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12.2.4三角形全等的判定-边边边
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
《三角形全等的判定 - 边边边》教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解并熟练掌握三角形全等的 “边边边”（SSS）判定定理，清晰阐述其内容和适用条件。
熟练运用 “边边边” 判定定理进行三角形全等的证明，规范几何证明的书写格式，提升逻辑推理能力。
（二）过程与方法目标
引导学生经历 “边边边” 判定定理的探索过程，通过画图、裁剪、对比等实践操作，体会从特殊到一般的数学思想，培养自主探究能力和空间想象能力。
提高学生将实际问题转化为数学问题，运用 “边边边” 判定定理解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
（三）情感态度与价值观目标
通过小组合作探究活动，培养学生的团队协作精神和交流能力，激发学生的学习热情。
让学生在探索和解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心和成就感，感受数学的严谨性和科学性。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解 “边边边” 判定定理的内容，掌握运用该定理判定三角形全等的方法。
学会运用 “边边边” 判定定理进行规范的几何证明。
（二）教学难点
理解 “边边边” 判定定理的推导过程，体会其逻辑合理性。
在复杂图形中准确识别全等三角形的对应边，灵活运用 “边边边” 判定定理解决问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解 “边边边” 判定定理的概念、几何语言表达和应用要点，帮助学生构建知识框架。
探究法：组织学生进行画图、裁剪、比较等探究活动，让学生自主发现 “边边边” 判定三角形全等的规律，培养学生的探索精神和实践能力。
讨论法：引导学生在小组内讨论探究过程中的发现和疑问，促进学生之间的思想交流与碰撞，深化对知识的理解。
练习法：通过多样化的练习题，让学生在实践中巩固 “边边边” 判定定理的应用，提高解题能力和思维能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾全等三角形的定义和性质：
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
提出问题：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形是否全等呢？由此引出本节课的课题 —— 三角形全等的判定 “边边边”。
（二）探究新知（20 分钟）
动手操作：
要求学生在纸上画一个三角形，使它的三条边分别为 3cm、4cm、5cm。具体步骤如下：
画线段 AB = 3cm；
以点 A 为圆心，4cm 长为半径画弧；
以点 B 为圆心，5cm 长为半径画弧，两弧交于点 C；
连接 AC、BC，得到△ABC。
让学生用剪刀剪下自己画的三角形，与同桌的三角形进行比较，观察是否能够完全重合。
小组讨论：组织学生在小组内交流自己的发现，讨论通过这种方式画出的三角形是否全等，引导学生思考其中的规律。
归纳总结：
邀请小组代表发言，分享小组讨论的结果。
教师根据学生的回答进行总结：通过大量的实验可以发现，三边对应相等的两个三角形全等，这就是三角形全等的 “边边边” 判定定理，简写成 “SSS”。
用几何语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，
\(\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}\)，
所以△ABC ≌△DEF（SSS）。
实际应用解释：展示生活中利用 “边边边” 原理的例子，如自行车的三角形车架、篮球架的支架等，让学生体会数学在实际生活中的应用，加深对定理的理解。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知：如图，AB = CD，AD = BC，求证：△ABC ≌△CDA。
分析：
观察题目所给条件，明确已知的两组对应边相等。
发现图形中 AC 为公共边，即第三组对应边相等。
确定满足 “边边边” 判定定理的条件。
证明：在△ABC 和△CDA 中，
\(\begin{cases}AB = CD\\BC = DA\\AC = CA\end{cases}\)
所以△ABC ≌△CDA（SSS）。
例 2：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，BC = DC，E 为 AC 上一点，求证：△ABE ≌△ADE。
分析：
由已知条件 AB = AD，BC = DC，以及公共边 AC = AC，可先证明△ABC ≌△ADC（SSS），得到对应角相等。
再观察△ABE 和△ADE，结合前面得到的角相等，以及已知的 AB = AD，AE 为公共边，利用 “边边边” 判定定理证明△ABE ≌△ADE。
证明：
在△ABC 和△ADC 中，
\(\begin{cases}AB = AD\\BC = DC\\AC = AC\end{cases}\)
所以△ABC ≌△ADC（SSS），
所以∠BAE = ∠DAE。
在△ABE 和△ADE 中，
\(\begin{cases}AB = AD\\∠BAE = ∠DAE\\AE = AE\end{cases}\)
所以△ABE ≌△ADE（SSS）。
强调：
在使用 “边边边” 判定定理证明三角形全等时，要准确列出三边对应相等的条件，对应顶点的字母要写在对应的位置上。
注意挖掘图形中的隐含条件，如公共边等，同时要善于结合已证明的结论，为后续证明提供条件。
（四）课堂练习（10 分钟）
已知：如图，AB = AC，BD = CD，求证：△ABD ≌△ACD。
如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF，求证：△ABC ≌△DEF。
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，点 D、D' 分别是 BC、B'C' 的中点，求证：△ABD ≌△A'B'D'。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现并纠正学生在证明过程中出现的问题，如条件书写错误、逻辑不清晰等。选取部分学生的答案进行展示和点评，针对共性问题进行重点讲解。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容：
“边边边”（SSS）判定定理的内容和几何语言表述。
运用 “边边边” 判定定理证明三角形全等的步骤和注意事项，包括准确找出三边对应相等的条件、挖掘隐含条件、规范书写格式等。
请学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行补充和总结，强调 “边边边” 判定定理在三角形全等证明中的重要性，鼓励学生在课后继续加强练习，提高运用该定理解决问题的能力。
（六）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后练习题第 X 题、第 X 题，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
选做题：已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，连接 AD，求证：AD⊥BC，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
拓展题：尝试用多种方法证明：已知三边长度，所画的三角形是唯一的，加深学生对 “边边边” 判定定理的理解，拓展思维深度。
五、教学反思
在本节课教学中，通过引导学生动手操作、小组讨论等方式，让学生自主探究 “边边边” 判定定理，充分调动了学生的学习积极性。但在教学过程中，可能存在部分学生对定理的应用不够熟练，尤其是在复杂图形中寻找对应边存在困难。在今后的教学中，应加强对复杂图形的分析练习，帮助学生提高图形识别能力。同时，针对学生在证明过程中出现的书写不规范问题，要进一步加强指导和训练，强化几何证明的严谨性和规范性。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、掌握三角形全等的“S.S.S.”判定，并能应用它判别两个三角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实际问题.
2、由探索三角形全等条件的过程，体会由操作、归纳获得数学结论的过程．
温故知新
问题：目前我们已经学习了几种三角形全等的判定方法？
3种，分别是S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
知识点一 用边边边证三角形全等
如果两个三角形有三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？
不一定，如下面的两个三角形就不全等。
如果将上面的三个角换成三条边，结果又如何呢？
4 cm
a
3 cm
b
4.5 cm
c
步骤：
1.画一线段AB使它的长度等于c(4.5 cm).
2.以点A为圆心,以线段b(3cm)的长为半径画圆弧;以点B为圆心,以线段a(4cm)的长为半径画圆弧;两弧交于点C.
3.连结AC、BC.
a
b
c
A
B
C
△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形相比较，它们全等吗？
如果两个三角形有三条边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等呢？
做一做
如图，已知三条线段a，b，c，试画一个三角形，使这三条线段分别为其三边.
文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
知识要点
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
∵CB = AD ，AB = CD (已知)，
AC = CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA (S.S.S.).
∴∠B = ∠D (全等三角形的对应角相等).
【例2】 已知: 如图，AC=AD ,BC=BD. 求证: ∠C＝∠D.
A
B
C
D
证明：
在△ACB 和 △ADB中
AC = A D ，
BC = BD，
A B = A B (公共边），
∴△ACB≌△ADB（S.S.S.）.
连结AB.
∴∠C＝∠D
（全等三角形的对应角相等）.
练一练
1.如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF， AC＝DC.
△ABC和△DFC全等吗？
B
A
C
F
D
解:全等.
∵ C点是线段BF的中点，
∴BC=FC.
在△ABC和△DFC中，
∴△ABC≌△DFC(SSS).
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
B
A
C
E
F
D
解:全等.
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SSS).
变式2 若将上题中的三角形继续向左平移(如图)，若AB＝DC，AC＝DB，问：△ABC≌△DCB 吗？
B
A
C
E
F
D
解:全等.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SSS).
变式3 若将上题中的三角形拉开，再翻折形成下图(如图)，若AB＝DF, BE=CF, AC＝DE, 那么∠A与∠D相等吗 为什么
B
A
F
D
C
F
D
E
解: ∠A与∠D相等.
∵ BE＝CF ，
∴BE-CE=CF-CE.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SSS).
∴∠A=∠D.
至此，我们已经学习了关于全等三角形的三个基本事实，这是进行演绎推理的重要依据. 它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换 (轴对称、平移与旋转) 而相互重合.
概括
我们可以将前面关于全等三角形判定的探索得到的结论归纳成下表(请补充完整表格中的内容):
对应相等的元素 两边一角 两角一边 三角 三边
两边及其夹角 两边及其中一边的对角 两角及其夹边 两角及其中一角的对边 三角形是否一定全等 一定 （S.A.S.） 一定 （A.S.A.）
不一定
（S.S.A.）
一定
（A.A.S.）
不一定
（A.A.A.）
一定
（S.S.S.）
三角形全等的判定思路为:
（1）已知两边:
① 找夹角（S.A.S.）；
②找第三边（S.S.S.）．
（2）已知一边一角:
①边为角的对边时找任一角（A.A.S.）；
②边为角的邻边时，可找夹角的另一边（S.A.S.），也可以找
任一角 （A.A.S. 或 A.S.A.）．
（3）已知两角:
①找夹边（A.S.A.）
②找其中一角的对边（A.A.S.）
1．王老师为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据_______．
SSS　　　
依据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三角形全等的判定理由：SSS
2.如图，在△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定 (　　)
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对
A
B
C
E
D
B
由图形可知，△ABE与△ACE的三边均相等；（AE属于公共边）
3．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是( )
B
A
C
F
D
E
A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对
C
△ACE≌△BDF，已经知道两条边相等，要想证全等，只需要剩余的第三边相等即可；
1. 如图，下列三角形中，与 全等的是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 尺
规作图中蕴含着丰富的数学知
识和思想方法.如图，为了得
到 ，在用直尺
和圆规作图的过程中，得到
A. B. C. D.
的依据是 ( )
√
返回
（第3题）
3. 如图，在和 中，
，，要利用“ ”来判定
和 全等时，下面的4个条件
中：； ；
； ，可利用的是
( )
A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或④
√
返回
（第4题）
4. 如图，在和中，点在边
上，边交边于点.若 ，
，，则 等于( )
A. B. C. D.
√
（第4题）
【点拨】在和中，
， .
是 的外角，
，
.
返回
（第5题）
5. ［2025德州期末］在如图所示的 网
格中， 是格点三角形（即顶点恰好是
网格线的交点），则与 有一条公共边
且全等不含 的所有格点三角形的个
数是( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
√
返回
6.如图，已知 .
（1）用尺规利用作，使得 ，且
和在直线 的同一侧（不写作图过程，保留作
图痕迹）；
【解】如图.
（2）连结，求证： .
【证明】，， .
在和中，
.
返回
7. 如图为9个全等的正六边形（六条边相
等，六个角相等）紧密排列在同一平面
内的情形.根据图中标示的各点位置，下
列三角形中与 全等的是( )
A. B. C. D.
【点拨】根据图形可知，， ，
，即和 全等，故选B.
√
返回
（第8题）
8. 如图，在中，, 分别是边
,上的点，且,, 交
于点,的延长线交于点 .若
，则图中的全等三角形
共有( )
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
√
（第8题）
【点拨】在和 中，
，
， ，
.在和
中，
， ，
，， 易得
，.在
和 中，
（第8题）
.在和 中，
，
同理可得 ，
， .故
选D.
（第8题）
返回
9.如图，，，，分别是， 的中点，
若的面积为 ，则图中阴影部分的面积为___.
3
（第9题）
【点拨】如图，连结，在 和
中， ，
，分别是， 的中点，
，，
阴影部分的面积 的面积为，
阴影部分的面积 .
返回
边边边
判定定理
三边分别相等的两个三角形全等
应用
应用 S.S.S.判定三角形全等
三角形全等的判定方法的综合应用
谢谢观看！

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