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11.4.1单项式除以单项式
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
单项式除以单项式教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述单项式除以单项式的运算法则，深入理解其推导依据；熟练运用该法则进行单项式除以单项式的运算，包括系数、同底数幂以及只在被除式中出现的字母的处理；能够运用单项式除法法则解决整式除法相关的数学问题，如化简代数式、求解简单方程等。
过程与方法目标：通过类比同底数幂的除法运算，引导学生经历观察、分析、归纳单项式除以单项式法则的过程，培养学生的知识迁移能力和逻辑推理能力；在运用法则进行计算的过程中，提高学生的运算能力和思维的严谨性，让学生体会类比、从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对单项式除法知识的学习兴趣，感受数学知识之间的内在联系和系统性；在探究法则的活动中，培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中系数相除、同底数幂相除以及对只在被除式中含有的字母的处理方法，这是本节课的核心知识，对后续学习多项式除以单项式等内容至关重要。
教学难点：在单项式的系数为分数、负数，字母指数为复杂形式时，准确运用法则进行计算，避免出现计算错误；在综合运算中，能够正确选择和灵活运用单项式除以单项式的法则，合理安排运算顺序，这对学生的综合运算能力和思维的灵活性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解单项式除以单项式的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过与同底数幂的除法、单项式乘法等已学知识进行类比，引导学生自主探究单项式除以单项式的规律，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示单项式除以单项式法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨单项式除法运算中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾幂的运算性质：提问学生同底数幂的除法法则（\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)，\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m n\)）、同底数幂的乘法法则（\(a^m a^n = a^{m + n}\)）以及幂的乘方法则（\((a^m)^n = a^{mn}\)），让学生举例说明，并进行简单的计算练习，如\(x^5 ·x^3\)，\(2^3 2^2\)，\((y^2)^3\)，强化学生对幂运算知识的理解和记忆，为学习单项式除以单项式做好知识铺垫。
回顾单项式乘法法则：请学生回顾单项式与单项式相乘的运算法则，即把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。通过具体例子，如\(3x^2y ·2xy^3 = 6x^3y^4\)，加深学生对单项式乘法的掌握，为后续类比学习单项式除法做准备。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式的乘法运算，那么单项式之间如何进行除法运算呢？比如\(6x^3y^4 ·3x^2y\)，结果是怎样的？这就是我们今天要学习的内容 —— 单项式除以单项式。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
单项式除以单项式法则的探究（15 分钟）
计算观察：让学生计算以下算式：
① \(8x^3 ·2x = \frac{8}{2} \frac{x^3}{x} = 4x^{3 - 1} = 4x^2\)；
② \(12a^3b^2 ·3a^2b = \frac{12}{3} \frac{a^3}{a^2} \frac{b^2}{b} = 4ab\)。
引导学生观察计算过程和结果，思考在计算过程中系数、同底数幂分别是如何进行运算的，以及只在被除式中出现的字母是如何处理的。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结单项式除以单项式的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
推导法则：教师从除法是乘法的逆运算角度，结合单项式乘法法则，对单项式除以单项式的法则进行理论推导。以\(6x^3y^4 ·3x^2y\)为例，因为\(3x^2y ·2xy^3 = 6x^3y^4\)，所以\(6x^3y^4 ·3x^2y = 2xy^3\)，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
单项式除以单项式法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \(15a^3b ·3a^2\)；② \(-24x^2y^3 ·(-8xy^2)\)。
分析：教师引导学生根据单项式除以单项式的法则进行计算。对于①，系数相除\(15 ·3 = 5\)，同底数幂\(a\)相除\(a^3 ·a^2 = a^{3 - 2} = a\)，\(b\)照写，所以\(15a^3b ·3a^2 = 5ab\)；对于②，先确定符号，两个负数相除得正，系数相除\(24 ·8 = 3\)，同底数幂\(x\)相除\(x^2 ·x = x^{2 - 1} = x\)，\(y\)相除\(y^3 ·y^2 = y^{3 - 2} = y\)，所以\(-24x^2y^3 ·(-8xy^2) = 3xy\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理。
例 2：计算
① \(18a^4b^3c ·6a^2b\)；② \((-15x^3y^2z) ·(-5x^2y)\)。
分析：对于①，系数相除\(18 ·6 = 3\)，同底数幂\(a\)相除\(a^4 ·a^2 = a^{4 - 2} = a^2\)，\(b\)相除\(b^3 ·b = b^{3 - 1} = b^2\)，\(c\)照写，所以\(18a^4b^3c ·6a^2b = 3a^2b^2c\)；对于②，先确定符号为正，系数相除\(15 ·5 = 3\)，同底数幂\(x\)相除\(x^3 ·x^2 = x^{3 - 2} = x\)，\(y\)相除\(y^2 ·y = y^{2 - 1} = y\)，\(z\)照写，所以\((-15x^3y^2z) ·(-5x^2y) = 3xyz\) 。通过这两个例题，让学生掌握在含有多个字母的单项式除法中运用法则的方法。
例 3：计算\((-3a^3b^2)^3 ·(9a^5b^3)\)。
分析：先根据幂的乘方法则计算\((-3a^3b^2)^3 = -27a^9b^6\)，再进行单项式除以单项式运算，\(-27a^9b^6 ·(9a^5b^3)\)，系数相除\(-27 ·9 = -3\)，同底数幂\(a\)相除\(a^9 ·a^5 = a^{9 - 5} = a^4\)，\(b\)相除\(b^6 ·b^3 = b^{6 - 3} = b^3\)，所以\((-3a^3b^2)^3 ·(9a^5b^3) = -3a^4b^3\) 。让学生理解在综合运算中运用单项式除法法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\(20x^4 ·5x^2\)，\(-28a^3b^2 ·4a^2b\)。
② 计算\(36m^5n^4 ·(-9m^4n)\)，\((-24x^3y^2)^2 ·(6x^2y)\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如系数的除法运算、同底数幂的指数相减、符号的确定以及综合运算的顺序等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\(10a^3 ·5a^2 = 5a\)；
\(15x^2y ·3x^2y = 0\)；
\((-3x^3y)^2 ·(-xy) = 9x^5y\)；
\(4a^3b^2 ·2a^2b = 2ab^2\)。
计算：
\(27m^5n^3 ·9m^4n^2\)；
\((-16a^4b^3) ·(-8a^2b)\)；
\((4x^2y)^3 ·(2xy^2)\)；
已知\(12a^3b^2x ·3a^m b^n = 4a^2b\)，求\(m\)和\(n\)的值。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对单项式除以单项式法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调单项式除以单项式的运算法则，即 “把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如符号错误、系数计算错误、同底数幂指数运算错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握单项式除以单项式的运算，为后续学习多项式除以单项式等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固单项式除以单项式的基础知识和运算技能。
选做题：已知\(A = 18x^4y^3z\)，\(B = 3x^2y^2\)，求\(A ·B ·(2xyz)\)的值；若\((ax^m y^n)^3 ·(3x^2y)^2 = 8x^5y^4\)，求\(a\)、\(m\)、\(n\)的值。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕单项式除以单项式构建教学流程。你若对教学情境、例题设计、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
2.计算：
(1) a20÷a10； (2) a2n÷an；
(3) ( c)4 ÷( c)2；
(4) (a2)3 ·(-a3 )÷a3； (5) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2.
= a10
= an
= c2
= a9 ÷a3
= a6
=x24÷x12 ·x8
=x 24 —12+8
=x20
我们知道“先看见闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度是3×108m/s，而声音在空气中的传播速度是3.4×102m/s.在空气中光速是声速的多少倍？
(3×108)÷(3.4×102)
(3.4×102)×___________=3×108
想一想
8.8×105
知识点一 单项式除以单项式
试
一
试
计算：
12a5c2÷3a2
×3a2=12a5c2
把12a5c2和3a2分别看成是一个整体，相当于(12a5c2)÷(3a2)
(4a3c2)
12a5c2÷3a2=4a3c2
怎样计算出来的呢？
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
知识要点
单项式除以单项式的法则
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
例1
计算：
（1）24a3b2÷3ab2
（2）-21a2b3c÷3ab
（3）(6xy2)2÷3xy
解
（1）24a3b2÷3ab2
24
3
a3
b2
b2
a
÷
=(24÷3)
(a3÷a)
(b2÷b2)
=8a3-1·1
=8a2
（2）-21a2b3c÷3ab
（3）(6xy2)2÷3xy
=(-21÷3)(a2÷a)(b3÷b)c
=-7a2-1b3-1·c
=-7ab2c
=36x2y4÷3xy
=(36÷3)(x2÷x)(y4÷y)
=12x2-1y4-1
=12xy3
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
练一练
1.计算：（1）6a3÷2a2；
（2）24a2b3÷3ab；
（3）-21a2b3c÷3ab.
解：（1） 6a3÷2a2
＝（6÷2）（a3÷a2）
=3a；
（2） 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2-1b3-1
=8ab2；
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，
解得a＝36，m＝2，n＝5.
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则
以及整式的除法运算是解题关键．
1、计算：
（1）(3xy2)2· ÷
（2）
2、先化简再求值：
[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(-xy)
其中x=10，y= .
解 [(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(-xy)
=(x2y2-4-2x2y2+4)÷(-xy)
=-x2y2÷(-xy)
=xy
当x=10，y= 时，
1. 下列计算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知 ★ ，则“★”所表示的式子是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025济南市中区模拟］一个三角形的面积是 ，
它的一边长是 ，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
4.月球距离地球约为 千米，一架飞机速度为
千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________
小时.
√
返回
5.已知 恰好能写成一个二项式的平方，则
的值是_____.
【点拨】由于 恰好能写成一个二项式的平方，
即.故 .原式
.代入得原式 .
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
7. 若，则 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
√
返回
8.如图①,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，
制成如图②的无盖纸盒，若纸盒的容积为 ，则图②中纸
盒底部长方形的周长为________.
返回
9.已知 ，且
正整数，满足，则 的值为___.
【点拨】 ，
.
.
正整数，满足： ，
， ，
.
返回
10.先化简，再求值：
，其中 ，
.
【解】
.
当，时，原式 .
返回
单项式除以单项式
运算法则
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬
作为商的一个因式
注意
1.不要遗漏只在被除式中有
而除式中没有的字母及字
母的指数；
2.系数相除时，应连同它前
面的符号一起进行运算.
谢谢观看！

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