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1.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2024九上·梧州月考）如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（　　）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
2．（2023九上·利州期中）某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床每晚应提高(　　)
A．4元或16元 B．4元 C．6元 D．8元
3．（2020七下·深圳期中）长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），面积为 ，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·新吴期末）根据下列表格对应值：
x
判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·麒麟期中）为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·宁波模拟）已知一个直角三角形的两边长分别为a和5，第三边长是抛物线y=x -10x+21与x轴交点间的距离，则a的值为（　　）
A．3 B． C．3或 D．不能确定
7．（2023·涟水模拟）二次函数的顶点坐标为，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（　　）
A．
B．
C．关于x的方程没有实数根
D．关于x的方程的负实数根取值范围为：
8．用一根长为40cm的绳子围成一个面积为a(cm2)的长方形，则a的值不可能为（　　）．
A．60 B．80 C．100 D．120
9．（2023九上·埇桥月考）根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（　　）
1.1 1.2 1.3 1.4
-0.59 0.84 2.29 3.76
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
10．（2018·南岗模拟）如图正方形ABCD的边长为2，点E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD上，且EA=FB=GC=HD，分别将△AEF，△BFG，△CGH，△DHE沿EF，FG，GH，HE翻折，得四边形MNKP，设AE=x（0＜x＜1），S四边形MNKP=y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2024九上·海口期末）黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　 　s．
12．（2024九下·垦利模拟）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　 　．
13．（2023九上·思明期中）小桐竖直向上抛出一个小球，小球只在重力作用下的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的图象是抛物线的一部分，如图所示．小球出手时的高度是 　 　．
14．（2024九上·水城期中）代数式－x2＋bx＋c与x的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 1
－x2＋bx＋c －14 －7 －2 2
根据表格中的信息得知：一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的一个解的范围在　 　与　 　之间．
15．（2024八下·丰城期中） 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为，其中正确的结论个数有　 　个.
16．（2024九上·栖霞月考）已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是　 　．
三、计算题
17．（2024九上·宜春期中）某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w关于x的函数解析式；
（2）该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？
18．（2024九上·南乐期末）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个．
（1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式；
（2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
（3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
19．（2022九上·长沙开学考）对于实数a和b，定义新运算“@”：a@b＝
（1）计算20182018@（8@28）的值；
（2）若（x﹣1）@（3﹣2x）＝2，求实数x的值；
（3）设函数y1＝（2﹣x2）@（4x﹣x2），若函数y2＝y1﹣m的图象与x轴恰有两个交点，求实数m的取值范围．
四、解答题
20．（2023九上·福州月考）一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
21．（2025九上·惠阳期末）某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件．根据题意，完成下列问题
（1）填空：当每件盈利42元时，每天销售量为______件，每天盈利______元；
（2）设每件降价元，则每件盈利______元，每天销售量为______件；若每天盈利1600元，求的值．
22．（2024九下·启东模拟）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
23．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
3．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
6．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
9．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
10．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
11．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
13．【答案】1.05m
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】-1；1
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
15．【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
16．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
17．【答案】（1）
（2）该商品售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）
（2）
（3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
19．【答案】（1）20181982；（2）x＝0或2；（3）m＜4．
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
20．【答案】（1）解：依题意得（x﹣40）（﹣2x+400）＝5600，
整理得：x2﹣240x+10800＝0，
解得x＝60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x＝180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（2）解：设利润为W元，则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵40×（1+80%）＝72，
x≤72，
∵﹣2＜0，
∴当x＝72时，W最大＝8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
21．【答案】（1）30，
（2），，4元或36元
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二次函数的实际应用-销售问题
22．【答案】（1）y=﹣2x2+36x（0【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，
∴E点坐标为（﹣1，2）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=×2×2+×2×（m2+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，
解得m1=，m2=（舍去），
当m=时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=，
∴点F的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（﹣1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC2=12+32=10．
分三种情况：
①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，
即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2，
化简整理得6n=16，解得n=，
∴P点坐标为（﹣1，），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣=，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t1=；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，
即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10，
化简整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t2=2，t3=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，
即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2，
化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣，
∴P点坐标为（﹣1，﹣），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4+=，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4=；
综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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