资源简介

(共39张PPT)
13.1.1直角三角形三边关系
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
直角三角形三边关系教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解勾股定理的内容，熟练掌握直角三角形三边之间的数量关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。
能够灵活运用勾股定理进行简单的计算，包括已知两边求第三边，以及解决实际生活中的相关问题。
（二）过程与方法目标
通过观察、猜想、操作、验证等一系列数学探究活动，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。
在探究勾股定理的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣和信心。
让学生在探究活动中体验成功的喜悦，培养学生的合作精神和创新意识，感受数学文化的魅力。
二、教学重难点
（一）教学重点
勾股定理的内容及其推导过程。
勾股定理的简单应用，包括在直角三角形中已知两边求第三边。
（二）教学难点
勾股定理的推导过程，尤其是通过图形面积的方法证明勾股定理。
灵活运用勾股定理解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、直观演示法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
展示图片：展示生活中含有直角三角形的物体图片，如梯子、三角板、房屋的屋顶等，引导学生观察这些物体中的直角三角形。
提出问题：“同学们，我们看到这些直角三角形在生活中随处可见。那么，直角三角形的三条边之间除了长短不同，是否还存在着某种特殊的数量关系呢？今天我们就一起来探索这个问题。”
（二）探究新知（20 分钟）
特殊直角三角形探究（8 分钟）
课件展示边长为 3、4、5 的直角三角形，引导学生计算三条边的平方：\(3^2 = 9\)，\(4^2 = 16\)，\(5^2 = 25\)。
组织学生小组讨论：观察这三个平方数，你能发现它们之间有什么关系吗？
小组代表发言，教师总结：\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。
再展示边长为 5、12、13 的直角三角形，让学生自主计算验证上述关系是否成立。
一般直角三角形探究（12 分钟）
利用方格纸，画出两直角边分别为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)的一般直角三角形（\(a\)、\(b\)为整数）。
以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，引导学生通过数方格的方法计算三个正方形的面积（对于不满一格的采用割补法）。
设两直角边对应的正方形面积分别为\(S_1\)、\(S_2\)，斜边对应的正方形面积为\(S_3\)，让学生观察并猜想\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)之间的关系。
小组讨论交流后，教师引导学生得出：\(S_1 + S_2 = S_3\)，进而得到\(a^2 + b^2 = c^2\)。
多媒体动态演示多个不同的直角三角形，验证上述结论的普遍性。
（三）定理推导（10 分钟）
介绍赵爽弦图：通过多媒体展示赵爽弦图，向学生介绍其历史背景和文化意义，激发学生的民族自豪感。
证明过程：
引导学生观察弦图，将大正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形。
设直角三角形的两直角边分别为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)，分别表示出大正方形的面积（\(c^2\)）和四个直角三角形与小正方形的面积之和\((4\times\frac{1}{2}ab + (b - a)^2)\)。
通过面积相等列出等式：\(c^2 = 4\times\frac{1}{2}ab + (b - a)^2\)，化简后得到\(a^2 + b^2 = c^2\)，从而证明勾股定理。
（四）例题讲解（10 分钟）
例 1：在直角三角形中，已知两直角边分别为\(6\)和\(8\)，求斜边的长。
分析：直接运用勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a = 6\)，\(b = 8\)，求\(c\)。
解答过程：\(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)。
例 2：在直角三角形中，已知斜边为\(13\)，一条直角边为\(5\)，求另一条直角边的长。
分析：同样运用勾股定理，变形为\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)（设\(c\)为斜边，\(a\)、\(b\)为直角边），其中\(c = 13\)，\(a = 5\)，求\(b\)。
解答过程：\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)。
强调：在使用勾股定理计算时，要注意分清斜边和直角边，避免计算错误。
（五）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
直角三角形的两直角边分别为\(3\)和\(4\)，则斜边为______。
直角三角形的斜边为\(10\)，一条直角边为\(6\)，则另一条直角边为______。
提高练习：
一个门框的尺寸如图所示，一块长\(3m\)，宽\(2.2m\)的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（门框高\(2m\)，宽\(1m\)）
让学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行针对性讲解。
（六）课堂小结（5 分钟）
提问学生：“今天我们学习了什么知识？你有哪些收获？”
教师总结：回顾勾股定理的内容、推导过程和应用，强调勾股定理在直角三角形三边关系中的重要性，以及从特殊到一般的数学探究方法。
（七）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题。
选做题：查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法，并尝试自己证明。
五、教学资源
多媒体课件，包含相关图片、动画和演示内容。
方格纸、三角板、直尺等学习工具。
六、教学反思
在教学过程中，要关注学生的参与度和理解程度，及时调整教学节奏和方法。对于勾股定理的推导过程，部分学生可能理解起来有困难，需要加强引导和解释。通过作业和后续练习，进一步了解学生对知识的掌握情况，针对薄弱环节进行强化辅导。
这份教案涵盖了知识讲解与实践应用。你可以说说对教案各环节的看法，比如是否需要增减练习难度，我来进一步优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法；
2、通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
　
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.
邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.
观察这枚邮票上的图案，数数图案中各正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
知识点一 直角三角形三边的关系
（图中每一格代表一平方厘米）
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
观察正方形瓷砖铺成的地面.
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢
想一想
填一填.
观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
直角三角形三边关系的证明方法：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
B
C
a
c
b
a2+b2=c2
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
b
c
这种关系我们称为勾股定理.
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
概念总结
思考：怎样证明勾股定理？
左图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积=c2.
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= .
即a2+b2=c2.
做
一
做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= .
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
典例精析
【例1】求出下列直角三角形中未知边的长度.
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
x2 =100
x2=62+82
∵x>0，
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∴ y=12.
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得:
AC2+BC2=AB2
∵y>0，
A
6
8
x
C
B
5
y
13
C
A
B
∴ x=10.
(1)
(2)
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是________.
13
15
10或
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
3.如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
S1=π()2=，
S2=π()2=，
S3=π()2=，
AB2+AC2=BC2，∴S1+S2=(AC2+AB2)=BC2=S3 .
∴S2=S3-S1=25-9=16.
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图. 对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2. 与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.
1.求下列图中未知数x、y、z的值.
x=15
y=5
z=7
81
16
x
y
144
169
z
625
576
2. 如图，一个高3 米，宽4 米的大门，需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为 ( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
C
3
4
C
B
A
3.如图，正方形中的数据表示它的面积，则第三个正方形的面积为(　 )
A.69 B.18 C.19 D.20
C
25
44
A
B
C
1. 下列说法中正确的是( )
C
A. 已知,,是三角形的三边长，则
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在中， ，,,是,, 的对边，所
以
D. 在中， ,,,是,, 的对边，所
以
返回
（第2题）
2. 象棋是中
国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘
中，各个小正方形的边长均为1.“马”
从图中的位置出发，按照“马走日”的
规则，走一步之后的落点与“帅”的最
大距离是( )
A
A. 5 B. C. D.
3. 若在直角三角形中，有两边长分别是3和4，
则第三边长为_______.
5或
返回
（第4题）
4.如图，点，分别在， 上，
，垂足为， .若
，，则点到直线 的距离
为___.
（第4题）
【点拨】 ，
，即 ，
，
.设点到直线
的距离为， ，
， .
返回
5.如图，在中，于点,点为 上一点，连
结,,的延长线交于点,已知 ，
.
（1）试说明： .
【解】, , 易得
为等腰直角三角形,
. .又
, ,
, ,
.又
, ,
, , .
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定
理的验证.已知：如图，在 中，
,,, ，试
说明： .
, ,
，，, .
返回
6. 如图，在
中， ，分别以各边为直径
作半圆，图中阴影部分在数学史上称为
“希波克拉底月牙”，当，
时，阴影部分的面积为( )
C
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【点拨】 在 中，
， ，， 由
勾股定理，得
，
阴影部分的面积为 .
返回
7. ［2025沧州期末］意大利著
名画家达·芬奇用如图所示的
方法证明了勾股定理.若设图①
C
A. B.
C. D.
中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 ，则下
列等式成立的是( )
返回
8.如图，已知 ，且
，，，则 的长是____.
10
（第8题）
【点拨】如图，过作，交的延长线于点 ，则
， ，
在中，， .
返回
（第9题）
9. 如图，
将腰长为2的等腰直角三角形
放置于数轴上，直角边
与数轴重合，直角顶点 与
重合，为的中点，以为圆心， 长为半径画弧，交
数轴于点（在点右侧），则点 表示的数为_______.
勾股定理
定理
验证
1.求边长、面积，证明线段之间的平方关系
2.勾股定理的实际应用
应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
用拼图法验证勾股定理
谢谢观看！

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