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14.2 第4课时 尺规作图
14.2 三角形全等的判定
第十四章 全等三角形
1.学会作一个角等于已知角.
2.运用全等三角形的判定完成相关的尺规作图.
3.培养分析与尺规作图能力. (重点)
4. 理解尺规作图的原理，能够准确地用数学语言表述作图过程. (难点)
思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
探究点一： 作一个角等于已知角
探究 如何用直尺和圆规作一个角与已知角∠AOB 相等.
思路：
将∠AOB “放在” 一个三角形中
作出这个三角形
根据全等三角形的性质，∠AOB 的对应角就是要求作的角
讨论：这样的三角形容易做出来吗？
为什么∠AOB 的对应角就是要求作的角？
O
B
A
理由：
如图，在∠AOB 的边 OA，OB上分别取点 C，D，连接 C，D，得到△COD，∠AOB 就是△COD 的一个内角.
O
B
A
则∠C'O'D' =∠COD =∠AOB.
C
D
C'
D'
O'
再作出△C'O'D′，
使△C'O'D'≌△COD，
为了作图方便，一般取OC = OD.
探究点一： 作一个角等于已知角
D'
C'
B'
O'
A'
(2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'；
(3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步的弧相交于点 D'；
则∠A'O'B' =∠AOB.
作法：
(4) 过点 D' 作射线 O'B'，
O
B
A
C
D
(1) 以 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点C，D；
探究点一： 作一个角等于已知角
练一练 1. 如图，用尺规作出∠OBF =∠AOB，所画痕迹弧 MN 是( )
A. 以点 B 为圆心，OD 的长为半径的弧
B. 以点 C 为圆心，CD 的长为半径的弧
C. 以点 E 为圆心，OD 的长为半径的弧
D. 以点 E 为圆心，CD 的长为半径的弧
D
A
O
B
C
D
E
F
M
N
例1 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C. 利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB的平行线 CD.
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行. 可以利用这个结论，过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. 为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
A
B
C
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
(1) 过点 C 作一条直线，与直
线 AB 相交于点 E；
A
B
C
E
(2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD =∠CEB；
F
D
作法：如图.
(3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD∥AB.
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
问题3：你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试.
思考讨论：
问题1：判定两直线平行的方法是什么？
同位角相等，两直线平行.
问题2：作平行线的过程，其本质是什么？
作一个角等于已知角.
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
1. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号)
①
【详解】解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意.
②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意.
③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意.
②
③
①②③
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
如图，已知线段 a，b 和∠α，
求作△ABC，使 AB= a，AC = b，∠A =∠α.
例2 已知两边及其夹角作三角形.
探究点三：已知两边及其夹角作三角形
b
α
a
(2) 在射线 AD 上作 AB = a，
在射线 AE 上作 AC = b；
(3) 连接 BC，则△ABC 为所求作的三角形.
作法：
(1) 作∠DAE =∠α；
A
E
D
B
C
探究点三：已知两边及其夹角作三角形
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，BC = a.
例3 已知两角及其夹边作三角形.
探究点四：已知两角及其一边作三角形
a
α
β
A
作法：
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
思考：这里用了哪些作图方法
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作
∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
议一议 上述例题中作出的△ABC 唯一吗？试说明理由.
A
α
β
E
D
C
B
作出的△ABC 唯一.
理由如下：
因为作图过程中，确定了BC = a，
∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，
符合三角形全等判定的角边角条件，满足该条件的三角形都全等，即形状和大小都一样，所以△ABC 是唯一的.
做一做
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
α
β
a
做一做
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
α
β
a
作法：
(1) 作线段 AB = a；
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 AB 的同侧，分别作∠ABD =∠α， ∠BAE = 180°－∠β－∠α，
BD 与 AE 相交于点 C.
C
α
E
D
A
B
C
α
E
D
A
B
理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
能完全重合.
1. 如图，过直线l1外一点P作它的平行线l2，其作
图依据是(　D　)
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两直线平行，内错角相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 内错角相等，两直线平行
第1题图
D
2. 如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝56°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OB，OC于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD. 则∠COD的度数为(　C　)
A. 22°
B. 32°
C. 34°
D. 56°
第2题图
C
3. [作图通关]如图，OD平分∠AOB，点P为OA上
一点.
(1)请用直尺和圆规过点P作直线PQ∥OB，交OD
于点Q(不写作法，保留作图痕迹)；示.
解：(1)如图所示.
2
3
4
1
(2)在(1)的条件下，若∠AOB＝60°，求∠DQP的
度数.
解：(2)∵OD平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠DOB＝∠AOD＝30°.
由作图可知PQ∥OB，
∴∠PQO＝∠DOB＝30°.
∴∠DQP＝180°－∠PQO
＝180°－30°＝150°.
4. [作图通关]已知：线段a和∠α.求作：△ABC，
使得AB＝a，BC＝2a，∠ABC＝∠α.(要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，△ABC即为所求.
解：如图，△ABC即为所求.
尺规作图
作一个角等于已知角
过直线外一点作直线的平行线
已知两边及夹角作三角形
已知两角及一边作三角形

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