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专题1.10 直角三角形全等的判定两大题型专项训练（30题）
【北师大版】
【题型1 用HL证全等】
1．（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：还需要添加的条件是，
理由是：∵，，
，
在和中，
，
∴，
故选：C．
2．（23-24八年级·河南郑州·期末）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
根据作图过程可以证明，进而可得结论．
【详解】∵，
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴，
∴射线就是的平分线．
故选：C．
3．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
【答案】
【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
故答案为：．
4．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于点C，，，连接，射线于点A，点P在线段上移动，点Q在射线上随着点P移动，且始终保持，当 时，才能使与全等．
【答案】3或6/6或3
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键．根据即可解答．
【详解】解：，
，
，
∴当或时，都可以根据证明与全等；
故答案为：3或6．
5．（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
6．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，，，于点E，于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明．
【详解】证明：，，
．
，，，
∴．
在和中，
．
7．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，，是上的一点，且，．求证：．

【答案】见解析．
【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．
8．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出，由证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴．
9．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：

【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的定理，由题意可知和是直角三角形，结合及公共边利用证明三角形全等是解决问题的关键．
【详解】证明：∵、是的高，
∴，
在和中，，
∴．
10．（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合等角对等边，得出，再通过“”证明，即可作答．
【详解】证明：，
，
，
为等腰直角三角形，
在和中，
【题型2 全等的性质和HL综合】
11．（23-24八年级·天津滨海新·期中）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且，
(1)若，，求的长．
(2)试说明与的关系．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等．
（1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时；
（2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答．
【详解】（1）解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
当点M在点E左边时，，
当点M在点E右边时，，
综上：或．
（2）解：由（1）可得，
∴，，
当点M在点E右边时，∵，
∴，即；
当点M在点E左边时，∵，，
∴，
综上：或．
12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在中，，在直线上方有一点D（点D不在直线上），，作直线于点E．
(1)在图1中自己完成画图，探索线段三者的数量关系并证明；
(2)如图2，点D在直线右面，交于点F，作交于N，若点N恰为的中点，求的值．
【答案】(1)．理由见解析
(2)
【分析】（1）延长至R，使，连接．可得．再结合三角形外角的性质可得到，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，即可解答．
（2）连接，过C作，过C作，交延长线于Q．延长交于M．连接，根据，可得，从而得到垂直平分，进而得到，，继而得到，然后根据根角平分线的判定可得，可证明，可得到．从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：．理由：
延长至R，使，连接．
∴．
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）解：连接，过C作，过C作，交延长线于Q．延长交于M．连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质和判定定理．构造全等三角形，是解题关键．
13．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，D是的外角平分线上的一点，．
(1)求证：；
(2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论；
（2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，进而可证明．
【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，作于点，
∴，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，即，
∴，
∴.
14．（23-24八年级·山东枣庄·期中）如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义，证明是解题的关键．
（1）先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明．
（2）证明，即可由证明．
【详解】（1）解：，，
，
在和中，
，
；
（2），
，
于点，于点，
，
．
15．（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M，N．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查角平分线的性质计算和证明，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，利用是的平分线，，利用“”可证,即可得到,再利用“”证得，即可得到答案．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
16．（23-24八年级·重庆渝北·期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，进而证明，证明即可得证．
【详解】解：，
证明：∵点在线段上，，
∴，
在中，
∴
∴，
又∵
∴
又，即
在中，
∴，
∴．
17．（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若．
(1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由．
(2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)结论依然成立，理由见解析．
【分析】（）．证明，得到，再证明即可求证；
（）结论依然成立．理由与（）同理；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：．
理由：，，
，
，
，
即，
在和中，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：结论依然成立．
理由：，，
，
，
，
即，
在和中，，
，
，
在和中，
，
，
．
18．（23-24八年级·广东东莞·期中）完成下列各题
(1)如图1，，点在上，且，则的度数为______；
(2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点．
①求证：垂直平分线段；
②若的面积为8，，，求的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析，的长为2
【分析】（1）先设出的度数，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可；
（2）①先证明，再证明，可得，从而可得结论；②由的面积的面积，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段．
②∵的面积为8，，，，
∴的面积的面积，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为2．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练的利用角平分线的性质解题是关键．
19．（23-24八年级·江苏镇江·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，于，于．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由角平分线的性质可得，再由即可证得；
（2）由证明，得，再由得，则，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．请根据下列证明思路完成填空：
证明：，
．
平分，，，
，．
在和中，
（ ）．
，，
．
【答案】(1)见解析
(2)，， ，
【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于两点，然后以为圆心，大于长为半径画弧，连接交点与，与的交点即为；
（2）按照步骤作答即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）证明：，
．
平分，，，
，
，．
在和中，
（）．
，
，，
，
．
故答案为：，， ，．
【点睛】本题考查了作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
21．（23-24八年级·河南许昌·期中）与均为等婹直角三角形，．
(1)如图1，当，，在同一直线上时，的延长线与交于点，则______．
(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论．
(3)如图3，当A，，在同一直线上时（A，在点的异侧），与交于点，，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，再由全等三角形的性质得出，然后根据对顶角的性质以及三角形内角和定理即可解答；
（2）同理可证，得出，再结合已知条件即可解答；
（3）过点G作于点H，同（2）可知，证出，然后证明可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
（2）解：．证明如下：
同（1）可证，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点G作于点H，同（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，线段的和差等知识点，掌握三角形全等的证明方法是解决问题的关键．
22．（23-24八年级·江苏淮安·期中）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在中，，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段的数量关系是 ．

【拓展延伸】
（1）如图（2），在中，为钝角，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由；
（2）在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且．则线段与线段的数量关系为 （用含m的式子表示）．
【答案】简单应用：；
拓展延伸：（1）；（2）
【分析】简单应用：证明，可得结论；
拓展延伸：（1）如图（2）中，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．证明，推出，，证明，推出，可得结论；
（2）在上取一点，使得，则．过点作于．证明，求出，再利用含的直角三角形求得，进而可得结论．
【详解】解：简单应用：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：；
拓展延伸：（1）．理由如下：
如图（2）中，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）在上取一点，使得，由（1）可知则．
过点作于．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题．
23．（23-24八年级·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．

(1)求证：．
(2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点．
①与有什么数量关系，请说明理由．
②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案．
【答案】(1)见解析；
(2)①，理由见解析；②．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质：
（1）利用证得，进而可求证结论；
（2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解；
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中
，
．
．
（2）①，理由如下：
连结，如图：

，，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
．
②由①得，
，，
在和中，
，
，
，
，
，即：，
，
，
，
点为的中点，
，
设，则，
，
即：，
，
．
24．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
(1)当时，则______；
(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
【答案】(1)20
(2)t的值16或5
(3)或11
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．
（2）分，两种情况进行讨论求解即可；
（3）分点P在C点的左侧和点在点的右侧，两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）当时，如图：
由题意，得：，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，即：，
解得：，
∴；
故答案为：20．
（2）①当时，如图

∵
∴，
∴；

②若，则，
在直角三角形中，，
∴
解得：；
综上所述：t的值16或5；
（3）∵，
∴，

①若P在C点的左侧，则，
∴．
又，，且，
∴，
∴，
∴，
则，
解得：；

②若P在C点的右侧，则，
∴，
同法可得：，
∴，
∴，
解得，
综上所述：或11．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
25．（23-24八年级·河北邯郸·期中）已知和，其中，．

(1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分．
①求证；
②猜想，与之间的数量关系是__________；
(2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系．
【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析；
(2)结论成立，证明见解析
(3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析
【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论；
（2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论；
（3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论．
【详解】（1）证明：①∵平分，，
∴，．
②∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，而，
∴；
（2）∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，而，
∴；
（3）②的结论不成立，结论为：，理由如下：
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，而，
∴；
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键．
26．（23-24八年级·重庆·期中）已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)16
【分析】（1）根据等角的余角相等解答；
（2）延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，得出，证明结论；
（3）延长至，使，连接、、，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：，
，即，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，，
在与中，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接．
(1)若，求的长；
(2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)，证明见解析
(3)不变化，，证明见解析
【分析】（1）由题意得，则 ，，由，可求，进而可求的长；
（2）证明，进而可得；
（3）由题意知，，，证明是等边三角形，则，，由，可得，则，证明，则．
【详解】（1）解：∵，，是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的长为6；
（2）解：，证明如下；
∵，
∴，
∴；
（3）解：不变化，，证明如下；
由题意知，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（23-24八年级·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证
（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法2：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由（1）知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
29．（23-24八年级·云南昆明·期末）在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：
(1)如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：；
(2)求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明；
(3)不改变图1中的大小．
①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为________；
②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为________．
【答案】(1)见解析
(2)，，证明见解析
(3)①；②CF AE＝CP
【分析】（1）利用HL即可证明Rt△PDE≌Rt△PCF；
（2）由全等三角形的性质得出∠DPE＝∠CPF，得出∠EPF＝∠DPC，求出∠DPC＝135°，即可得出结论；由Rt△PDE≌Rt△PCF，得出DE＝CF，由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝45°，得出∠APD＝∠A＝45°，证出AD＝PD，得出AD＝CP，即可得出结论；
（3）①由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，可得∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，根据等腰直角三角形的性质得AD＝PD＝PC，则CF＋CP＝ED＋AD＝AE；
②由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，可得∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，根据等腰直角三角形的性质得AD＝PD＝PC，则CF AE＝ED AE＝AD＝CP．
【详解】（1）证明：∵BP是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PC⊥BC，
∴PD＝PC，
在Rt△EPD与Rt△FPC中，
，
∴Rt△EPD≌Rt△FPC（HL）；
（2）解：∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴∠DPE＝∠CPF，
∴∠EPF＝∠DPC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DPC＝360° 90° 90° 45°＝135°，
∴∠EPF＝135°；
CP＝CF＋AE；理由如下：
∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴DE＝CF，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠APD＝∠A＝45°，
∴AD＝PD，
∴AD＝CP，
∵CP＝AD＝DE＋AE＝CF＋AE；
（3）解：①CF＋CP＝AE，理由如下：
由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，
∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠APD＝45°，AD＝PD，
∴CP＋CF＝AD＋ED＝AE，
故答案为：CP＋CF＝AE；
②CF AE＝CP，理由如下：
由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，
∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠APD＝45°，AD＝PD，
∴CF AE＝DE AE＝AD＝CP，
故答案为：CF AE＝CP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
30．（23-24八年级·辽宁抚顺·期末）已知△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB．AC所在的直线相交于点M和N，连接MN．
（1）如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论；
（2）如图2，当点M、点N在边AB、AC上，但DM≠DN时，（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出你的猜想；若不成立，请直接写出新的结论．
【答案】（1）BM＋CN=MN；（2）成立；证明见解析；（3）MN=CN-BM．
【分析】（1）首先证明Rt△BDM≌Rt△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可得出答案；
（2）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段DE= DM，再进一步证明△MDN≌△EDN，进而等量代换得到MN=BM+NC；
（3）在CA上截取CE=BM，同理先证Rt△DCE≌Rt△DBM，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．
【详解】（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
∵在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN，∠BDM=∠CDN，
∵∠MDN=60°，，
∴△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，
∴NC=BM=DM=MN，
∴MN=MB+NC；
（2）成立．理由如下：
延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ECD=∠MBD=90°，
∵在Rt△DCE和Rt△DBM中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），
∴∠BDM=∠CDE，DE= DM，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°，
∵在△DMN和△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴NE=NM，即CE+CN=NM，
∴BM+CN=NM；
（2）MN=CN-BM，理由如下：
在CA上截取CE=BM，连接DM，
同理可证明：Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），
∴DE=DM，∠EDC=∠BDM，
∵∠MDN=∠MDB+∠BDN=60°，
∴∠BDN+∠CDE=60°，
∴∠NDE=∠NDM=60°，
∵在△MDN和△EDN中，
=60°，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．
1专题1.10 直角三角形全等的判定两大题型专项训练（30题）
【北师大版】
【题型1 用HL证全等】
1．（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级·河南郑州·期末）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )．
A． B． C． D．
3．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
4．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于点C，，，连接，射线于点A，点P在线段上移动，点Q在射线上随着点P移动，且始终保持，当 时，才能使与全等．
5．（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
6．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，，，于点E，于点F，求证：．
7．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，，是上的一点，且，．求证：．

8．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证．
9．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：

10．（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：．
【题型2 全等的性质和HL综合】
11．（23-24八年级·天津滨海新·期中）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且，
(1)若，，求的长．
(2)试说明与的关系．
12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在中，，在直线上方有一点D（点D不在直线上），，作直线于点E．
(1)在图1中自己完成画图，探索线段三者的数量关系并证明；
(2)如图2，点D在直线右面，交于点F，作交于N，若点N恰为的中点，求的值．
13．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，D是的外角平分线上的一点，．
(1)求证：；
(2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数．
14．（23-24八年级·山东枣庄·期中）如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)；
(2)．
15．（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M，N．求证：．
16．（23-24八年级·重庆渝北·期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由．
17．（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若．
(1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由．
(2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
18．（23-24八年级·广东东莞·期中）完成下列各题
(1)如图1，，点在上，且，则的度数为______；
(2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点．
①求证：垂直平分线段；
②若的面积为8，，，求的长．
19．（23-24八年级·江苏镇江·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，于，于．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．请根据下列证明思路完成填空：
证明：，
．
平分，，，
，．
在和中，
（ ）．
，，
．
21．（23-24八年级·河南许昌·期中）与均为等婹直角三角形，．
(1)如图1，当，，在同一直线上时，的延长线与交于点，则______．
(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论．
(3)如图3，当A，，在同一直线上时（A，在点的异侧），与交于点，，请直接写出，，之间的数量关系．
22．（23-24八年级·江苏淮安·期中）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在中，，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段的数量关系是 ．

【拓展延伸】
（1）如图（2），在中，为钝角，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由；
（2）在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且．则线段与线段的数量关系为 （用含m的式子表示）．
23．（23-24八年级·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．

(1)求证：．
(2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点．
①与有什么数量关系，请说明理由．
②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案．
24．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
(1)当时，则______；
(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
25．（23-24八年级·河北邯郸·期中）已知和，其中，．

(1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分．
①求证；
②猜想，与之间的数量关系是__________；
(2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系．
26．（23-24八年级·重庆·期中）已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　．
27．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接．
(1)若，求的长；
(2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由．
28．（23-24八年级·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
29．（23-24八年级·云南昆明·期末）在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：
(1)如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：；
(2)求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明；
(3)不改变图1中的大小．
①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为________；
②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为________．
30．（23-24八年级·辽宁抚顺·期末）已知△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB．AC所在的直线相交于点M和N，连接MN．
（1）如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论；
（2）如图2，当点M、点N在边AB、AC上，但DM≠DN时，（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出你的猜想；若不成立，请直接写出新的结论．
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