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1.3 二次函数的性质
一、单选题
1．（2024·五华模拟）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（　　）
A． B．，
C．， D．，
2．（2024九上·珠海期中）如图，抛物线经过，对称轴为直线．有如下结论：①；②；③对于任意实数m，总有；④对于a的每一个确定的值，若一元二次方程（P为常数，且）的根为整数，则满足条件的P的值有且只有三个．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023九上·门头沟期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的示意图如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·江门模拟）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·邯郸经济技术开发月考）抛物线的图象与x轴交于点，，t为常数，则y的最小值为(　　)
A． B． C． D．
6．（2022九上·顺庆期末）如图，抛物线过点和点，且顶点在第四象限，设，则的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
7．（2024九上·丛台月考）若抛物线的开口向下，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021九上·甘井子月考）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 …
… -1 2 3 2 -1 …
关于此函数的图象和性质有如下判断：
①抛物线开口向下．②当 时，函数图象从左到右上升．③方程 的一个根在-2与-1之间．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．抛物线y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
10．（2024·亭湖模拟）已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
11．（2020九上·洛宁期末）抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是　 　．
12．（2021九上·磐石期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣7 ﹣1 3 5 5 …
则 的值为　 　．
13．（2023九上·门头沟期中）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大，解析式可以是　 　．
14．（2023·双峰模拟）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点的坐标为；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论是　 　．（填写代表正确结论的序号）
15．（2019九上·黄石月考）已知 ， 是抛物线 上的两点，且 ，若 ，则 　 　 （填“ ”、“ ”或“ ”）
16．（2025·长沙模拟）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为　 　．
三、计算题
17．（2023九上·东阳月考）求二次函数与轴、轴的交点坐标.
18．（2024九上·北京市月考）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
19．（2021九上·东莞月考）如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
四、解答题
20．（2023九上·徐汇模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
21．（2024九上·昆明开学考）已知二次函数，确定抛物线的开口方向和顶点坐标；
22．（2023九上·广州期中） 已知是的二次函数，、满足下列表
… 0 1 2 3 4 …
… 5 2 1 2 5 …
（1）求二次函数解析式；
（2）当时，直接写出的取值范围．
23．（2024九上·宁波期中）已知二次函数（b，c为常数），
（1）若抛物线与x轴正半轴的交点坐标是（1，0），对称轴为直线，求抛物线的解析式；
（2）若，设函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）已知二次函数图象经过两点，若时，总有，求q－p的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；不等式的性质
11．【答案】（4，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
14．【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
17．【答案】、、
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
18．【答案】（1）解：①，∴；
②∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（2）解：由题意可知，点)在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，，都有，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，解得，
∴的取值范围是
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
19．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
20．【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
解得
所以，所求函数的解析式为 ．
．
所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
21．【答案】解：因为二次函数解析式为，
所以二次函数开口向下，且顶点坐标为．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
22．【答案】（1）解：由表格可知，二次函数图象的顶点为，
设二次函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为，即；
（2）解：的取值范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
23．【答案】（1）解：根据题意可得，解得
则解析式为；
（2）解：由可得，
由顶点坐标为，可得
可得，代入可得，
即；
（3）解： 二次函数图象经过两点
则对称轴为直线
∵，开口方向向下，
将代入可得，
，且
可得：，
则二次函数解析式为：，
顶点坐标为，
令，即
方程的两根满足：，，
∴
即抛物线与直线y=-7的两个交点的横坐标之差为4，
若 若时 ， 总有 ，则 q－p 的最大值为；
当或时，有最小值，为，
∴；
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
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