资源简介

(共29张PPT)
12.1.2定义、定理与证明
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
定义、定理与证明教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述定义、定理与证明的概念，清晰区分三者之间的差异；理解定理是经过推理证实的真命题，掌握常见数学定理的内容；学会运用定义和定理进行简单的证明，能够规范书写证明过程，包括已知、求证、证明等环节。
过程与方法目标：通过分析具体的数学实例，引导学生经历从命题到定义、定理的归纳过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；在进行证明的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力，让学生体会数学思维的严谨性和逻辑性。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学逻辑知识的探索欲望，感受数学知识的系统性和严密性；在探究定义、定理与证明的过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解定义、定理与证明的概念，明确它们在数学体系中的作用；能够熟练运用定义和定理进行简单的证明，掌握证明的基本步骤和书写规范，这是构建数学知识体系和进行逻辑推理的重要基础。
教学难点：理解证明的逻辑过程，能够准确地从题目中分析出已知条件和需要证明的结论，并合理选择定义、定理进行推理；在复杂的证明问题中，理清证明思路，避免出现逻辑错误，这对学生的逻辑思维能力和综合运用知识的能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解定义、定理与证明的概念、特点和应用方法，确保学生理解核心知识和关键内容。
探究法：引导学生通过分析具体的数学实例，自主探究定义、定理与证明之间的关系，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示运用定义、定理进行证明的思路和方法，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨证明过程中的疑难问题，交流学习经验和方法，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运用定义、定理进行证明的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾命题相关知识：提问学生命题的定义、结构和分类，让学生举例说明真命题和假命题，如 “两直线平行，内错角相等” 是真命题，“相等的角是同位角” 是假命题，强化学生对命题知识的理解和记忆。
引入新课：教师提出问题：“在数学中，有些真命题是通过长期实践总结出来并被大家公认的，有些是经过推理证实的，这些真命题在数学学习中有重要的作用。同时，我们在判断一个命题真假时，常常需要进行推理，这个过程就是证明。那么，什么是定义、定理和证明呢？这就是我们今天要学习的内容。” 由此导入本节课的课题 —— 定义、定理与证明。
（二）新课讲授
定义的概念（10 分钟）
实例分析：教师展示一些数学定义，如 “有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” ，引导学生观察这些语句，分析它们的特点。
归纳定义：通过分析实例，引导学生归纳出定义的概念：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。强调定义是明确界定某个概念的语句，它具有准确性和唯一性。
练习巩固：让学生判断下列语句是否为定义：
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离；
大于直角而小于平角的角叫做钝角；
两直线平行，同旁内角互补。
学生判断后，教师进行讲解，强化学生对定义概念的理解，让学生明确定义是对概念本质特征的描述。
定理的概念（15 分钟）
回顾真命题：教师再次强调真命题的概念，指出在真命题中，有些是通过实践总结出来的，而有些是经过推理证实的。
引出定理：以 “三角形内角和等于 180°”“两直线平行，同位角相等” 等为例，讲解这些真命题是经过推理证实的，它们可以作为进一步推理的依据，这样的真命题叫做定理。引导学生理解定理的形成过程和重要作用。
对比分析：将定理与定义进行对比，让学生思考它们的区别和联系。教师总结：定义是对概念的描述，而定理是经过推理证实的真命题；定义是确定概念的意义，定理是用于推导其他结论的依据，但它们都是数学中非常重要的知识。
举例拓展：让学生举例说出一些学过的定理，并简要说明定理的作用，加深学生对定理概念的理解和记忆。
证明的概念与过程（20 分钟）
实例引入：教师以 “证明‘对顶角相等’” 为例，引导学生分析证明的思路和过程。首先明确已知条件是 “∠1 与∠2 是对顶角”，求证的结论是 “∠1 = ∠2” 。
讲解证明过程：教师逐步展示证明过程：
已知：∠1 与∠2 是对顶角。
求证：∠1 = ∠2。
证明：因为∠1 与∠2 是对顶角（已知），所以∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°（平角的定义），所以∠1 = ∠2（同角的补角相等）。
强调证明的每一步都要有依据，依据可以是定义、定理、已知条件或已证的结论等，让学生体会证明的逻辑性和严谨性。
练习巩固：让学生尝试证明 “两直线平行，内错角相等”，教师巡视指导，帮助学生理清证明思路，规范书写证明过程。然后选取部分学生的证明过程进行展示和评价，强调证明过程中的要点和注意事项，如书写规范、逻辑清晰、依据准确等。
（三）课堂练习（15 分钟）
判断下列语句是定义、定理还是命题（非定义、定理）：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
直角三角形的两个锐角互余；
画一条线段等于已知线段。
完成下列证明：
已知：如图，AB∥CD，∠1 = ∠2。求证：∠E = ∠F。
（图形可根据实际情况绘制或描述，此处假设学生已知图形）
证明：因为 AB∥CD（已知），所以∠DCB = ∠ABC（ ）。又因为∠1 = ∠2（已知），所以∠DCB - ∠2 = ∠ABC - ∠1（ ），即∠ECB = ∠FBC。所以 CE∥BF（ ），所以∠E = ∠F（ ）。
已知：在△ABC 中，∠A = 60°，∠B = 30°，求证：△ABC 是直角三角形。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、证明过程书写等方面出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对定义、定理与证明概念的理解和收获，以及在学习过程中遇到的困难和解决方法。
教师进行系统总结：强调整体回顾定义、定理与证明的概念，明确它们在数学学习中的重要地位和作用；总结在判断定义、定理以及进行证明时的要点和注意事项；鼓励学生在课后继续加强对定义、定理的学习和记忆，多进行证明练习，提高逻辑推理能力。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固定义、定理与证明的基础知识和基本技能。
选做题：尝试证明 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并查阅资料了解更多相关的证明方法，拓宽学生的思维。
这份教案围绕定义、定理与证明设计教学流程。你若对教学案例、练习题型、课堂活动安排等方面有新想法，欢迎提出，我们进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解基本事实、定理等概念；
2、理解证明的概念，并会对真命题进行证明；
温故知新
问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖
1.两点确定一条直线;
2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
知识点一 基本事实与定理
探究新知
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
回忆一下，我们学过哪些真命题？
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
基本事实与定理的联系与区别：
定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，
它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；
定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
1. 下列命题中属于基本事实的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行　　　
B. 三角形的外角和等于 360°
C. 两点确定一条直线
D. 直角三角形两锐角互余
试
一
试
C
根据基本事实的概念即可判断；
2. 下列命题是定理的是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两直线平行，内错角相等
C. 两点确定一条直线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
2 + 1 =3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
证明的依据：
已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
求证: ∠A +∠B = 90°.
直角三角形的两个锐角互余.
证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
又∵ ∠C = 90°(已知)，
∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90°
(等式的性质).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论;
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;
③用数学语言写出“已知”“求证”;
④找出证明思路;
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;
⑥检查表达过程是否正确、完整．
求证: 平行线的内错角的平分线互相平行．
解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC．
求证: EM ∥FN ．
证明:∵AB∥CD (已知)，
∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)．
∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)，
∴∠2＝ ∠BEF，∠1＝ ∠CFE(角平分线的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)．
分析：要证明OE⊥OF，只要证明
∠EOF＝ 90°，即∠1＋∠2＝ 90°即可．
1.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC.
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）
＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
2、已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又 b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
3.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE .
求证∠ B+ ∠D=180°.
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
1. 下列属于定义的是( )
D
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
返回
3.试说明“若 ， ，
，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；②因为 ,
（已知）；③所以 ，
（等式的性质）；④所以
（等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的
顺序是____________.
②③①⑤④
返回
4. 下面是投影屏上出示的抢答题，
需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( )
已知：如图， .
求证： .
___________________________
证明：延长交于点 ，
则 .
又 ，
，
（ 相等，两直线平行）.
A. 代表 B. 代表同位角
C. 代表 D. 代表
续表
√
. .
. .
. .
. .
返回
5.
（1）如图， ，数学课上，老师请
同学们根据图形的特征添加一个关于角的
条件，使 ，可以添加的条
件是________________________________；
（答案不唯一）
（2）如图，请你从; 平分
; 中任选出两个作为条
件，另一个作为结论，组成一个真命题.
条件：____________________，结论：
____.（填序号）
（答案不唯一）①③
②
【解】证明：, ,
.
,
,即平分 .
返回
定理与证明
基本事实
定理的概念
证明：
步骤：(1)根据题意作出图形.
(2)写出已知和求证.
(3)写出证明的过程
概念
谢谢观看！

展开更多......

收起↑