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(共37张PPT)
12.2.3三角形全等的判定-角边角
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
《三角形全等的判定 - 角边角》教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够深刻理解并熟练掌握三角形全等的 “角边角”（ASA）判定定理，准确运用几何语言对其进行表述。
学会灵活运用 “角边角” 判定定理证明两个三角形全等，规范证明过程的书写格式，提升逻辑推理能力。
（二）过程与方法目标
引导学生经历探索三角形全等条件的全过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想，通过画图、裁剪、对比、归纳等活动，培养自主探究能力和创新思维。
增强学生在实际问题中抽象出数学模型，并运用 “角边角” 判定定理解决问题的能力，感受数学与生活的紧密联系。
（三）情感态度与价值观目标
通过小组合作交流，培养学生的团队协作精神和勇于探索、积极思考的科学态度。
让学生在成功解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心和成就感，激发学习数学的浓厚兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
透彻理解并牢固掌握 “角边角” 判定两个三角形全等的方法及其应用。
熟练掌握分析证明思路的方法，规范书写三角形全等的证明过程。
（二）教学难点
深入探索 “角边角” 判定定理的推导过程，理解其内在逻辑。
能在复杂图形中准确识别全等三角形以及所需的对应角、对应边条件。
三、教学方法
讲授法：系统讲解 “角边角” 判定定理的内容、几何语言表达及应用要点，确保学生清晰理解基础知识。
探究法：组织学生开展画图、动手操作等探究活动，自主发现 “角边角” 判定三角形全等的规律，培养自主学习能力。
讨论法：引导学生在小组内或班级中围绕探究发现、证明思路等问题展开讨论，促进思想交流，培养合作与表达能力。
练习法：通过有针对性的练习题，让学生在实践中巩固 “角边角” 判定定理，提高运用知识解决问题的能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾全等三角形的定义及性质，提问学生进行回答，强化记忆：
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
复习已学的三角形全等判定方法 “边边边”（SSS）和 “边角边”（SAS），提问学生判定定理的内容，引导学生思考是否还有其他判定三角形全等的方法，从而引出本节课主题 —— 探索三角形全等的 “角边角” 判定方法。
（二）探究新知（20 分钟）
提出问题
展示问题：如果已知两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？
引导学生对 “两角一边” 的位置关系进行分类讨论，得出两种情况：两角及其夹边对应相等；两角及其中一角的对边对应相等（为后续学习 “AAS” 埋下伏笔）。
探究两角及其夹边对应相等的情况
操作实验：
让学生在练习本上画一个△ABC，使∠A = 60°，AB = 4cm，∠B = 45°。具体画图步骤如下：
画线段 AB = 4cm；
以点 A 为顶点，AB 为一边，画∠MAB = 60°；
以点 B 为顶点，BA 为一边，画∠NBA = 45°，射线 AM 与射线 BN 相交于点 C。
学生完成画图后，用剪刀剪下自己画的三角形，与同桌的三角形进行叠合比较，观察能否完全重合。
小组讨论：组织学生在小组内交流自己的发现，讨论通过这种方式画出的三角形是否全等。
归纳总结：
邀请几个小组代表发言，分享小组讨论结果。
教师根据学生的回答进行总结：经过大量的实验和验证可知，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。这就是三角形全等的 “角边角” 判定定理，简写成 “ASA”。
用几何语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，
\(\begin{cases}∠A = ∠D\\AB = DE\\∠B = ∠E\end{cases}\)，
所以△ABC ≌△DEF（ASA）。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，求证：△ABC ≌△DEF。
分析：
明确题目中直接给出了满足 “角边角” 判定定理的三个条件。
按照 “角边角” 的顺序，将对应条件清晰罗列。
证明：在△ABC 和△DEF 中，
\(\begin{cases}∠A = ∠D\\AB = DE\\∠B = ∠E\end{cases}\)
所以△ABC ≌△DEF（ASA）。
例 2：已知：如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上，FB = CE，∠B = ∠E，∠ACB = ∠DFE，求证：△ABC ≌△DEF。
分析：
由已知 FB = CE，根据等式性质，可得 FB + FC = CE + FC，即 BC = EF。
此时，在△ABC 和△DEF 中，有∠B = ∠E，BC = EF，∠ACB = ∠DFE，满足 “角边角” 判定定理的条件。
证明：
因为 FB = CE，
所以 FB + FC = CE + FC，即 BC = EF。
在△ABC 和△DEF 中，
\(\begin{cases}∠B = ∠E\\BC = EF\\∠ACB = ∠DFE\end{cases}\)
所以△ABC ≌△DEF（ASA）。
强调：
运用 “角边角” 判定定理证明三角形全等时，要严格按照两角及其夹边的顺序准确列出三个条件，并且对应顶点的字母必须写在对应的位置上。
注意观察图形，挖掘题目中隐含的条件，如通过线段的和差关系得到对应边相等，利用对顶角相等、公共角等得到对应角相等。
（四）课堂练习（10 分钟）
已知：如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：△ABC ≌△ABD。
如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 相交于点 F，且∠CAD = ∠CBE，AC = BC，求证：△ADC ≌△BEC。
已知：如图，AB∥CD，AF = CE，∠B = ∠D，求证：△ABF ≌△CDE。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现并纠正学生在证明过程中出现的问题，如条件罗列顺序错误、对应顶点字母书写不规范等。选取部分学生的答案进行展示和点评，针对共性问题进行集中讲解。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容：
“角边角”（ASA）判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，明确其几何语言表述。
证明三角形全等的思路和步骤：先分析已知条件，找出满足 “角边角” 判定定理的对应角和对应边；再指明在哪两个三角形中进行全等证明；最后按照定理要求列出条件，得出结论。
强调运用 “角边角” 判定定理时的注意事项，如条件的顺序、对应顶点的书写以及挖掘隐含条件的重要性。
鼓励学生分享本节课的学习收获和体会，包括对知识的理解、学习方法的掌握以及在小组合作中的感受等。教师进行补充和总结，进一步强化重点内容，解答学生的疑问。
（六）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后练习题第 X 题、第 X 题，帮助学生巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
选做题：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B = ∠D，求证：△ABC ≌△CDA，提高学生运用知识解决综合性问题的能力。
拓展题：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，试探究△ABC 与△A'B'C' 是否全等，并说明理由，引导学生思考 “角角边” 与 “角边角” 的联系，为后续学习做铺垫 。
五、教学反思
在本节课教学中，通过多种教学方法引导学生探究 “角边角” 判定定理，注重学生的动手操作和思维训练。但在教学过程中，可能存在部分学生对定理的应用不够灵活，在复杂图形中难以快速准确找到对应条件的情况。在今后的教学中，应增加更多不同类型、不同难度层次的练习题，加强对学生分析问题和解决问题能力的培养。同时，进一步关注学生在小组合作中的参与度和表现，确保每个学生都能在合作学习中有所收获和提高。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（A.S.A.，A.A.S.）；
2、会用A.S.A.，A.A.S.判定两个三角形全等；
3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等的问题；
温故知新
上节课，我们得到了全等三角形的一种判定方法，还记得吗？
S.A.S.
现在我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
(角边角)
(角角边)
可以分成两种情况：（1）两个角及这两角的夹边；
（2）两个角及其中一角的对边.
问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？
知识点一 角边角判定三角形全等
操作1：如图，用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？
相当于已知一角画三角形，我们可以画出无数个不同形状、大小的三角形.
三角形能唯一确定.
4
60°
45°
F
E
D
4
45°
60°
A
B
C
4
60°
R
Q
P
操作2：如图，△ABC与△QPR、 △DEF能完全重合吗？动手试一试.
（实验手册附录D）
45°
操作3：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a, ∠A＝∠α, ∠B＝∠β，
1你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？你有什么发现？
作法：
1．作AB＝a．
2．在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ，∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C．
3．分别连接AB、AC．
△ABC就是所求作的三角形．
α
a
小组交流验证.
β
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“A.S.A.”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
典例精析
例1、如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB = ∠DBC．
求证: △ABC ≌△DCB，AB = DC.
解：在△ABC 和△DCB 中，
∵∠ABC =∠DCB （已知），
BC = CB（公共边），
∠ACB = ∠DBC（已知），
∴△ABC≌△DCB（ A.S.A. ）.
∴AB = DC（全等三角形的对应边相等）.
例2 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：BE＝DF，DE＝CF．
E
A
B
C
D
F
证明：∵DE∥AC，DF∥AB（已知），
∴∠EDC＝∠C，∠B＝∠FDC （两直线平行，同位角相等）.
∵D是线段BC的中点（已知），
∴BD=DC（线段中点定义）.
在△EBD和△FDC中，
∴△EBD≌△FDC(ASA)，
∴BE＝DF，DE=CF（全等三角形对应边相等）.
练一练
1.如图，∠C＝∠E，∠1＝∠2，BA＝DA，你能证明BC＝DE吗
A
E
D
C
B
1
2
证明:∵ ∠1＝∠2 （已知），
∴ ∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC （等式性质），
∴ ∠BAC＝∠DAE.
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝DE（全等三角形的对应边相等）．
2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C
(1)求证：△ABE≌△ACD
A
B
C
D
E
O
解：(1)证明 ：在△ADC和△AEB中
∴△ACD≌△ABE（ASA）
(2) ∵△ACD≌△ABE（已证）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴AB-AD=AC-AE（等式性质）
∴BD=CE
(2) BD和CE相等吗
知识点二 角角边判定三角形全等
(角角边)
如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
思 考
分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是有“角边角”，可证得这两个三角形全等.
已知：如图，∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,AC＝A′C′.
求证：　△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°(三角形内角和等于180°)，
∴∠C＝∠C′（等量代换）．
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，
AC＝A′C′，
∠C＝∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）
知识要点
“角角边”判定方法
文字语言：有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“A.A.S.”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′ C′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （A.A.S.）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
典例精析
例3 如图，点D在AB上，点E在AC上，AD=AE, ∠B=∠C,
求证：AB=AC.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AB=AC.
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ），
∠C=∠B （已知 ），
AD=AE（已知），
∴ △ACD≌△ABE（A.A.S.），
∴AB=AC.
方法归纳：通常利用全等三角形的对应边相等来证明两条线段相等，这是一个重要的方法.类似的方法可以证明两个角相等.
例4.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（A.A.S.).
∴AB=AD.
练一练
1、如图，在△ABC中，D 是边 BC 的中点，过点C 画直线 CE，使 CE// AB，交 AD 的延长线于点 E．求证: AD = ED.
证明: CE // AB (已知)，
∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (两直线平行，内错角相等).
在△ABD 与 △ECD 中，
∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (已证)，
BD = CD (已知)，
∴△ABD≌△ECD ( A.A.S. ) ，
∴AD = ED (全等三角形的对应边相等).
D
A
C
B
证明：（已知）
∴________________（两直线平行，内错角相等）
又（已知）
∴_________________（等式的性质）
在和中
（________）
（全等三角形的对应边相等）．
∠ADB=∠CBD
∠ABD=∠CDB
∠ADB=∠CBD
BD=DB
∠ABD=∠CDB
ASA
1.如图，已知．请将下列说明的理由补充完整．
1. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在
要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①④去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去
√
返回
（第2题）
2. ［2025武汉江夏区期中］如图，在
和中，点，， 在同
一直线上，已知 ，
，添加以下条件后，仍不能
判定 的是( )
A. B.
C. D.
√
返回
（第3题）
3. 如图，在中， ，
，于点，于点 ，
，，则 的长是( )
A. B.
C. D.
√
（第3题）
【点拨】 ， ，
，
，
， ，
.
在和 中，
，
， ，
.
（第3题）
返回
4.如图，已知，由尺规作图痕迹可知 ，
全等的理由为_____.
（第4题）
返回
5.如图，点，，，在同一条直线上， ，
，.若 ， ，则
的度数为_____ .
110
（第5题）
（第5题）
【点拨】， .在
和 中，
，
，
.
返回
6. 如图，，，，
四点在一条直线上， ,
，老师说：再添加一个条件就
可以使 .下面是课堂上
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
甲、丙
三个同学的发言，甲说：添加 ，乙说：添加
；丙说：添加 .
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明.
【解】（二选一即可）选择甲.证明如
下：
， .
在和中，
.
或选择丙.证明如下：
， .
，.在和 中，
.
返回
7. 在中， ，将
沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
( )
A. B. C. D.
√
角边角
判定定理
角边角
应用角边角、角角边判定三角形全等
应用
角角边
应用角边角、角角边解决问题
谢谢观看！

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