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(共43张PPT)
12.3.2等腰三角形的判定
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
等腰三角形的判定教案
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够准确理解并熟练掌握等腰三角形的判定定理，即 “等角对等边”；能运用该判定定理进行等腰三角形的判定和相关几何证明、计算，明确判定定理与性质定理的区别与联系。
过程与方法目标
通过观察、实验、猜想、逻辑推理等数学活动，经历等腰三角形判定定理的探究过程，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和演绎推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会数学研究的基本方法。
情感态度与价值观目标
激发学生对数学问题的探究兴趣，增强学生学习数学的自信心和成就感；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及合作交流的意识，让学生感受数学知识的严谨性和应用价值。
二、教学重难点
教学重点
等腰三角形判定定理 “等角对等边” 的探究与应用，能够运用判定定理解决相关的几何问题。
教学难点
理解等腰三角形判定定理的证明思路，尤其是辅助线的添加方法；能够正确区分等腰三角形的性质定理和判定定理，并在实际问题中准确运用。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合。通过讲授法讲解判定定理的概念和证明思路，利用探究法引导学生自主发现定理，借助讨论法促进学生的思维碰撞，运用练习法巩固所学知识，提高学生的应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
展示问题情境：如图，有一块等腰三角形的玻璃被打碎了，只剩下一个底角和部分底边（展示图片）。工人师傅要重新裁一块同样的等腰三角形玻璃，你能帮他想想办法吗？
引导学生思考解决问题的方法，提问：“如何根据现有的条件确定这个等腰三角形的形状呢？” 从而引出本节课的课题 —— 等腰三角形的判定。
回顾等腰三角形的性质，提问学生：“等腰三角形有哪些性质？” 通过回顾性质，为探究判定方法做好铺垫，同时引导学生思考性质与判定之间的关系。
（二）探究新知（20 分钟）
实验操作，提出猜想
让学生在纸上画一个△ABC，使得∠B = ∠C，然后用直尺测量 AB 和 AC 的长度，观察它们的数量关系。
组织学生进行小组交流，分享自己的发现。教师巡视各小组，参与讨论并给予指导。
各小组派代表汇报讨论结果，学生通过测量和观察，可能会猜想：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
逻辑推理，证明猜想
将学生的猜想转化为数学命题：已知在△ABC 中，∠B = ∠C，求证：AB = AC。
引导学生思考证明两条线段相等的方法，如利用全等三角形的性质等。启发学生通过添加辅助线来构造全等三角形，教师提出问题：“如何添加辅助线可以使包含 AB 和 AC 的两个三角形全等呢？”
展示两种常见的辅助线添加方法：
方法一：作∠BAC 的平分线 AD。
证明过程：因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。在△ABD 和△ACD 中，∠B = ∠C（已知），∠BAD = ∠CAD（已证），AD = AD（公共边），所以△ABD ≌△ACD（AAS），则 AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
方法二：作 BC 边上的高 AD。
证明过程：因为 AD⊥BC，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。在△ABD 和△ACD 中，∠B = ∠C（已知），∠ADB = ∠ADC（已证），AD = AD（公共边），所以△ABD ≌△ACD（AAS），从而 AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
教师规范板书证明过程，强调证明的严谨性，得出等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。
对比分析，明确区别
引导学生对比等腰三角形的性质定理 “等边对等角” 和判定定理 “等角对等边”，组织学生进行小组讨论：“这两个定理的条件和结论有什么不同？在应用中如何区分？”
各小组讨论后派代表发言，教师进行总结和补充，明确性质定理是在已知三角形是等腰三角形的前提下，得出角的关系；而判定定理是通过角的关系来判断三角形是否为等腰三角形。
（三）巩固练习（15 分钟）
基础练习
已知在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 80°，判断△ABC 是否为等腰三角形，并说明理由。
如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，图中有几个等腰三角形？请分别指出并说明理由。
（学生独立完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行个别指导。然后请学生回答，集体订正答案，强调运用判定定理时要准确找出相等的角及其所对的边。）
拓展练习
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 分别在 AC、AB 上，且 BD = BC，AD = DE = BE，求∠A 的度数。
已知：如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是 AB 边上的高，∠A = 30°。求证：BD = \(\frac{1}{4}\)AB。
（学生分组讨论，尝试不同的解题思路和方法。各小组派代表展示解题过程，教师总结多种解法，拓展学生的思维，提高学生综合运用知识解决问题的能力。）
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学的主要内容，包括等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，定理的证明思路和方法，以及性质定理与判定定理的区别。
教师对学生的回答进行补充和完善，强调判定定理在几何证明和计算中的重要性，帮助学生构建完整的知识体系。
（五）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后习题相关题目，帮助学生巩固等腰三角形判定定理的基础知识和基本应用。
选做题：如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E。求证：BD + CE = DE。让学有余力的学生进一步提升综合运用知识和逻辑推理的能力。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生在探究判定定理和练习环节的表现，及时发现学生在理解判定定理、添加辅助线以及区分性质与判定定理等方面存在的问题。针对这些问题，在后续教学中加强针对性的讲解和练习，注重引导学生总结解题方法和规律，培养学生良好的数学思维习惯。通过作业反馈，了解学生对知识的掌握程度，调整教学策略，提高教学效果。
这份教案围绕等腰三角形判定展开教学，注重知识探究与应用。若你觉得教学环节的时长、练习的难度等需要调整，随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理；
2、能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题；
温故知新
A
B
C
等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰相等。
等腰三角形两底角相等（等边对等角）。
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。
等腰三角形是轴对称图形。
　
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
知识点一 等腰三角形的判定
探究新知
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢？
按定义，看它是否有两条边相等。
你还能找到其他的判定方法吗？
探索
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，（角平分线的定义）
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C（已知），
AD=AD（公共边），
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，
∴ △ ABC是等腰三角形.
画∠BAC的平分线交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
总结归纳
等角对等边
等边对等角
∴ AC=AB ( ).
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C ( ),
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
等角对等边
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
A
B
C
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴AC = AB ( 等角对等边）.
A
B
C
在△ABC中，
∵∠B =∠C (已知)，
它们的条件与结论正好调换了过来， 这也叫互逆命题.
典例精析
【例1】 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗？请说明理由.
A
B
C
O
E
D
解：OB=OC.
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角).
∵BD、CE是角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB (角平分线定义).
∴∠OBC=∠OCB (等量代换).
∴OB=OC (等角对等边).
练一练
1、如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.
A
B
C
40°
70°
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A＝40°，∠B＝70°
∴∠C＝180°－∠A－∠B
＝180°－40°－70°＝70°
∴∠C＝∠B
∴ AB＝AC（等角对等边）
2、如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC.
A
B
C
D
2
1
证明：∵AB∥CD
∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2 （已知）
∴∠B＝∠1 （等量代换）
∴AB＝AC（等角对等边）
知识点二 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
判定1：
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
A
B
C
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
1
2
动动手
若AB=AC , ∠B= 60°，求证AB=AC=BC.
等腰三角形
边
角
特殊线
对称性
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)
三个角都相等，
轴对称图形对称轴（3条）
等边三角形
轴对称图形对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
且都是60°
两条边相等
三条边都相等
等边三角形性质归纳：
典例精析
【例2】 如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.
(1)求证:△ABE≌△CAF;
(2)求∠BDF的度数.
解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF (SAS).
A
B
C
D
E
F
解：(2)∵△ABE≌△CAF,
∴∠ABE=∠CAF.
∴∠BDF=∠ABE+∠BAF
=∠CAF+∠BAF
=∠BAC=60°.
A
B
C
D
E
F
(2)求∠BDF的度数.
练一练
1.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE.求证：∠ABD＝∠E.
A
B
C
D
E
证明: ∵△ABC为等边三角形, BD是AC边的中线,∴BD⊥AC， BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABD＝∠ABC＝30°.∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝60°，
∴∠CDE＋∠E＝60°，∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠ABD＝∠E.
2.如图, 等边△ABC中, D、E、F分别是各边上的一点, 且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
A
B
C
D
F
E
3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
B
C
A
M
N
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
B
C
A
F
E
M
N
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
想一想：本题你还能得到哪些结论？
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么
△ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°,
所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,
所以△ABC是等腰三角形.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
1. 已知等腰三角形的一个外角是 ，则它是( )
C
A. 等腰直角三角形 B. 一般的等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰钝角三角形
返回
2. ［2025潍坊期中］下列条件中，可以判定 是等腰三
角形的是( )
D
A. B.
C. 三角形的一个外角为 D. ，
【点拨】A.， ，
，解得 ，此时不能确定和 的
度数，故无法判定的形状；B. ，
可设，， ，又
， ，解得
， ， ，
，故不能判定为等腰三角形；C. 三
角形的一个外角为 ， 三角形的一个内角为 ，不
能判定为等腰三角形；D. ， ，
，故能判定 为
等腰三角形.
返回
3. 如图， ，
，则图中的等腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
（第4题）
4.将含 角的直角三角板和直尺按如图所
示的方式放置，已知 ，点， 表
示的刻度分别为，，则线段 的
长为___ .
2
【点拨】 直尺的两对边互相平行， .
.
，
， 是等边三角形，
.
返回
（第5题）
5.如图，在中，，点在 的
延长线上，于点，交于点 ，
若，，则 的长度为____.
10
（第5题）
【点拨】 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
.
返回
6.［2024江西］【追本溯源】
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并
完成题（2）.
（1）如图①，在中，平分，交于点 ，过
点作的平行线，交于点，请判断 的形状，并
说明理由.
【解】 的形状是等腰三角形，理由如下：
平分， .
，， ，
， 是等腰三角形.
【方法应用】
（2）如图②，在平行四边形中，平分 ，交边
于点，过点作交的延长线于点，交 于
点 .
①图中一定是等腰三角形的有( )
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
②已知，，求 的长.
由题可知，.又平分 ，
.
， .
，， ，
， .
又，， .
， .
返回
（第7题）
7. 如图，是等边三角形的边 上的
一点，若 ，在以线段 ，
， 为边长的三角形中，最小内角的度
数是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】 是等边三角形，
.如图所示，将绕点
逆时针旋转 得到，连结 ，
则 ， ，
，， 为等边三角形，
， ， 以线段，， 为边长
的三角形，即为 ，最小的锐角为
，
，
，
.
返回
（第8题）
8. 如图, ,平分 ,
且.若点,分别在, 上,
且 为等边三角形,则满足条件的
有( )
D
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 无数个
等腰三角形的判定
判定→等角对等边
应用→证明同一个三角形中两边相等
等边三角形→判定方法
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°
谢谢观看！

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