y^2\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调在运用公式时，要准确找出\(a\)和\(b\)，注意各项的符号和指数的运算。
例 2：计算
① \((-3m + 4n)^2\)；② \((-2a - 3b)^2\)。
分析：对于①，可将式子变形为\((4n - 3m)^2\)，此时\(a = 4n\)，\(b = 3m\)，根据两数差的平方公式可得\((-3m + 4n)^2=(4n - 3m)^2=(4n)^2 - 2 (4n) (3m) + (3m)^2 = 16n^2 - 24mn + 9m^2\)；对于②，可变形为\([-(2a + 3b)]^2=(2a + 3b)^2\)，\(a = 2a\)，\(b = 3b\)，则\((-2a - 3b)^2=(2a + 3b)^2=(2a)^2 + 2 (2a) (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2\) 。通过这两个例题，让学生学会对式子进行适当变形，使其符合公式的形式，再运用公式计算。
例 3：化简求值：\((x - 2)^2 - (x + 1)(x - 1)\)，其中\(x = 3\)。
分析：首先根据两数差的平方公式和平方差公式分别展开式子，\((x - 2)^2=x^2 - 4x + 4\)，\((x + 1)(x - 1)=x^2 - 1\)；然后进行式子的化简，\((x - 2)^2 - (x + 1)(x - 1)=x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 1)=x^2 - 4x + 4 - x^2 + 1 = -4x + 5\)；最后将\(x = 3\)代入化简后的式子求值，\(-4 3 + 5 = -12 + 5 = -7\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用公式进行化简和求值的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((3x + 2)^2\)，\((4 - y)^2\)。
② 计算\((-2m + 5n)^2\)，\((-3a - 2b)^2\)。
③ 化简求值：\((2x + 1)^2 - (x - 2)(x + 2)\)，其中\(x = -1\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用公式时的要点和注意事项，如准确识别\(a\)和\(b\)、式子变形、符号处理等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((a + 3)^2 = a^2 + 9\)；
\((2x - 5)^2 = 4x^2 - 10x + 25\)；
\((-m + n)^2 = -m^2 + 2mn + n^2\)；
\((-2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2\)。
计算：
\((x + 4)^2\)；
\((3 - 2y)^2\)；
\((-4m + 3n)^2\)；
已知\(a + b = 7\)，\(ab = 12\)，求\(a^2 + b^2\)的值（提示：利用两数和的平方公式变形求解）。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、公式应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对两数和（差）的平方公式的理解和收获，包括公式的推导过程、结构特征和应用方法等。
教师进行系统总结：强调两数和（差）的平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)的结构特征，再次明确公式中各项的符号和系数关系；总结在运用公式进行计算时的常见错误和注意事项，如避免漏乘中间项、注意符号变化等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握两数和（差）的平方公式的应用，为后续学习打下坚实基础。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固两数和（差）的平方公式的基础知识和运算技能。
选做题：计算\((a + b + c)^2\)（提示：将\(a + b\)看作一个整体，运用两数和的平方公式展开）；已知\(x - y = 5\)，\(xy = 6\)，求\(x^2 + y^2\)和\((x + y)^2\)的值。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕两数和（差）的平方设计教学环节。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.
2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.
温故知新
1.问：平方差公式是怎样的？
(a+b)(a b)=a2 b2
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
3.你能快速的计算201×199吗？
4x2－49b2
9n2－m2
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
知识点一 两数和（差）的平方
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)2.
(a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2
+ab
+ab
+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
a
2
b
2
ab
ab
a
b
a+b
a+b
a
b
a
2
ab
ab
b
2
(a+b)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
(a+b)2
a2 + 2ab + b2
=
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
计算：
例1
（1）(3x+2y)2
（2）(4a+ )2
解
=(3x)2+2·3x·2y+(2y)2
=9x2+12xy+4y2
=(4a)2+2·4a· +( )2
=16a2+4ab+
把3x和2y分别看成a和b
试一试
推导两数差的平方公式（a-b）2
注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算
这样就得到了两数差的平方公式：
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
b
a
b
a2
ab
ab
b2
=
-
+
(a-b)2
a2
2ab
=
-
+
b2
解: (2x－3)2=
=4x2
例2、计算(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－12x
+9；
已知x+y=4，xy=2，
求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y
补充例题
(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12
(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20
解
(3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy
=42-4×2=8
所以 x-y= =
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当
怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2
(2)(x －y)2 =x2 －y2
(3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
x2+2xy +y2
x2－2xy +y2
x2 －2xy +y2
4x2+4xy +y2
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ；
=16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ；
=4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 .
=4m2+4m+1.
2.运用完全平方公式计算:
1. 如果 是一个完全平方式，则
的值是( )
C
A. 3 B. 9 C. 6或 D.
两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了
一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.
返回
（第2题）
2. 如图，由图形的面积关系能够直观说明
的代数恒等式是( )
C
A.
B.
C.
D.
3.若，则代数式 为______.
返回
4. 已知，，则
____.
29
【点拨】， ，
.
返回
5. 小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸
上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ，
请在横线上填入恰当的式子，使等式成立：_____ ____
（_______________________） .（写出一种即可）
（答案不唯一）
返回
（第6题）
6. 10月1日，太原
五一广场举行庄严的升国旗仪式.
如图是一块长为 ，宽
为 的长方形地块，在其
中心是一个边长为 的正
方形升旗台，则图中阴影部分的
面积为_____________. （用含, 的代数式表示）
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
8. 下面是小李同学数学计算本上一道题的解
答过程.请认真阅读并完成相应任务.
第一步
第二步
第三步.
任务一： 第一步的计算过程中用到的乘法公式是
________________________；
任务二： 第____步开始出现错误，这一步错误的原因是
______；
二
漏乘
任务三： 请求出该题的正确运算结果.
【解】原式
.
返回
9. 已知，，其中 为正
整数，下列两名同学的说法中正确的是( )
嘉嘉：由已知条件可知 .
淇淇：由已知条件可知 .
B
A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确
C. 两人都正确 D. 两人都不正确
【点拨】，， 为正整数，
，，，与 不相符，故嘉嘉判断错
误；，，为正整数， ，
， ，故淇淇判断正确.
返回
10. ［2025重庆两江新区月考］两个正方形
，如图摆放，边长分别为， ，
若， ，则图中阴影部
分面积的和为( )
A
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【点拨】， ,
，即
，
，，（负值已舍去）， 图中阴影部分
面积的和为8.
返回
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
谢谢观看！

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