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11.5因式分解
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式除以单项式教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述多项式除以单项式的运算法则，理解其推导依据；熟练运用该法则进行多项式除以单项式的运算，包括对多项式各项分别与单项式相除及结果的合并；能够运用此法则解决整式除法相关的数学问题，如化简复杂整式、求解实际应用中的数量关系等。
过程与方法目标：通过类比单项式除以单项式的运算方法，引导学生经历观察、分析、归纳多项式除以单项式法则的过程，培养知识迁移能力与逻辑推理能力；在法则应用过程中，提升学生的运算能力和思维的严谨性，体会类比、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对多项式除以单项式知识的学习兴趣，感受数学知识的内在联系和系统性；在探究法则活动中，培养勇于探索、积极思考的学习态度，增强学习数学的自信心；通过小组合作学习，提升团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中多项式各项与单项式相除的方法，以及结果的合并规则，这是后续学习整式混合运算等知识的重要基础。
教学难点：在多项式项数较多、系数为分数或负数、字母指数形式复杂时，准确运用法则进行计算，避免出现漏除、符号错误、指数运算错误等问题；在综合运算中，灵活运用该法则，合理安排运算顺序，正确处理与其他运算的关系，这对学生的综合运算能力和思维灵活性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解多项式除以单项式的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过与单项式除以单项式的运算进行类比，引导学生自主探究多项式除以单项式的规律，培养自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示多项式除以单项式法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨多项式除以单项式运算中的疑难问题，交流学习经验，培养团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式相关运算：提问学生单项式除以单项式的运算法则，如\(12a^3b^2 ·3a^2b = 4ab\)，并进行简单计算练习，同时回顾单项式乘法法则，如\(3x^2y ·2xy^3 = 6x^3y^4\)，强化学生对单项式运算的理解和记忆，为学习多项式除以单项式做好知识铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式的乘除运算，那么当一个多项式除以单项式时，例如\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)，应该如何进行计算呢？这就是我们今天要学习的内容 —— 多项式除以单项式。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
多项式除以单项式法则的探究（15 分钟）
计算观察：以\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)为例，引导学生思考如何将其转化为已学过的运算。将多项式除以单项式看作是多项式的每一项分别除以这个单项式，即\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 6x^3 ·3x + 3x^2 ·3x\)。然后根据单项式除以单项式的法则分别计算：\(6x^3 ·3x = 2x^2\)，\(3x^2 ·3x = x\)，所以\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 2x^2 + x\)。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结多项式除以单项式的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
推导法则：教师从除法的分配律角度，对多项式除以单项式的法则进行理论推导。设多项式为\(a + b + c\)，单项式为\(m\)（\(m 0\)），则\((a + b + c) ·m = \frac{a + b + c}{m} = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{m}= a ·m + b ·m + c ·m\)，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
多项式除以单项式法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a\)；② \((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)\)。
分析：对于①，根据多项式除以单项式法则，\((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a = 12a^3 ·3a - 6a^2 ·3a + 3a ·3a = 4a^2 - 2a + 1\)；对于②，先确定各项符号，\((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)= 24x^3y ·(-4xy) - 12x^2y^2 ·(-4xy) + 8xy^3 ·(-4xy)= -6x^2 + 3xy - 2y^2\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理以及每一项都要除以单项式。
例 2：计算\([(x + y)^2 - y(2x + y) - 8x] ·2x\)。
分析：先对中括号内的式子进行化简，\((x + y)^2 - y(2x + y) - 8x = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy - y^2 - 8x = x^2 - 8x\)，再进行除法运算，\((x^2 - 8x) ·2x = x^2 ·2x - 8x ·2x = \frac{1}{2}x - 4\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用多项式除以单项式法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((15x^2y - 10xy^2) ·5xy\)，\((-8a^3b^2 + 12a^2b - 4ab^2) ·(-4ab)\)。
② 计算\([(2a + b)^2 - b(b + 4a) - 8a] ·2a\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如准确进行每一项的除法运算、注意符号变化、正确合并同类项等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((12x^2y - 8xy^2) ·4xy = 3x - 2y^2\)；
\((-15a^2b + 5ab^2) ·(-5ab) = 3a + b\)；
\((4x^3y^2 - 6x^2y^3) ·2x^2y = 2xy - 3y^2\)。
计算：
\((20x^3 - 15x^2 + 10x) ·5x\)；
\((-9a^3b^2 + 12a^2b^3 - 6ab^4) ·(-3ab^2)\)；
已知一个多项式与单项式\(-4x^3y^4\)的乘积为\(12x^5y^7 - 16x^4y^5 + 4x^3y^4\)，求这个多项式。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对多项式除以单项式法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调多项式除以单项式的运算法则，即 “先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如漏除某一项、符号错误、同底数幂运算错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握多项式除以单项式的运算，为后续学习整式的混合运算等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固多项式除以单项式的基础知识和运算技能。
选做题：已知\((x^3 + ax^2 + bx + 8) ·(x + 2)\)的商为\(x^2 + 3x + 4\)，求\(a\)、\(b\)的值；计算\([(m - n)^2 + 3(m^2 - n^2) - 2(m + n)^2] ·(-2n)\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕多项式除以单项式设计教学环节。你若对教学情境、例题难度、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们可进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系；
2、理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式；
3、认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式．
温故知新
运用前面所学的知识填空：
（1）m(a+b+c)=
（2）(a+b)(a-b)=
（3）(a+b)2=
ma+mb+mc
a2-b2
a2+2ab+b2
知识点一 因式分解
试
一
试
观察上面三个等式，填空：
（1）ma+mb+mc=( )( )
（2）a2-b2=( )( )
（3）a2+2ab+b2=( )2
m
a+b+c
a+b
a-b
a+b
（1）m(a+b+c)=
（2）(a+b)(a-b)=
（3）(a+b)2=
ma+mb+mc
a2-b2
a2+2ab+b2
（1）ma+mb+mc=( )( )
（2）a2-b2=( )( )
（3）a2+2ab+b2=( )2
m
a+b+c
a-b
a+b
a+b
这两组等式，有什么联系和区别？
整式乘法运算
把一个多项式化为几个整式的积的形式
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
典例精析
【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a(x-y)=ax-ay B．x3-x=x(x+1)(x-1)
C．(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D．x2+2x+1=x(x+2)+1
【详解】解：A选项右边为多项式，故A选项错误；
x3-x=x(x+1)(x-1)，故B答案正确；
C选项右边为多项式，故C选项错误；
x2+2x+1=(x+1)2，因式分解错误，故D选项错误，
故选：B．
练一练
1．观察下列从左到右的变形：
（1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)；
（2）ma-mb+c=m(a-b)+c；
（3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2；
（4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2；
其中是因式分解的有 （填序号）．
【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）
（1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)不是因式分解，不符合题意；
（2）ma-mb+c=m(a-b)+c不是因式分解，不符合题意；
（3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2是因式分解，符合题意；
（4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：（3）.
知识点二 提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
知识要点
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
典例精析
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
练一练
1、把下列多项式分解因式：
（1）-5a2+25a
（2）3a2-9ab
（1）-5a2+25a
=-5a(a-5)
（2）3a2-9ab
=3a(a-3b)
-5a
3a
提公因式法
找公因式时应分三步:
(1)找各项系数的最大公约数;
(2)找相同的字母;
(3)找相同字母的最低指数次幂.
知识点三 运用平方差公式因式分解
想一想：
多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
典例精析
例3 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
练一练
1、分解因式：
…………一提（公因式）
……二套（公式）
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
分解因式的一般步骤
知识点四 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式:
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
=（a ± b）2
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
3、a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2、m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1、x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照公式a ±2ab+b =(a±b) 进行因式分解，你会吗？
m
m - 3
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
（ a ± b )
=
3
x
2
m
3
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
典例精析
例4 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3 ,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
= (4x + 3)2；
(首) +2·首·尾+(尾)
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)
=- (x -2y)2.
例5 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 ；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）（a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
练一练
1、 把下列完全平方公式分解因式：
1002－2×100×99+99
解：原式=（100－99)
=1.
本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.
2、把下列多项式分解因式：
（1）x2+4xy+4y2
（1）x2+4xy+4y2
=(x+2y)2
=x2+2·x·2y+(2y)2
（2） 4x3y-4x2y2+xy3
（1） 4x3y-4x2y2+xy3
=xy(4x2-4xy+y2)
=xy(2x-y)2
xy
公式法
1.把下列多项式分解因式：
（1）3x+3y
（2）-24m2x-16n2x
（3）x2-1
（4）(xy)2-1
=3(x+y)
=-8x(3m2+2n2)
=(x+1)(x-1)
=(xy+1)(xy-1)
（5）a4x2-a4y2
（6）3x2+6xy+3y2
（7）(x-y)2+4xy
（8）4a2-3b(4a-3b)
=a4(x2-y2)
=a4(x+y)(x-y)
=3(x2+2xy+y2)
=3(x+y)2
=x2-2xy+y2+4xy
=x2+2xy+y2
=(x+y)2
=4a2-12ab+9b2
=(2a-3b)2
2.先因式分解，再求值：
2x(a-2)-y(2-a)，其中a=0.5，x=1.5，y=-2
解： 2x(a-2)-y(2-a)
=2x(a-2)+y(a-2)
=(2x+y)(a-2)
当a=0.5，x=1.5，y=-2时
原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边长为a米的正方形的面积减去四个边长为b米的小正方形的面积，即a2-4b2 =(a+2b)(a-2b)
=(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).
答：草坪的面积是32平方米.
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是（ ）
A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
【详解】解：A.x2+2x+1=(x+1)2是完全平方公式因式分解，不合题意；
B.x2+2x-1不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C.x2-2x+4+2x=x2+4x，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D.x2-2x-4+2x=x2-4=(x+2)(x-2) ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．若实数x，y满足(x+y+3)(x+y-1)=0，则+y的值为 ．
【详解】解：∵(x+y+3)(x+y-1)=0，
∴x+y+3=0或x+y-1=0，
解得：x+y=-3或x+y=1，
故答案为：-3或1．
6．因式分解：
(1)x2-1; (2)a3-2a2+a
【详解】（1）解：x2-1
=(x+1)(x-1)．
（2）解：a3-2a2+a
=a(a2-2a+1)
=a(a-1)2
7．已知：a+b=1,ab=
(1)求ab2+a2b的值．
(2)求a2+b2的值．
【详解】（1）∵a+b=1,ab= ，
∴ab2+a2b=ab(a+b)
=；
（2）∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2×()=．
1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为
因式分解的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 把多项式 分解因式，应提的公因式是
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. 长宽分别为， 的长方形周长为16，面积为12，则
的值为( )
A. 80 B. 96 C. 192 D. 240
4. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为
，那么 的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
√
√
返回
5. 已知， ，则代数式
的值为( )
A. B. 30 C. D.
6. 一个多项式，把它用提公因式法因式分解
后有一个因式为 ，请你写出一个符合条件的多项式：
_____________________.
（答案不唯一）
7.计算 所得的结果是_______.
√
返回
8. 把下列各式分解因式：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9.先分解因式，再求值：
（1），其中， ；
【解】原式 .
将， 代入，得原式
.
（2） ，其中
， .
原式 .
把,代入,得原式 .
返回
10. 已知为有理数，则整式 的值
( )
A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0
11. 的三边长分别为,, ，且
，则 是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
√
√
返回
12. 已知，，若 ，
，则与 的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
√
返回
13.对于任意的有理数,,,,我们规定 ,如
，则 的结果为
____________.
【点拨】 ，
.
返回
14.已知，且满足 ，则
的值为____.
34
【点拨】 ，
， ，
，， ，
.
返回
15. 已知 ，
， ，那么代数式
的值是___.
3
【点拨】， ，
，
，，
，
.
返回
因式
分解
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
公式法因式分解
公式
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
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