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(共40张PPT)
12.2.2三角形全等的判定-边角边
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
《三角形全等的判定 - 边角边》教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
让学生理解并掌握三角形全等的判定方法 ——“边角边”（SAS），能够准确用几何语言表述该判定定理。
使学生学会运用 “边角边” 判定定理证明两个三角形全等，规范证明过程的书写格式。
（二）过程与方法目标
经历探索三角形全等条件的过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想方法，通过动手操作、观察、猜想、验证、归纳等活动，提高学生自主探究能力和逻辑推理能力。
培养学生在实际问题中抽象出数学模型，运用所学知识解决问题的能力，体会数学与生活的紧密联系。
（三）情感态度与价值观目标
通过小组合作交流，培养学生的团队协作精神和勇于探索、敢于创新的科学态度。
让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
掌握 “边角边” 判定两个三角形全等的方法及其应用。
学会分析证明思路，规范书写证明过程。
（二）教学难点
探索 “边角边” 判定定理的过程，理解 “边边角” 不能判定三角形全等的原因。
能在复杂图形中准确找到全等三角形及所需的对应条件。
三、教学方法
讲授法：系统讲解三角形全等 “边角边” 判定定理的内容、几何语言表达及应用，确保学生对基础知识的准确理解。
探究法：组织学生通过画图、剪纸、比较等探究活动，自主发现 “边角边” 判定三角形全等的规律，培养学生自主探究能力和创新思维。
讨论法：引导学生在小组内或班级中就探究过程中的发现、证明思路等问题进行讨论，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的合作意识和表达能力。
练习法：通过有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学的 “边角边” 判定定理，提高学生运用知识解决问题的能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾全等三角形的定义及性质。
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
提问：判定两个三角形全等，至少需要几个条件？上节课我们学习了哪种判定方法？
学生回答后总结：判定两个三角形全等至少需要三个条件，上节课学习了 “边边边”（SSS）判定定理，即三边对应相等的两个三角形全等。
引出本节课主题：今天我们继续探索三角形全等的其他判定方法。
（二）探究新知（20 分钟）
提出问题
给出问题：如果已知两个三角形的两条边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？
引导学生对 “两边一角” 的位置关系进行分类讨论，得出两种情况：两边及其夹角对应相等；两边及其中一边的对角对应相等。
探究两边及其夹角对应相等的情况
操作实验：
让学生在练习本上画一个△ABC，使 AB = 4cm，∠A = 60°，AC = 3cm 。具体画图步骤如下：
画∠MAN = 60°；
在射线 AM 上截取 AB = 4cm；
在射线 AN 上截取 AC = 3cm；
连接 BC。
学生画好后，用剪刀剪下自己画的三角形，与同桌的三角形进行比较，观察能否完全重合。
小组讨论：组织学生在小组内交流自己的发现，讨论通过这种方式画出的三角形是否全等。
归纳总结：
选取几个小组代表发言，分享小组讨论结果。
教师根据学生的回答进行总结：通过大量的实验可以发现，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。这就是三角形全等的 “边角边” 判定定理，简写成 “SAS”。
用几何语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，
\(\begin{cases}AB = DE\\∠A = ∠D\\AC = DF\end{cases}\)，
所以△ABC ≌△DEF（SAS）。
探究两边及其中一边的对角对应相等的情况
操作实验：
让学生再画一个△ABC，使 AB = 4cm，∠B = 30°，AC = 2.5cm 。画图步骤如下：
画∠MBN = 30°；
在射线 BM 上截取 AB = 4cm；
以点 A 为圆心，2.5cm 为半径画弧，交射线 BN 于点 C（可能有两个交点，即有两种不同形状的三角形）。
学生画好后，同样剪下三角形与同桌的进行比较，观察是否能完全重合。
小组讨论：组织学生讨论这种情况下画出的三角形是否全等。
归纳总结：
小组代表发言后，教师总结：通过实验发现，两边及其中一边的对角对应相等时，画出的三角形不一定全等。所以 “边边角” 不能作为判定三角形全等的方法。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知：如图，AB = AD，∠BAC = ∠DAC，求证：△ABC ≌△ADC。
分析：
要证明△ABC ≌△ADC，已经知道 AB = AD，∠BAC = ∠DAC，还需要一条边或一个角对应相等。
观察图形发现，AC 是公共边，满足 “边角边” 判定定理的条件。
证明：在△ABC 和△ADC 中，
\(\begin{cases}AB = AD\\∠BAC = ∠DAC\\AC = AC\end{cases}\)
所以△ABC ≌△ADC（SAS）。
例 2：如图，点 E、F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，求证：△ABF ≌△DCE。
分析：
已知 BE = CF，通过等式性质可得 BF = CE（BE + EF = CF + EF）。
题目中还给出 AB = DC，∠B = ∠C，满足 “边角边” 判定定理的条件。
证明：
因为 BE = CF，
所以 BE + EF = CF + EF，即 BF = CE。
在△ABF 和△DCE 中，
\(\begin{cases}AB = DC\\∠B = ∠C\\BF = CE\end{cases}\)
所以△ABF ≌△DCE（SAS）。
强调：
证明两个三角形全等时，要按照 “边角边” 的顺序列出三个条件，并且对应顶点的字母要写在对应的位置上。
注意挖掘图形中的隐含条件，如公共边、对顶角等。
（四）课堂练习（10 分钟）
已知：如图，AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2，求证：△ABD ≌△ACE。
如图，AC 与 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD，求证：△AOB ≌△COD。
如图，AB = DB，BC = BE，∠1 = ∠2，试说明：△ABE ≌△DBC。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生在证明过程中出现的问题，最后选取部分学生的答案进行展示和点评。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容：
三角形全等的 “边角边”（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
证明三角形全等的步骤：分析已知条件，找出全等所需的对应边和对应角；指明在哪两个三角形中证明全等；按照 “边角边” 的顺序列出三个条件，得出结论。
注意事项：“边角边” 中的角必须是两边的夹角；证明时要注意对应顶点的字母写在对应的位置上，挖掘图形中的隐含条件。
请学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行补充和总结，强调重点和易错点。
（六）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后练习题第 X 题、第 X 题。
选做题：已知：如图，AB = AC，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，求证：△ABE ≌△ACD。
拓展题：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，点 D 在 BC 上，连接 AD，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到△ACE，连接 DE。试判断△ADE 的形状，并说明理由。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习导入、探究新知、例题讲解、课堂练习和课堂小结等环节，逐步引导学生理解和掌握三角形全等的 “边角边” 判定定理。在探究环节，让学生通过动手操作、小组讨论等方式，亲身体验定理的发现过程，培养了学生的自主探究能力和合作精神。但在教学过程中，可能存在部分学生对 “边边角” 不能判定三角形全等的理解不够深刻，在练习中仍出现错误的情况。在今后的教学中，应加强对这部分内容的强调和练习，通过更多的实例和反例帮助学生加深理解。同时，在证明过程的书写规范方面，部分学生还存在一些问题，需要在后续教学中进一步加强指导和训练，提高学生的逻辑推理和书面表达能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（SAS）；
2.、会用SAS判定两个三角形全等；
3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等问题.
温故知新
A
B
C
D
E
F
根据上一节的学习，我们知道，
如果△ABC≌△DEF，那么它们的对应边相等，对应角相等.
如图，AB=DE，BC=EF，AC=DF；
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
问题：因铺设电线的需要，要在池塘两侧 A 、B 处各埋设一根电线杆(如图)，现有一足够长的米尺却无法直接量出 A 、B 两点间的距离．
同学们,你们知道怎样测出A 、B 两点之间的距离吗？
知识点一 SAS判定三角形全等
A
B
C
D
E
F
由全等三角形的性质我们知道，两个三角形一共有六个要素，即三条边，三个角；
小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．
小红提出了质疑：能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
探索
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素(三条边、三个角)分类组合，可能出现:
两边一角对应相等，
两角一边对应相等，
三角对应相等，
三边对应相等.
你认为这些情况下，两个三角形会全等吗？
探索交流
探索1：只有一个条件对应相等时（一条边或一个角）
（2）只有一个角相等时
（1）只有一条边相等时
3cm
3cm
45
45
3cm
45
两个三角形不一定全等
两个三角形不一定全等
结论：只有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探索2：只有两个条件对应相等时
（两条边对应相等；两个角对应相等；一个角和一条边对应相等）
（1）三角形的两边对应相等时
5cm
5cm
3cm
3cm
两个三角形不一定全等
（2）三角形的两角对应相等时
45
30
45
30
两个三角形不一定全等
（3）三角形的一个角和一条边对应相等时
3cm
3cm
30
30
两个三角形不一定全等
结论：只有两个条件相等不能保证两个三角形全等.
做
一
做
如图，已知两条线段和一个角,试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，看看是否完全重合.
下面我们用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
如图，在△ABC 和△A′B′C′中，已知 AB = A′B′，∠A = ∠A′，AC = A'C'.
△ABC 与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等.
在△ABC 和△ A′B′C′中，
∴　△ABC ≌△ A′B′ C′（S.A.S.）．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“S.A.S. ”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = A′B′，
∠A =∠A′，
AC =A′C′ ，
A
B
C
A ′
B ′
C ′
必须是两边“夹角”
典例精析
例1、如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC．
D
A
B
C
证明：在△ABC和△ADC中，
　 ∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）．
注意图形中的隐含条件“公共边”.
按照三角形前后顺序，对应顶点放在对应位置.
例2、如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC．
D
B
C
A
（1）DC ＝BC吗？
（2）CA平分∠DCB吗？
（3）本例包含哪一种图形变换？
归纳：判定两条线段相等或两个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到.
练一练
1、如图，已知线段 AC、BD 相交于点 E，AE = DE，BE = CE. 求证: △ABE≌DCE.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵AE = DE(已知)，
∠AEB = ∠DEC (对顶角相等)，
BE = CE(已知)，
∴△ ABE≌DCE ( S.A.S.).
①对应:“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系；
②顺序:“SAS”基本事实反映的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.若角为其中一边的对角，则不能保证两个三角形全等.
注意点：
1．如图，AC与BD交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需(　　　)
A．AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠A＝∠D
D．∠AOB＝∠DOC
B
A
D
C
B
O
根据SAS判定三角形全等的条件即可得出答案；
1
2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则△ABD≌_________,判定依据是__________.
A
C
D
B
E
2
△ACE
SAS
3．如图，AD＝CB，∠1=∠2， 求证：△ADC≌△CBA．
A
D
B
C
1
2
证明：
∴△ADC≌△CBA(SAS)．
在△ADC与△CBA中，
解：利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．
4.某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
5、如图，有一池塘.要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 CD = CA. 连结 BC 并延长到 E，使 CE= CB. 连结 DE，那么 DE 的长就是 A、B 的距离. 你知道其中的道理吗？
已知: AD 与 BE 相交于点 C，CA = CD，CB = CE.
求证: AB = DE.
证明：在△ACB 和△DCE 中，
∵CA = CD (已知)，
∠1= ∠2 (对顶角相等），
CB = CE (已知)，
∴∠ACB≌△DCE (S.A.S.).
∴AB = DE (全等三角形的对应边相等).
6. 如图所示，小明想设计一种测零件内径 AB 的卡钳.在卡钳的设计中，要使测出的 DC 长度恰好为内径 AB 的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法.
解: 满足 OA ＝ OC，OB＝OD ．
∵OA ＝ OC，OB＝OD ，∠AOB＝∠COD ，
∴△AOB≌△COD (S.A.S.)，
∴AB＝CD ．
1. 如图，和相交于点，若 ，
用“”证明 ，还需( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁
四个三角形中，与 全等的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 小明用同种材料制
成的金属框架如图所示，已知
，， ，其
中框架的质量为840克， 的
质量为106克，则整个金属框架的质
量为( )
D
A. 734克 B. 946克 C. 1 052克 D. 1 574克
返回
（第4题）
4. 在测量一个小口圆形容器的
壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法进行测
量，其中，，测得 ，
，用和 表示圆形容器的壁厚是______
___.
（第4题）
【点拨】在和 中，
, 圆形容器的壁厚为
.
返回
5.如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则
与 的数量关系是______________.
（第5题）
【点拨】如图，在与 中，
，
， .
返回
6.［2025重庆江北区月考］如图，在
和中，点在线段 上，
与交于点.若 ，
， .
（1）求证： ；
【证明】， .
在与中，
， .
（2）若 ， ，求 的度数.
【解】由（1）知， .
， ，
， .
应用“ ”判定两个三角形全等的两点注意：
1.对应：“ ”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的
“对应”关系.
2.顺序：在应用时一定要按边 角 边的顺序排列条件，绝
不能出现边 边 角（或角 边 边）的错误，因为边边
角（或角边边）不能保证两个三角形全等.
返回
（第7题）
7. ［2025武汉汉阳区月考］如图,
中，，平分.点为 上一
点，则图中全等三角形有( )
C
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
（第7题）
【点拨】平分， .
在和 中，
，
，.在 和
中，
.在
和中， ，
题图中共有3对全
等三角形.
（第7题）
返回
8. 如图，在中，，，， 平
分交于点，在上截取，则 的周
长为( )
A
（第8题）
A. 19 B. 20 C. 18 D. 17
两边及其夹角分别相等的两个三角形
三角形全等的“S.A.S.”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
“S.S.A.”不能判定两个三角形全等.
注意：1.已知两边，必须找“夹角”；
2.已知一角和这角的一夹边，必
须找这角的另一夹边.
谢谢观看！

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