资源简介

(共40张PPT)
12.2.5三角形全等的判定-斜边直角边
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
《三角形全等的判定 - 斜边直角边》教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能精准理解 “斜边直角边”（HL）判定定理的内容，清晰掌握其适用条件为两个直角三角形，并熟练运用几何语言准确表述。
熟练运用 “HL” 判定定理证明两个直角三角形全等，规范几何证明的书写格式，提升逻辑推理与演绎证明能力。
（二）过程与方法目标
引导学生经历 “HL” 判定定理的探索、推导过程，通过观察、猜想、实验验证等活动，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养自主探究与创新思维能力。
提高学生将实际问题转化为直角三角形全等问题，并运用 “HL” 定理解决的能力，增强数学建模与应用意识。
（三）情感态度与价值观目标
通过小组合作探究、交流讨论，培养学生的团队协作精神与沟通表达能力，激发学习数学的热情。
让学生在探索知识、解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心与成就感，感受数学的严谨性与应用价值。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解 “斜边直角边” 判定定理的内涵与应用条件。
熟练运用 “HL” 判定定理进行直角三角形全等的证明，规范证明过程书写。
（二）教学难点
探究 “HL” 判定定理的推导过程，理解其合理性与科学性。
在复杂图形中准确识别直角三角形及对应的斜边和直角边，灵活运用 “HL” 定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解 “HL” 判定定理的概念、条件及应用要点，构建清晰知识框架。
探究法：组织学生开展画图、测量、对比等探究活动，自主发现 “HL” 判定定理，培养探索精神与实践能力。
讨论法：引导学生小组讨论探究过程中的发现与疑问，促进思想交流，深化知识理解。
练习法：通过分层练习题，让学生在实践中巩固 “HL” 定理应用，提升解题能力与思维品质。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾全等三角形的判定方法：“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS），提问学生各判定定理的内容，强化记忆。
回顾直角三角形的相关概念，如直角边、斜边等。提出问题：对于两个直角三角形，除了前面的判定方法，是否还有特殊的判定全等的方法呢？由此引出本节课课题 —— 三角形全等的判定 “斜边直角边”。
（二）探究新知（20 分钟）
创设情境，提出猜想
展示生活中两个直角三角形的实际例子（如两个直角三角板），引导学生思考：如果已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形是否全等？让学生大胆猜想。
动手操作，验证猜想
让学生在练习本上画一个 Rt△ABC，使∠C = 90°，BC = 3cm，AB = 5cm 。具体画图步骤如下：
画∠MCN = 90°；
在射线 CM 上截取 BC = 3cm；
以点 B 为圆心，5cm 长为半径画弧，交射线 CN 于点 A；
连接 AB，得到 Rt△ABC。
用剪刀剪下画好的 Rt△ABC，与同桌画的三角形进行比较，观察能否完全重合。
再让学生改变直角边和斜边的长度，重复上述操作，多次验证。
小组讨论，归纳总结
组织学生在小组内交流操作结果与发现，讨论通过这种方式得到的直角三角形是否全等。
各小组代表发言，分享讨论结果。
教师总结：通过大量的实验验证，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，这就是 “斜边直角边” 判定定理，简写成 “HL”。
用几何语言表示为：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
\(\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\end{cases}\)（AB、DE 为斜边，BC、EF 为直角边），
所以 Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
深入理解，辨析条件
通过反例（如只知道一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的斜边相等，画出的三角形不全等），强调 “HL” 判定定理必须是在两个直角三角形中，且是斜边和一条直角边对应相等才能判定全等。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF。
分析：
明确题目给出两个直角三角形，且已知斜边 AB = DE，直角边 AC = DF，满足 “HL” 判定定理的条件。
按照 “HL” 定理的格式进行证明书写。
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
\(\begin{cases}AB = DE\\AC = DF\end{cases}\)
所以 Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
例 2：如图，已知 AD⊥DB，BC⊥CA，AC = BD，求证：AD = BC。
分析：
观察图形，发现△ADB 和△BCA 是直角三角形。
已知 AC = BD，且 AB 为公共边（即两个直角三角形的斜边相等），满足 “HL” 判定定理条件，可先证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得到 AD = BC。
证明：
因为 AD⊥DB，BC⊥CA，
所以∠D = ∠C = 90°。
在 Rt△ADB 和 Rt△BCA 中，
\(\begin{cases}AB = BA\\AC = BD\end{cases}\)
所以 Rt△ADB ≌ Rt△BCA（HL），
所以 AD = BC。
强调：
使用 “HL” 判定定理时，要先说明两个三角形是直角三角形，再列出斜边和直角边对应相等的条件。
注意挖掘图形中的隐含条件，如公共边、公共角等，同时要结合全等三角形的性质解决问题。
（四）课堂练习（10 分钟）
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，∠A = ∠D = 90°，AB = DC，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DCB。
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD = BD，DE⊥AB 于点 E，AC = AE，求证：DE = BC。
已知：如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，CE = BF，求证：Rt△ABE ≌ Rt△DCF。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生在证明过程中出现的问题，如条件遗漏、格式不规范等。选取部分学生的答案进行展示和点评，针对共性问题集中讲解。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容：
“斜边直角边”（HL）判定定理的内容、适用条件及几何语言表述。
运用 “HL” 判定定理证明直角三角形全等的步骤和注意事项，包括先确定直角三角形、找出对应斜边和直角边、规范书写证明过程等。
请学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行补充和总结，强调 “HL” 判定定理在直角三角形全等证明中的独特作用，鼓励学生在课后加强练习，灵活运用定理解决问题。
（六）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后练习题第 X 题、第 X 题，巩固 “HL” 判定定理的基础知识与基本应用。
选做题：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE 是过点 A 的一条直线，且 BD⊥AE 于点 D，CE⊥AE 于点 E，BD＞CE，求证：BD = DE + CE，提升学生综合运用知识解决问题的能力。
拓展题：思考 “HL” 判定定理与其他三角形全等判定方法的联系与区别，以思维导图形式呈现，培养学生的知识整合与归纳能力。
五、教学反思
在本节课教学中，通过创设情境、动手操作等活动，学生积极参与 “HL” 判定定理的探究过程，对定理有了较深刻的理解。但在教学过程中，部分学生在复杂图形中准确找出对应斜边和直角边存在困难，且在证明过程中容易忽略说明三角形是直角三角形这一前提条件。在今后的教学中，应加强图形分析训练，通过更多典型例题和变式练习，帮助学生突破难点，同时强化证明过程的规范性要求，提高学生的逻辑思维与严谨性。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“H.L.”定理，体会“H.L.”的合理性；
2、掌握“H.L.”定理，能正确应用“H.L.”定理证明两个三角形全等；
3、能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题；
　
温故知新
问题：证明一般三角形全等有哪些方法？
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.A.S.（或边角边）
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为 A.S.A.（或角边角）
　
温故知新
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S.（或角角边）.
4.三边分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.S.S.（或边边边）
A
B
O
N
M
P
∟
∟
？
？
在△OMP和△ONP中
△OMP与△ONP全等吗？
探讨角平分线的作法时，小明只带了直角三角板，他说只利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理的.
思考：这个证明是否成立呢？这节课我们将讨论这个问题！！！
知识点一 利用“H.L.”判定直角三角形全等
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量．
(1)　你能帮他想个办法吗？
根据“S.A.S.”可测量其余两边与这两边的夹角.
根据“A.S.A.”，“A.A.S.”可测量对应一边和一锐角.
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 　
下面，让我们来验证这个结论.
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等 .
2 cm
3 cm
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于C；
△ABC即为所求.
M
A
B
C
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
4.连结BC.
知识要点
“斜边直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边直角边”或“H.L.”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
∴在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (H.L.).
∵∠C=∠C′=90°,
“S.S.A.”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
典例精析
【例1】如图，已知 AC = BD，∠C = ∠D = 90°.求证: BC = AD.
证明： ∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC与△BAD 都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵AB = BA (公共边)，
AC = BD (已知)，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (H.L.)
BC = AD (全等三角形的对应边相等).
1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为: 一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形．
2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别:
（1）一般三角形全等的条件“S.S.S.”在直角三角形中被“H.L.”代替，无需找第三条边对应相等；
（2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等．
练一练
如图，在△ABC中，D为 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点 E、F 为垂足，DE = DF. 求证:△BED≌△CFD.
证明: ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
∴ ∠BED ＝ ∠CFD ＝ 90°，
∴△BED 与△CFD 都是直角三角形．
∵D 为 BC 的中点,
∴BD ＝ CD ．
在 Rt△BED 与 Rt△CFD 中，
∵BD ＝ CD ，DE ＝ DF，
∴Rt△BED ≌ Rt△CFD (H.L.)．
2. 如图，AC = AD，∠C =∠D = 90°．求证: BC = BD.
证明:在Rt△ACB 和Rt△ADB 中,
∵AB＝AB，AC＝AD ，
∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (H.L.)．
∴BC ＝ BD ．
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的跨度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 与 ∠F 的大小有什么关系？说说你的想法和理由.
解: ∠B＋∠F ＝ 90°．
可以利用已知条件证明
Rt△ABC ≌ Rt△DEF (H.L.)，
∴∠B ＝∠DEF，
∴∠B＋∠F ＝ 90°．
4. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是边 BC 上的高.
求证:（1）BD = DC；（2）∠BAD = ∠CAD.
证明: ∵AD 是 BC 边上的高，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．
在Rt△ADB 和Rt△ADC 中，
AB＝AC，AD ＝ AD，
∴Rt△ADB ≌ Rt△ADC (H.L.)，
∴BD ＝ DC，∠BAD ＝∠CAD ．
5、一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？他该带哪块去呢？请用数学知识解释你的结论.
解:可以．带右边的一块去．这样可以根据三角形全等的判定方法可知，具有全等的 3 个条件，即 A.S.A.
1、已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°,
求证：②AO﹦BO，CO=DO.
A
D
C
B
②证明：在△AOC 和△BOD 中，
O
∴△AOC≌△BOD(AAS)
∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形对应边相等).
A
D
C
B
2.如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC.求证：AB=CD，AD//BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥DB(已知)，
∴∠ABD=∠CDB=90° (垂直定义).
在Rt△ABD和Rt△CDB中
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.
∴∠ADB=∠CBD， AB=CD
(全等三角形对应边、对应角相等) .
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行) .
3.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，
AC＝AE. 求证：BC＝BE.
E
D
A
C
B
F
证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠ADB=∠AFB=90°
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.
∴CD=EF.
在Rt△ADB和Rt△AFB中,
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）.
∴BD=BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
4. 如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F.若BE=CF，则图中全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
A
F
C
B
E
根据全等的条件将全等的三角形一一列出即可；
1. ［2025渭南期中］如图，要用“ ”判定
和 全等的条件是( )
C
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
（第2题）
2. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示
的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于
点，另一直角边，分别落在
的边和上，且，作射线 ，
则在说明为 的平分线的过程中，
证全等的依据是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图所示，已知在 中，
，，交于点 ，
若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】在中， ，
，交于点 ，且
， ，
.
， ，
，
.
返回
4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖
直墙上.已知左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度
相等，若，，，则 的长为
___ .
6
（第4题）
【点拨】由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
， ，
.
返回
（第5题）
5.如图，为斜边 上的一点，且
，过点作的垂线，交 于点
，若，则的长为____ .
12
【点拨】连结.根据题意，可得 .
， ，
，
.又， .
返回
6.［2025汕头月考］如图，在四边形中， ，
连结对角线，且，点在边上，连结 ，过
点作，垂足为，若 .求证：
（1） ；
【证明】， .
在和中，
，
，
即 .
（2） .
如图，连结 ，
易知 .
在和 中，
， .
， .
， .
（1）“ ”是判定两个直角三角形全等特有的方法，
应用此方法时要注意：①要保证两个三角形是直角三角形；
②斜边相等：③任意一条直角边对应相等.（2）一般三角形
全等的判定方法对判定两个直角三角形全等全部适用，也就
是说判定两个直角三角形全等共有5种方法，即“”“ ”“
”“”“ ”.
返回
（第7题）
7. 如图，过点分别作 ，
，垂足分别为， ，且
，连结与相交于点 ，
则下列结论不一定成立的是( )
C
A. B.
C. D.
（第7题）
【点拨】， ，
，是 的角平分
线， ，
.在 和
中，
，
.在和 中，
，
，B，D选项都不符合
题意.与 不一定相等，故C选项
符合题意.
（第7题）
返回
（第8题）
8. 如图，于点,于点 ,
与交于点,,连结 ，则
图中全等的直角三角形共有( )
B
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
斜边直角边
判定定理
形式
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
H.L.（斜边直角边），存在于直角三角形中
判定直角三角形全等与判定一般三角形全等的联系与区别
应用
用H.L.解决问题
谢谢观看！

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